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实际上，这就是我为什么一定要做这许多次的原因：在我第一次做这题后，对我的错误答案心满意足，我决定用另一种完全不同的办法试试。我用另一种办法做了以后，又满足于完全不同的答案！当你们辛苦地工作时，你们有时会想：“至少，我已经发现数学是前后矛盾的！”但是很快你们就发现了错误，正如我最后做的那样。
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无论如何，这正是解这问题的两种方法。解任何具体问题不是只有唯一的一种方法。随着智力越来越强大，你们能够找到工作量少而又少的方法，但是这需要实践经验[10] 。
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2-8 地球的逃逸速度
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我剩下的时间不多了，但我要讲的下一个问题是涉及行星运动的一些事情。由于这次我肯定不能告诉你们关于这个问题的所有事情，我还要重新回到这个问题上来。第一个问题是，一个物体脱离地球表面需要多大的速度？某个物体必须运动得多快才能刚好摆脱地球引力？
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现在，求解这个问题的一种方法是计算物体在引力作用下的运动，另一种方法是利用能量守恒。当物体到离开地球无穷远处时，其动能为零，而势能是它在无穷大距离处定义的值。引力势的公式列在表2-3中，它告诉我们，在无穷远处质点的势能为零。
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所以当某个物体以逃逸速度离开地球时，其总能量必须与其到达无穷远处、并且地球的引力将它的速度减慢至零的能量相同。（假定不存在其他的力。）如果M 是地球的质量，R 是地球的半径，以及G 是万有引力常数，则我们求得逃逸速度的平方必定为2GM /R 。
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重力常数g （地球表面附近的重力加速度）正好就是GM /R2 ，由力的定律可知，对质量为m 的物体，mg =GMm /R2 。用较容易记忆的重力常数来表示，我可以写出 。此地，g =9.8m/s2 ，地球半径为6 400km，所以地球的逃逸速度为
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所以若要逃逸出去，你们必须达到11km/s的速度——相当快的速度。
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接下来我们要讨论如果你们达到15km/s的速度，并且你们正从某个距离处飞过 地球，那时将会发生些什么。
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现在物体有15km/s的速度，就有了足够的能量可以一直向上飞离地球。但是如果物体不是 笔直向上飞，它是不是一定会飞离地球呢？物体是否可能围地球运动并返回呢？这不是自明的问题；要仔细想想。你们说，“它有足够的能量飞出去，”但是你怎样知道的？我们没有计算那个 方向的逃逸速度。是否可能由于地球引力产生的横向加速度足以使得物体作环绕运动呢（见图2-12）？
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图2-12 具有了逃逸速度就保证能够逃逸吗？
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原则是可能的。你们知道有这样一条定律：物体在相等的时间内扫过相等的面积。所以你们明白当你们飞出很远时，你们必定由于某种原因或别的因素而做横向运动。不清楚你们需要逃逸的某种运动是否有横向运动，以致即使具有15km/s的速度还是不会逃逸。
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实际发现，物体达到15km/s时一定逃逸了——只要速度大于上面算出的逃逸速度，它就要逃逸。只要它能够 逃逸，它肯定会 逃逸——虽然这不是自明的——下次我将试着去证明它。但为了给你们一点我将如何论证的启示，因此你们可以自己做做看。下面是一些提示。
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我们在A 、B 两点用能量守恒。a 是物体离地球最短的距离，而b 是物体离地球最长的距离，如图2-13所示，问题是试计算b 。由于能量守恒，我们已知物体在A 点的总能量与在B 点的总能量相同，所以如果我们知道了物体在B 点的速度，就能算出它的势能，从而求出b 。但我们不知道物体在B 点的速度！
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图2-13 人造卫星在近日点和远日点的距离和速度
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我们再计算：根据在相等的时间内扫过相等面积这个定律，我们就知道物体在B 处的速率必定以一定的比例小于A 处。实际上就是a 比b 。利用这个事实就得到在B 点的速率。我们有可能根据a 求得距离b ，我们下次再来求它。
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补充题解（由迈克尔A.戈特利勃提供）