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第一，机械设计，这里的问题是：有两根带轴的杆，每根都有半米长，它们承载2kg的重物——听上去熟悉吗？——左边的滚轴被某种机器驱动，以2米/秒的恒定速率前进或后退。清楚吗？给你们的问题是，当重物的高度是0.4米时，使它做这样的运动需要多大的力 （见图2-7）？
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图2-7 运动中的简单机械
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你们或许在想，“我们已经做过了！支持这重物所需的水平方向的力是1kg重的 。”
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但我争辩说：“该力不是 kg重，因为重物是在运动 着的。”
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你们可能会反驳说：“当物体运动时，难道需要力维持其运动吗？不！”
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“但为了改变 物体的运动就需要力。”
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“是的，但滚轴是以恒定速度运动。”
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“噢，是这样。这是对的：滚轴正以2m/s的恒定速度运动，但是重物怎么样：它是以恒定速度运动吗？让我们想一想 ：该重物是否有时运动得慢有时运动快？”
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“是的……”
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“它的运动是变化着 的——这就是我们遇到的问题：计算出，重物在0.4米高度时，维持滚轴以2m/s的恒定速度运动所需要的作用力。”
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让我们看看，“我们是否能够说明重物的运动是怎样变化的。”
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好的。如果重物靠近顶部而滚轴几乎在重物的正下方，则重物几乎不作上下运动。在这个位置上，重物运动不 很快；但如果重物降低了，像前面讨论的那种情况，这时你只要把滚轴向右推动一点点——好家伙，重物就不得不向上运动才不妨碍它！所以，当我们推动滚轴时，重物开始很快地向上运动，然后慢下来，对吗？如果重物快速上升，然后变慢，那么它的加速度从哪里来？加速度必然向下 ：就像我把它快速向上抛出然后它慢下来——有点儿像它正在下落，所以作用力必须减少 。那就是说，我推动滚轴前进的水平力小于滚轴不动时的力。所以我们要算出小了多少。（我这样讨论整个问题的理由是我不能保证方程式中符号的正确，所以我要到最后通过这样的物理论证来确定符号是什么。）
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顺便提一句，这个问题我大约已做过四次——每次都有错——但最后我还是做对了。我很清楚，当你第一次做一个习题的时候，有许多事情搞不清楚：我把数据搞混了，我忘了平方，我把时间的符号放错了，我还做错了其他许多事情，但不管怎样，现在 我做对了，而且我还可以告诉你这个问题如何才能正确地去解决——我必须老实承认，为了获得正确的答案，曾花费了我相当长时间。（孩子们，我很高兴我还保留着我的笔记本。）
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现在为了计算力的大小，我们需要求出加速度。仅仅通过考察所有尺寸都固定在我们注意的时间的几何图形，是不可能求出加速度的。但为了得到变化率，我们不能让它固定不动——我的意思是，我们不能说，“好，这是0.3，这是0.4，这是0.5，这是每秒2米，加速度是多少？”不存在容易求加速度的方法。求加速度的唯一办法是找出一般的 运动并将它对时间求微商[6] 。于是我们就能够代入与这个特定图解相应的时间值。
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因此，我需要在更一般的情况下去分析这个问题，就是当重物位于某个任意位置时的情况。比如说，在t =0的时刻，枢轴和滚轴靠在一起，因为滚轴以2m/s的速度运动，所以它们之间的距离是2t 。当我们想要进行计算的时刻是它们靠拢之前 的0.3s，这就是t =-0.3，因此它们之间的距离实际上为负 2t ——但是如果我们用t =0.3，使距离为2t ，它也完全是正确的。但是因为我一开始就没有探讨力的正确符号是什么，所以结束时会有许多符号错误。我将会完全正确——我宁愿不管数学，而从物理意义上获得正确的符号，然后从相反方向来做。不管怎样，我们达到了目的。（你们 不愿这样做吗？它太困难了——练习一下吧！）
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（记住t 的意义：t 是两个轴靠在一起之前的时间，它是一种负的时间，这种负时间会使每个人发疯，但我实在帮不了忙——这是我求解这问题的方法。）
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现在几何图形是这样的，重物总是在滚轴和枢轴之间（水平方向上）一半的地方。所以，如果我们把坐标系的原点放在枢轴的位置，那么重物的x 坐标为 。杆的长度是0.5，所以重物的高度就是它的y 坐标，由勾股定理，我得到 （见图2-8）。你能否想象，我第一次非常仔细地求解出这个问题得到的结果是 ？
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图2-8 利用勾股定理求重物的高度
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现在我们需要求加速度，加速度有两个分量：一个是水平加速度，另一个是垂直加速度。如果存在水平加速度，那么就有水平方向的力。我们已通过杆子求出它并算出它作用在滚轴上的力是多少。这个问题比它看上去要容易一些，因为不存在水平方向的加速度——重物的x 坐标总是等于滚轴坐标的一半；它在同样的方向运动，但是其速率是滚轴速率的一半。这样，重物在水平方向以1米/秒的恒速运动，所以不存在横向的加速度，感谢上帝！这就使问题变得稍微容易一点，我们只需关心向上及向下的加速度。
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