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粗略估计我们分析的精确程度，一个好的办法是利用我们在第九次讲课[2] 中对轨道所做数值计算，其中的b 和我们从（3.8）式中所求出的b 是否一致。它们为什么不完全一致？当然不会相同，因为积分的数值方法是用不连续的小段来代替连续的时间。所以它不是精确的。
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无论如何，这就是当va 小于vesc 时如何求b 的方法。［顺便说说，知道b 和a 后，我们就知道了椭圆的半长轴，要是愿意我们就能根据（3.2）式算出轨道周期。］
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但有趣的事情是：首先假定，va 精确等于逃逸速度，那么vesc /va 为1，而（3.8）式告诉我们b 为无穷大。这意味着轨道不是 椭圆；这表示轨道延伸到无穷远。（可以证明，在这种特殊情况下，轨道是一抛物线。）所以事实是，不论你们在靠近一颗恒星或行星的任何地方，也不论你们朝什么方向运动，只要你们具有逃逸速度，你们就会逃逸，完全正确——即使你们不是朝着正确的方向，你们也不会被捕获。
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还有一个问题是，如果va 超过 逃逸速度会发生什么情况？那时vesc /va 小于1，结果b 为负——那并不表示什么，只表示没有实际的b 。从物理意义上来讲，答案更像是这个样子：粒子以非常高的速度，比逃逸速度高得多，射入并被偏转——但它的轨道不是椭圆。实际上它的轨道是双曲线。所以围绕太阳运动的物体的轨道不只是椭圆，像开普勒所认为的那样。但对于以较高速率运动物体，其轨道的一般情况包括椭圆、抛物线及双曲线。（在这里我们不去证明它们是椭圆、抛物线或双曲线，但这就是这个问题的答案。）
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3-2 原子核的发现
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双曲线轨道的问题是有趣的，具有很有意义的历史上的应用。我很愿意把它介绍给你们；这在图3-5中阐明。我们选取非常 高的速率及相对小的力这种极限情况，那就是，物体如此快地通过，一级近似下它沿直线运动（参见图3-5）。
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图3-5 当一个高速质子通过原子核附近时，它因受到电场作用而偏转
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我们假设原子核带有电荷+Zqel （这里-qel 是电子电荷），一带电粒子——按照你自己的条件，可以用某种离子也一样（最初是用α 粒子）——从它附近距离b 处通过，我们可以用质子，其质量为m ，速度为v ，电荷为+qel （对于α 粒子，其电荷就是+2qel ）。质子并不完全沿直线通过，而是偏转一个很小的角度。问题是该角度是多少？现在，我们不准备作精确计算，而是做粗略的估计——借以获得角度如何随b 而变化的某些概念。（我作非相对论性的讨论，虽然考虑相对论计算也同样简单——只有很小的改变，你们可以自己去计算。）显然，b 越大，偏转角就越小。问题是，偏转角是随b 的平方减少，或者立方，或者b ，还是别的什么次方？我们希望得到有关这方面的一些概念。
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（其实，这是你着手处理任何复杂或不熟悉的问题如何着手的方法问题：你们首先获得一个粗略的概念；然后在你们对它了解得较多后再回过头来，并更仔细地去解这个问题。）
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所以最初的粗略分析会遇到像这样的事情：当质子飞过时，它受到来自核的侧向力的作用——当然，也有其他方向的力，是侧向力使它偏转，不再沿原来的直线方向前进，现在它有了向上的速度分量。换句话说，它获得了力的作用产生的、在力的方向上的一些向上的动量。
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现在要问，向上的力有多大？嗯，它沿质子运动路径变化。但粗略地估计它或多或少依赖于b ，而最大的力（当质子通过中心位置时）为
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（我用e2 代替 ，所以我就可以写方程式快一些。[3] ）
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如果我知道力作用时间有多长，那么我就能估计出它传送的动量。力作用了多长时间呢？嗯，质子离在一英里以外不受到力的作用。但是，粗略地讲，只要质子和原子核处在通常邻近距离上，就有通常量级的力对它作用。多远？距离原子核b 的范围以内通过时就有或大或小的力？所以力的作用时间就是距离b 的数量级除以速率v （见图3-6）。
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图3-6 原子核的电力对质子的有效作用时间正比于它们之间的最近距离
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牛顿定律告诉我们，力等于动量的变化率——所以，要是我们把力乘以其作用的时间，就得到动量的改变。因此，质子获得的垂直方向的动量为
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上式并不精确 成立；归根到底，当我们对这种情况作精确积分时，就可能出现2.716这种或其他数字因子——至于现在，我们只是试图求出依赖于各个字母所代表的物理量的数量级。
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当粒子离开时具有的水平方向的 动量，实际上与它入射时的动量相同，其为mv ：