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你若仔细看一下（3.5）式，可能会说“好，我可以用b2 去乘，于是上式就变为b 的二次方程。”或者，如果你们喜欢，就像原来这样，解 的二次方程——两种方法都行。 的解为：
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此后我不再讨论这个代数式；你们知道如何解二次方程，并且b 存在两个解：可以发现其中一个解是b 等于a ——这令人高兴，因为如果你们考察（3.2）式就会看到，显然b 等于a 时方程将相等。（这意味着b 就是a 。）根据另一个解，得到用a 表示的b 的公式，把它写下：
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现在的问题是，我们是否可用这样的方式来写上式，即使得va 与距离a 处的逃逸速度的关系能够明显看出。注意到由（3.1）式，2GM /a 就是逃逸速度的平方，所以我们可把上式写成如下形式：
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这就是最后的结果，相当有意思，首先假定va 小于逃逸速度。在这种情况下，我们预料质点不会逃逸，所以我们会得到合理的b 值。果然，要是va 小于vesc ，则vesc /va 大于1，其平方也大于1，减去1，你们就得到某个合理的位置数值，a 除以该数就告诉我们b 。
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粗略估计我们分析的精确程度，一个好的办法是利用我们在第九次讲课[2] 中对轨道所做数值计算，其中的b 和我们从（3.8）式中所求出的b 是否一致。它们为什么不完全一致？当然不会相同，因为积分的数值方法是用不连续的小段来代替连续的时间。所以它不是精确的。
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无论如何，这就是当va 小于vesc 时如何求b 的方法。［顺便说说，知道b 和a 后，我们就知道了椭圆的半长轴，要是愿意我们就能根据（3.2）式算出轨道周期。］
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但有趣的事情是：首先假定，va 精确等于逃逸速度，那么vesc /va 为1，而（3.8）式告诉我们b 为无穷大。这意味着轨道不是 椭圆；这表示轨道延伸到无穷远。（可以证明，在这种特殊情况下，轨道是一抛物线。）所以事实是，不论你们在靠近一颗恒星或行星的任何地方，也不论你们朝什么方向运动，只要你们具有逃逸速度，你们就会逃逸，完全正确——即使你们不是朝着正确的方向，你们也不会被捕获。
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还有一个问题是，如果va 超过 逃逸速度会发生什么情况？那时vesc /va 小于1，结果b 为负——那并不表示什么，只表示没有实际的b 。从物理意义上来讲，答案更像是这个样子：粒子以非常高的速度，比逃逸速度高得多，射入并被偏转——但它的轨道不是椭圆。实际上它的轨道是双曲线。所以围绕太阳运动的物体的轨道不只是椭圆，像开普勒所认为的那样。但对于以较高速率运动物体，其轨道的一般情况包括椭圆、抛物线及双曲线。（在这里我们不去证明它们是椭圆、抛物线或双曲线，但这就是这个问题的答案。）
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3-2 原子核的发现
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双曲线轨道的问题是有趣的，具有很有意义的历史上的应用。我很愿意把它介绍给你们；这在图3-5中阐明。我们选取非常 高的速率及相对小的力这种极限情况，那就是，物体如此快地通过，一级近似下它沿直线运动（参见图3-5）。
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图3-5 当一个高速质子通过原子核附近时，它因受到电场作用而偏转
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我们假设原子核带有电荷+Zqel （这里-qel 是电子电荷），一带电粒子——按照你自己的条件，可以用某种离子也一样（最初是用α 粒子）——从它附近距离b 处通过，我们可以用质子，其质量为m ，速度为v ，电荷为+qel （对于α 粒子，其电荷就是+2qel ）。质子并不完全沿直线通过，而是偏转一个很小的角度。问题是该角度是多少？现在，我们不准备作精确计算，而是做粗略的估计——借以获得角度如何随b 而变化的某些概念。（我作非相对论性的讨论，虽然考虑相对论计算也同样简单——只有很小的改变，你们可以自己去计算。）显然，b 越大，偏转角就越小。问题是，偏转角是随b 的平方减少，或者立方，或者b ，还是别的什么次方？我们希望得到有关这方面的一些概念。
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（其实，这是你着手处理任何复杂或不熟悉的问题如何着手的方法问题：你们首先获得一个粗略的概念；然后在你们对它了解得较多后再回过头来，并更仔细地去解这个问题。）
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所以最初的粗略分析会遇到像这样的事情：当质子飞过时，它受到来自核的侧向力的作用——当然，也有其他方向的力，是侧向力使它偏转，不再沿原来的直线方向前进，现在它有了向上的速度分量。换句话说，它获得了力的作用产生的、在力的方向上的一些向上的动量。
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现在要问，向上的力有多大？嗯，它沿质子运动路径变化。但粗略地估计它或多或少依赖于b ，而最大的力（当质子通过中心位置时）为
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