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图3-10 通过喷射出速度为u的质量Δm，火箭在Δt的时间间隔内增加了速度Δv
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现在，这些质量向后抛出后，火箭向前运动增加多少呢？在它向前运动的速率必须满足总动量守恒。也就是说，它将以这样的方式获得一点速率Δv ，即如果火箭的壳体和剩余燃料在这瞬时的质量为m ，那么m 乘Δv 就应与这段时间向外抛射的动量，即Δm 乘u ，相等。这就是火箭理论的全部内容；基本火箭方程是：
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我们可以用μ Δt 代替Δm ，稍加推演，就可求出火箭达到给定速度要花多长 时间[4] ，但我们的问题是求出最后速度，而我们可以直接从（3.15）式来求：
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为了求出火箭从静止出发，最后达到的速度，你们对u （dm /m ）从初始质量到最后质量求积分。现在u 假定为常数，所以可把它提到积分号外，因而我们得
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dm /m 的积分，你们也许知道，也许不知道。让我们假定你们不知道。你们说，“1/m 是一个如此简单的函数，所以我一定要 知道它的微商：我会不停地尝试直到求出它为止。”
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但是你们发现找不到任何简单函数——用m 表示的、用m 的乘方以及这一类的函数，你们对这些函数进行微商时会给出1/m 。所以不知道用哪种方法时，我们要用另外的方法去做。这里我们要用数值积分来求它。
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记住：每当你被数学分析难住时，你总能够用算术的方法来做 。
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3-4 数值积分
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让我们假定初始质量为10，并取简单近似，即每一次丢掉一个单位质量。进一步按以u 为单位测量所有的速度。因为这样我们就简单地得到Δv =Δm /m 。
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我们想要求得累积的总速度。那好，让我们看看，在第一次抛弃一个单位的质量后获得了多少速率？这很容易，它是
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但这不完全对，因为在你们吐出一个单位质量的时候，反作用的质量不是10；当你们把一个单位质量全部喷出后，它只剩9。你们看，Δm 被射出去后，火箭的质量只有m -Δm ，所以最好把上式写成
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但这还是不完全正确。如果火箭真的是一团一团地抛出物质，上式就是对的，但它不是——它是连续地抛出物质。在一开始，火箭的质量是10，在放出一个单位质量的末尾，它的质量仅为9——所以平均起来，它大致上是9.5。在第一个单位质量抛出的时间内，我们说质量m =9.5是反抗Δm =1的有效平均惯性质量，所以火箭得到一个等于 的反冲Δv ：
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把这些有一半的数值放进去是有好处的，因为你们只需较少步骤就得到高的精度。当然它仍然不是精确的。如果我们想做得更仔细一些，可以用一团较小的物质，像 ，并作更多的分解。但是我们这里做得粗糙一些，用Δm =1，再继续做下去。
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