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图3-3 距离质量为M的物体a处的逃逸速度
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现在，这是在半径a 处的逃逸速度公式。但是假定速度va 是任意的，而我们来求由va 表示的b 。能量守恒告诉我们，质点在近日点的动能和势能必定等于它在远日点的动能和势能——这样我们就能利用它来计算b ，一眼就看出：
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Infelizmente [1] ，我们却没有vb ，所以除非存在某种外部机制或者经分析而得出vb ，否则我们永远无法从（3.2）式求出b 。
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但是如果我们记得开普勒的等面积定律，那么我们就知道，在给定的时间间隔内，在远日点扫过的面积和在近日点扫过的面积相等；在短时间间隔Δt 内，质点在近日点通过距离va Δt ，所以它扫过的面积约为a ·va Δt /2，而在远日点，质点经过的距离vb Δt ，扫过的面积约为bvb Δt /2，“面积相等”意指ava Δt /2等于bvb Δt /2——这意味着速度与半径反比地变化（见图3-4）。
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图3-4 利用开普勒等面积定律求卫星在远日点的速度
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于是，上式给了我们由va 表示的vb 的公式。我们可以将其代入（3.2）式。因而我们就有一个确定b 的方程：
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两边除以m ，再重新排列，我们得
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你若仔细看一下（3.5）式，可能会说“好，我可以用b2 去乘，于是上式就变为b 的二次方程。”或者，如果你们喜欢，就像原来这样，解 的二次方程——两种方法都行。 的解为：
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此后我不再讨论这个代数式；你们知道如何解二次方程，并且b 存在两个解：可以发现其中一个解是b 等于a ——这令人高兴，因为如果你们考察（3.2）式就会看到，显然b 等于a 时方程将相等。（这意味着b 就是a 。）根据另一个解，得到用a 表示的b 的公式，把它写下：
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现在的问题是，我们是否可用这样的方式来写上式，即使得va 与距离a 处的逃逸速度的关系能够明显看出。注意到由（3.1）式，2GM /a 就是逃逸速度的平方，所以我们可把上式写成如下形式：
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这就是最后的结果，相当有意思，首先假定va 小于逃逸速度。在这种情况下，我们预料质点不会逃逸，所以我们会得到合理的b 值。果然，要是va 小于vesc ，则vesc /va 大于1，其平方也大于1，减去1，你们就得到某个合理的位置数值，a 除以该数就告诉我们b 。