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上面是较简单的部分，现在要稍微难一些了。有一个两个矢量相乘得到一个标量 的方法——标量是一个在任何坐标系中都相等的一个量。（事实上，有一个从一个矢量得到标量的方法，我以后将会回到这个主题上来。）你看，如果坐标轴改变了，分量也随着改变——但矢量之间的夹角和它们的大小保持不变。设A 和B 是两个矢量，它们的夹角是θ 。我取A 的数值乘以B 的数值再乘以θ 的余弦，把这个数写成A ·B （“A 点乘B ”）（见图1-10）。这个数称为“点积”或“标积”，它在所有坐标系中都是相等的：
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图1-10 矢量的点积|A||B|cosθ在所有坐标系中都相等
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显而易见，因为|A |cosθ 是A 在B 上的投影，A ·B 等于A 在B 上的投影乘以B 的数值。同理，|B |cosθ 是B 在A 上的投影，A ·B 也就等于B 在A 上的投影乘以A 的数值。然而，我发现，A ·B= |A ||B |cosθ 是最容易记住点积是什么的方法；这样我总是能立即知道其他的关系。当然，真正的麻烦在于，你有这么多的方法来表示同一事物，但你用不着试图把它们全都记在心里——这一点我随后将说得更完全些。
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我们也可以用A 和B 在任意一组坐标轴上的分量来定义A ·B 。如果我们取三个相互垂直的坐标轴，x ，y ，z ，它们的方向任意。于是A ·B 就是：
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怎样从|A ||B |cosθ 变为AxBx +AyBy +AzBz ，这并不是一眼就可以看出来的。虽然，当我想要做的时候我可以证明它[3] ，这要花很多时间，所以我要记住这两个公式。
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当我求一个矢量和它自己 的点积的时候，θ 为0，0的余弦为1，所以A ·B =|A ||A |cos0=|A |2 ，用分量来表示，就是 。这个数字的正的平方根是矢量大小的数值。
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1-7 求矢量的微分
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现在我们可以来求所谓的矢量的微分了。当然，除非矢量依赖于时间，否则矢量对时间的微分就没有意义了。这意味着我们一定要想象某个矢量在不同的时刻是不同的：随着时间的推移，矢量不断变化，我们要求变化率。
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例如，矢量A （t ）可以是正在飞行的物体在时刻t 的位置。在下一个时刻t′ ，物体从A （t ）运动到A （t′ ）；我们要求A 在t 时刻的变化率。
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计算的法则如下：在时间间隔Δt =t′ -t 内，物体从A （t ）运动到A （t′ ），其位移为ΔA =A （t′ ）-A （t ），这是从原来的位置到新的位置的矢量差（参见图1-11）。
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图1-11 位置矢量A和它在时间间隔Δt中的位移ΔA
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显然，时间间隔Δt 越短，则A （t′ ）越靠近A （t ）。如果ΔA 除以Δt ，并且取二者都趋近于零的极限——这就是微商。在这种情况下，A 是位置，它对时间的微商是速度矢量；速度矢量是在曲线的切线方向，这就是位移变化的方向；你无法从图上看出它的大小，因为它决定于物体沿曲线运动有多快 。速度矢量的大小称为速率：它告诉你物体在单位时间内运动到多远的距离。下面是速度矢量的定义：它和路径相切，它的数值等于沿路径运动的速率（见图1-12）。
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图1-12 位置矢量A和它在t时刻的微商v
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附带说说，在同一张图上既要画出位置矢量，又要画出速度矢量是危险的，除非你非常小心——因为我们理解这些稍微有点麻烦。我指出所有我想象得到的可能犯的错误，因为说不定你们接着要做的事情是为某种目的将A 加到v 上。这是不合理的，因为要真正画出速度矢量，你必须知道时间的标度：速度矢量与位置矢量用的是不同的标度；事实上，它们有不同的单位。一般说来，你不能把位置和速度相加——在这里你们不能把它们加起来。
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对我来说，为了真实地画出 任何矢量的图，必须确定所用的标度。当我们讲到力的时候，我们说多少牛顿可以用1英寸（或1米，或不管什么都可以）来表示。在此地，我们必须说明多少米每秒用1英寸来表示。其他某个人可能用我们用的同样的长度来画位置矢量的图，而速度矢量的长度相当于我们用的三分之一——他只是把不同的标度用于他的速度矢量。并不存在唯一的方法来画矢量的长度，因为标度的选择是任意的。
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现在，用x ，y 和z 的分量来表示速度是很方便的，因为，举例来说，位置的x 分量的改变率等于速度的x 分量，依此类推。这仅仅是因为微商实际上就是差，从而矢量差的分量就等于相应的分量之差。我们有：