1700947150
当我求一个矢量和它自己 的点积的时候,θ 为0,0的余弦为1,所以A ·B =|A ||A |cos0=|A |2 ,用分量来表示,就是 。这个数字的正的平方根是矢量大小的数值。
1700947151
1700947152
1-7 求矢量的微分
1700947153
1700947154
现在我们可以来求所谓的矢量的微分了。当然,除非矢量依赖于时间,否则矢量对时间的微分就没有意义了。这意味着我们一定要想象某个矢量在不同的时刻是不同的:随着时间的推移,矢量不断变化,我们要求变化率。
1700947155
1700947156
例如,矢量A (t )可以是正在飞行的物体在时刻t 的位置。在下一个时刻t′ ,物体从A (t )运动到A (t′ );我们要求A 在t 时刻的变化率。
1700947157
1700947158
计算的法则如下:在时间间隔Δt =t′ -t 内,物体从A (t )运动到A (t′ ),其位移为ΔA =A (t′ )-A (t ),这是从原来的位置到新的位置的矢量差(参见图1-11)。
1700947159
1700947160
1700947161
1700947162
1700947163
图1-11 位置矢量A和它在时间间隔Δt中的位移ΔA
1700947164
1700947165
显然,时间间隔Δt 越短,则A (t′ )越靠近A (t )。如果ΔA 除以Δt ,并且取二者都趋近于零的极限——这就是微商。在这种情况下,A 是位置,它对时间的微商是速度矢量;速度矢量是在曲线的切线方向,这就是位移变化的方向;你无法从图上看出它的大小,因为它决定于物体沿曲线运动有多快 。速度矢量的大小称为速率:它告诉你物体在单位时间内运动到多远的距离。下面是速度矢量的定义:它和路径相切,它的数值等于沿路径运动的速率(见图1-12)。
1700947166
1700947167
1700947168
1700947169
1700947170
1700947171
1700947172
1700947173
图1-12 位置矢量A和它在t时刻的微商v
1700947174
1700947175
附带说说,在同一张图上既要画出位置矢量,又要画出速度矢量是危险的,除非你非常小心——因为我们理解这些稍微有点麻烦。我指出所有我想象得到的可能犯的错误,因为说不定你们接着要做的事情是为某种目的将A 加到v 上。这是不合理的,因为要真正画出速度矢量,你必须知道时间的标度:速度矢量与位置矢量用的是不同的标度;事实上,它们有不同的单位。一般说来,你不能把位置和速度相加——在这里你们不能把它们加起来。
1700947176
1700947177
对我来说,为了真实地画出 任何矢量的图,必须确定所用的标度。当我们讲到力的时候,我们说多少牛顿可以用1英寸(或1米,或不管什么都可以)来表示。在此地,我们必须说明多少米每秒用1英寸来表示。其他某个人可能用我们用的同样的长度来画位置矢量的图,而速度矢量的长度相当于我们用的三分之一——他只是把不同的标度用于他的速度矢量。并不存在唯一的方法来画矢量的长度,因为标度的选择是任意的。
1700947178
1700947179
现在,用x ,y 和z 的分量来表示速度是很方便的,因为,举例来说,位置的x 分量的改变率等于速度的x 分量,依此类推。这仅仅是因为微商实际上就是差,从而矢量差的分量就等于相应的分量之差。我们有:
1700947180
1700947181
1700947182
1700947183
1700947184
取极限后就得到微商的分量:
1700947185
1700947186
1700947187
1700947188
1700947189
这在任何方向都是正确的:如果我取A (t )在任意一个方向上的分量,那么在这个方向上的速度矢量的分量就是A (t )在这个方向的分量的微商,附带一个严正的警告:该方向必须不随时间改变。你不能说,“我要取A 在v 方向上的分量”,或者类似于这样的事情,因为v 是在运动中 。这只当你对它取分量的方向本身是固定不动的 条件下,位置分量的微商才等于速度分量。所以,(1.15)和(1.16)两式只对x ,y ,z 和其他固定轴是正确的;如果轴在转动,同时要求微商,那么公式就要复杂得多。
1700947190
1700947191
这些就是求矢量微商的一些困难和题外之话。
1700947192
1700947193
当然,你还可以对矢量的微商求微分,然后对它再求微分,依此类推。我们称A 的微商为“速度”,但这只是因为A 是位置;如果A 是别的什么东西,它的微商就不是速度而是别的某种东西。例如,A 是动量,动量的时间微商等于力,所以A 的微商可以是力。如果A 是速度,速度的时间微商是加速度,等等。我在这里给你们讲的关于矢量微商是普遍正确的,但此地只给出位置和速度的例子。
1700947194
1700947195
1-8 线积分
1700947196
1700947197
最后,关于矢量,我还只有一件事是一定要谈的,并且这是一件讨厌而又复杂的事情,称为“线积分”:
1700947198
1700947199
[
上一页 ]
[ :1.70094715e+09 ]
[
下一页 ]