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我们要拿来作为例子的是，你有某个矢量场F ，在其中你要沿着曲线S 从a 点积分到z 点。现在，为了使这个线积分具有某种意义，必须以某种方式沿曲线S 上a 和z 之间的每一点定义F 的值。如果F 定义为作用于在a 点的物体上的力，如果你不能告诉我当你沿S 运动时，至少 在a 和z 之间，力如何变化，“F 从a 到z 沿S 的积分”就没有意义 。（我说“至少”，因为F 可能也在别的任何地方定义，但至少你必须在你沿着它求积分的曲线部分定义。）
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我马上就要定义任意矢量场中沿任意曲线的线积分，但首先我们来考虑一下F 是常数的情形，并且S 是a 到z 的直线路径——位移矢量，我把它称为S （见图1-13）。因为F 是常数，我们把它拿到积分号外面（就像普通的积分一样），从a 到z 的dS 积分正好等于S ，所以答案是F ·S 。这就是一个不变力和直线路径的线积分——容易的情况：
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图1-13 定义在直线路径a-z上的不变力F
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（记住，F ·S 是力在位移方向的分量乘以位移的大小；换句话说，简单地是沿着直线移动的距离乘以力在这个方向上的分量。也还有许多其他的方式看待它：它是位移在力的方向上的分量乘以力的大小；它是力的数值乘以位移的数值再乘以它们之间角度的余弦。这些都是相同的。）
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更一般地说，线积分定义如下：首先，我们分解积分，把a 和z 之间的S 分为N 个相等的线段ΔS1 ，ΔS2 ，…，ΔSN 。于是沿S 积分成为沿ΔS 积分加上沿ΔS2 积分加上沿ΔS3 积分，等等。我们取的N 很大，所以我们可以将每一个ΔSi 近似为一个小的位移矢量ΔSi ，在这一段上F 近似于常数Fi （见图1-14）。然后用“不变力直线路径”法则，线段ΔSi 上近似地贡献Fi ·ΔSi 于积分。所以，你把i 等于1到N 的Fi ·ΔSi 加在一起，这就是积分的很好的近似值。只当我们N 趋向于无限大，积分才准确地 等于这个和数：你尽可能地把小段分得短一些；你把它们取得比这稍微更短一些，你得到正确的积分：
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图1-14 定义在曲线S上的变化的力F
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（当然，这积分依赖于曲线——一般情况下——虽然有时它不是物理学。）
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好了，你们要学物理必须懂的数学——至少是现在——都在这里了。这些东西，最主要是微积分和初等矢量理论应当成为第二天性。某些东西——像线积分——现在 还不是第二天性，但是当用它们更多以后终于会成为第二天性。他们还 不是这样重要，并且比较难。你现在“必须牢记在你的头脑里的”是微积分以及一些关于求不同方向上的矢量分量的方法。
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1-9 一个简单的例子
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我给你们讲一个例题——只是非常简单的一个例题——来说明怎样求矢量的分量。假设我们有一台机器，如图1-15所示：它是由用一个枢轴连结的两根杆子（像肘关节）组成，上面有一个大的重物。其中一根杆子的一端用一个固定的枢轴固定在地板上。另一根杆子的一端有一个滚轴，可以沿地板上的狭槽滚动——这是一台机器的一部分。你看它彳亍、彳亍地开动——滚子前后运动，重物忽上忽下，就这样运动。
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图1-15 简单的机器
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我们设重物质量为2千克，杆子长0.5米，在某个时刻机器静止不动，重物到地板的距离恰好是0.4米——这样我们就有一个3-4-5三角形，这使计算变得更容易（见图1-16）。（计算并不是最重要的，真正的困难在于得到正确的概念 。）
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图1-16 需要多大的力P以维持重物？
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问题是求为了托住 重物你必须作用在滚轴上的水平力P 。现在我作一个为解这个题所需要的假设。我们假设如杆子两 端都有枢轴，净力总是沿着杆子 。（可以证明这是正确的，你们可以领悟到这是不证自明的。）如果只在杆子的一端 有枢轴这就不一定正确了，因为这样我就可以把杆子推向侧面。但如果在两端各有一个枢轴，我只能沿着 杆子推动它。我们假设我们知道这一点——就是力必定沿着杆子的方向。
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根据物理学，我们还知道其他一些事情：在杆子的端点的力相等而方向相反。例如，杆子作用在滚轴上的力必定等于杆子以相反的方向作用在重物上的力。问题在于：有了这样的杆子的性质的概念，我们试着算出作用在滚轴上的水平力。
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