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1700947931 我们上次讲到的最后一个问题是卫星的运动。我们曾讨论这样的问题，若一个质点作垂直于太阳、行星或任何质量为M 的物体的半径的运动，它们的距离为a ，且具有在此距离处的逃逸速度，则该质点实际上是否能逃逸——因它不是不证自明的。如果质点是沿半径方向一直向外运动的，则它应该会逃逸；但如果它开始时沿垂直半径方向运动，那它是否逃逸是另一个问题（见图3-1）。

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1700947936 图3-1　逃逸速度沿着半径指向和垂直于半径的情况

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1700947938 结果发现——如果我们还记得开普勒定律，再加上另外一些定律，如能量守恒定律——那么我们就能够算出要是质点不逃逸，它会作椭圆运动，而且我们能算出它将达到多远的地方，这就是我们现在要做的事情。如果该椭圆的近日点是a ，那其远日点b 有多远？（顺便说说，我想把这问题写在黑板上，但是我发现我不会拼写近日点，见图3-2。）

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1700947943 图3-2　椭圆轨道上人造卫星的近日点及远日点处的速度和距离

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1700947945 上次我们根据能量守恒算出了逃逸速度（见图3-3）。

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1700947953 图3-3　距离质量为M的物体a处的逃逸速度

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1700947955 现在，这是在半径a 处的逃逸速度公式。但是假定速度va 是任意的，而我们来求由va 表示的b 。能量守恒告诉我们，质点在近日点的动能和势能必定等于它在远日点的动能和势能——这样我们就能利用它来计算b ，一眼就看出：

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1700947960 Infelizmente [1] ，我们却没有vb ，所以除非存在某种外部机制或者经分析而得出vb ，否则我们永远无法从（3.2）式求出b 。

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1700947962 但是如果我们记得开普勒的等面积定律，那么我们就知道，在给定的时间间隔内，在远日点扫过的面积和在近日点扫过的面积相等；在短时间间隔Δt 内，质点在近日点通过距离va Δt ，所以它扫过的面积约为a ·va Δt /2，而在远日点，质点经过的距离vb Δt ，扫过的面积约为bvb Δt /2，“面积相等”意指ava Δt /2等于bvb Δt /2——这意味着速度与半径反比地变化（见图3-4）。

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