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上面是较简单的部分,现在要稍微难一些了。有一个两个矢量相乘得到一个标量 的方法——标量是一个在任何坐标系中都相等的一个量。(事实上,有一个从一个矢量得到标量的方法,我以后将会回到这个主题上来。)你看,如果坐标轴改变了,分量也随着改变——但矢量之间的夹角和它们的大小保持不变。设A 和B 是两个矢量,它们的夹角是θ 。我取A 的数值乘以B 的数值再乘以θ 的余弦,把这个数写成A ·B (“A 点乘B ”)(见图1-10)。这个数称为“点积”或“标积”,它在所有坐标系中都是相等的:
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图1-10 矢量的点积|A||B|cosθ在所有坐标系中都相等
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显而易见,因为|A |cosθ 是A 在B 上的投影,A ·B 等于A 在B 上的投影乘以B 的数值。同理,|B |cosθ 是B 在A 上的投影,A ·B 也就等于B 在A 上的投影乘以A 的数值。然而,我发现,A ·B= |A ||B |cosθ 是最容易记住点积是什么的方法;这样我总是能立即知道其他的关系。当然,真正的麻烦在于,你有这么多的方法来表示同一事物,但你用不着试图把它们全都记在心里——这一点我随后将说得更完全些。
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我们也可以用A 和B 在任意一组坐标轴上的分量来定义A ·B 。如果我们取三个相互垂直的坐标轴,x ,y ,z ,它们的方向任意。于是A ·B 就是:
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怎样从|A ||B |cosθ 变为AxBx +AyBy +AzBz ,这并不是一眼就可以看出来的。虽然,当我想要做的时候我可以证明它[3] ,这要花很多时间,所以我要记住这两个公式。
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当我求一个矢量和它自己 的点积的时候,θ 为0,0的余弦为1,所以A ·B =|A ||A |cos0=|A |2 ,用分量来表示,就是 。这个数字的正的平方根是矢量大小的数值。
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1-7 求矢量的微分
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现在我们可以来求所谓的矢量的微分了。当然,除非矢量依赖于时间,否则矢量对时间的微分就没有意义了。这意味着我们一定要想象某个矢量在不同的时刻是不同的:随着时间的推移,矢量不断变化,我们要求变化率。
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例如,矢量A (t )可以是正在飞行的物体在时刻t 的位置。在下一个时刻t′ ,物体从A (t )运动到A (t′ );我们要求A 在t 时刻的变化率。
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计算的法则如下:在时间间隔Δt =t′ -t 内,物体从A (t )运动到A (t′ ),其位移为ΔA =A (t′ )-A (t ),这是从原来的位置到新的位置的矢量差(参见图1-11)。
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图1-11 位置矢量A和它在时间间隔Δt中的位移ΔA
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显然,时间间隔Δt 越短,则A (t′ )越靠近A (t )。如果ΔA 除以Δt ,并且取二者都趋近于零的极限——这就是微商。在这种情况下,A 是位置,它对时间的微商是速度矢量;速度矢量是在曲线的切线方向,这就是位移变化的方向;你无法从图上看出它的大小,因为它决定于物体沿曲线运动有多快 。速度矢量的大小称为速率:它告诉你物体在单位时间内运动到多远的距离。下面是速度矢量的定义:它和路径相切,它的数值等于沿路径运动的速率(见图1-12)。
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图1-12 位置矢量A和它在t时刻的微商v
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附带说说,在同一张图上既要画出位置矢量,又要画出速度矢量是危险的,除非你非常小心——因为我们理解这些稍微有点麻烦。我指出所有我想象得到的可能犯的错误,因为说不定你们接着要做的事情是为某种目的将A 加到v 上。这是不合理的,因为要真正画出速度矢量,你必须知道时间的标度:速度矢量与位置矢量用的是不同的标度;事实上,它们有不同的单位。一般说来,你不能把位置和速度相加——在这里你们不能把它们加起来。
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对我来说,为了真实地画出 任何矢量的图,必须确定所用的标度。当我们讲到力的时候,我们说多少牛顿可以用1英寸(或1米,或不管什么都可以)来表示。在此地,我们必须说明多少米每秒用1英寸来表示。其他某个人可能用我们用的同样的长度来画位置矢量的图,而速度矢量的长度相当于我们用的三分之一——他只是把不同的标度用于他的速度矢量。并不存在唯一的方法来画矢量的长度,因为标度的选择是任意的。
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现在,用x ,y 和z 的分量来表示速度是很方便的,因为,举例来说,位置的x 分量的改变率等于速度的x 分量,依此类推。这仅仅是因为微商实际上就是差,从而矢量差的分量就等于相应的分量之差。我们有:
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