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我们想要求得累积的总速度。那好，让我们看看，在第一次抛弃一个单位的质量后获得了多少速率？这很容易，它是
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但这不完全对，因为在你们吐出一个单位质量的时候，反作用的质量不是10；当你们把一个单位质量全部喷出后，它只剩9。你们看，Δm 被射出去后，火箭的质量只有m -Δm ，所以最好把上式写成
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但这还是不完全正确。如果火箭真的是一团一团地抛出物质，上式就是对的，但它不是——它是连续地抛出物质。在一开始，火箭的质量是10，在放出一个单位质量的末尾，它的质量仅为9——所以平均起来，它大致上是9.5。在第一个单位质量抛出的时间内，我们说质量m =9.5是反抗Δm =1的有效平均惯性质量，所以火箭得到一个等于 的反冲Δv ：
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把这些有一半的数值放进去是有好处的，因为你们只需较少步骤就得到高的精度。当然它仍然不是精确的。如果我们想做得更仔细一些，可以用一团较小的物质，像 ，并作更多的分解。但是我们这里做得粗糙一些，用Δm =1，再继续做下去。
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现在火箭的质量只有9，从火箭后部抛出另一个单位质量，我们求得下一个Δv 为…1/9吗？不！…1/8？不！它应该是Δv =1/8.5，因为质量从9到8一直是连续变化的，所以它平均大约是8.5。对于下一个单位质量，我们得Δv =1/7.5。从而我们发现答案是1/9.5、1/8.5、1/7.5、1/6.5。嗒、嗒、嗒…——直到末尾。最后一步，从2个单位质量降到1个单位，平均质量为1.5，最后剩下一个单位质量。
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最后，我们计算所有这些比率，（只要一会儿，这些数值都是简单的数，不难把它们计算出来。）只要把它们都加起来就得到答案2.268。它表示火箭获得的最后速度比燃料的排出速度u 快2.268倍。那就是这个问题的答案——仅此而已！
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现在你们或许会讲，“我不喜欢这里的精度——这结果有点草率。下面的讲法就非常好，‘在第一步中，质量从10变到9，所以它大约是9.5。’但在最后一步，它从2变到1，而你把整个过程取平均值1.5。把最后一步分得更细，每一次抛出半个质量单位，因此得到稍微好一点的精度。这样做不是更好吗”？（这是计算方法上的技术问题。）
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让我们看看，第一次半个单位的质量抛出去的时候，火箭质量从2降到1.5，平均为1.75，所以我们对公式 取 乘以半个单位。然后我对第二个半个单位用同样的方法，质量从1.5降到1，平均值为1.25：
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所以你们能够在最后一步做一些改进——你们也可以用同样的方法改进其余全部系数，如果你们不怕麻烦——Δv 用0.686代替0.667，这意味着我们前面的答案稍为低了点。你们算出好一些的结果，v ≈2.287u 。最后所得的数字实际上也不可靠，但我们的估算是很接近了，精确的答案是离2.3不远。
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现在我必须告诉你们，由于积分 是一个如此简单的函数，它在许多问题中出现，所以人们已经把它制成了一个表，并给它取了个名字：称为自然对数，ln（x ）。如果你们恰巧在一个自然对数表中看到ln（10），你们会发现它实际上是2.302585：
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你可以用我们使用的相同技巧获得许多精确的数字，这种技巧提供你们用更精细得多的间隔像 等来代替1——而这正是已经做过的事情。
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不管怎样，我们很快就做得非常好了，无须知道什么，也不需要查表。所以我反复强调，在紧急情况下，你们总能够用算术的方法做计算。
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3-5 化学火箭