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少了一骑士，失了一胜仗；
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少了一胜仗，失了一王国。20
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20乔治·赫伯特；诺伯特·维纳也在这个语境中引用过这段话，参见：“Nonlinear Prediction and Dynamics,”in Norbert Wiener: Collected Works with Commentaries, ed. P. Masani (Cambridge, Mass.: The M.I.T. Press, 1981), 3: 371. 维纳在洛伦茨之前就预见到至少“天气图上小细节的自放大”的可能性。他指出：“龙卷风是一种高度局域性的现象，而其确切轨迹可能是由一些看上去微不足道的小事决定的。”
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像在生活中一样，在科学中，众所周知，一连串事件中可以有一个激变点，将小的变化放大。但混沌意味着，这样的点到处都是。它们无处不在。在像天气这样的系统中，对初始条件的敏感依赖是小尺度与大尺度交织在一起的方式的一个不可避免的结果。
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他的同事惊喜于洛伦茨同时把握到了非周期性和对初始条件的敏感依赖，而他所用的只是一个天气的玩具模型：十二个方程，然后凭借机械的高效率一遍遍加以计算。那么这样的丰富性、这样的不可预测性（这样的混沌），如何能够从一个简单的决定论式系统中冒出来？
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洛伦茨暂时放下天气，试图找到比它还要更简单的方式去生成这种复杂的行为。最终他在一个只由三个方程构成的系统中找到了这样的方式。这些方程是非线性的，也就是说，它们所表示的关系不是严格成比例的。线性关系可被表示为图上的一条直线。它理解起来也很容易：多多益善。线性方程组是可解的，而这使得它们适合进入教科书。线性系统还具有一个重要的构件化优点：你可以把它们拆开，然后再把它们组装到一起——其各部分是可加的。
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非线性系统则一般是不可解和不可加的。在流体系统和力学系统中，非线性的项往往是人们在试图得到一个简单明了的理解时希望加以忽略的一些特征。比如，摩擦力。在没有摩擦力的情况下，加速一枚冰球所需的能量可用一个简单的线性方程表示出来。而在有摩擦力的情况下，关系变得更为复杂，因为所需的能量取决于冰球已有的运动速度。非线性意味着，参与游戏的行为本身会改变游戏规则。你无法赋予摩擦力一个恒定的重要性，因为其重要性取决于速度。而速度，反过来，又取决于摩擦力。这种相互依赖使得非线性难以计算，但它也创造出了丰富多彩的、不见于线性系统的各类行为。在流体动力学中，一切都可以归结到一个经典方程——纳维–斯托克斯方程。这是一个简洁性的奇迹，将流体的速度、压强、密度和黏度联系到了一起，但它碰巧是非线性的。所以这些关系的性质常常变得不可能明确确定。分析一个像纳维–斯托克斯方程这样的非线性方程的行为，就仿佛是穿行在一个迷宫当中，并且其墙壁会随着你的每一步而发生重新排列。就像冯·诺伊曼自己所说的：“方程的特性……在所有相关层面上都同时发生改变：次数和度都发生改变。因此，棘手的数学难题必定随之而来。”21 要是纳维–斯托克斯方程里不包含非线性的魔鬼，那么世界会变得大不相同，科学也会不需要混沌。
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21John von Neumann,“Recent Theories of Turbulence”(1949), in Collected Works, ed. A.H. Taub (Oxford: Pergamon Press, 1963), 6: 437.
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洛伦茨的三个方程受到了一类特定的流体运动的启发：热的气体或液体的上升，即对流。在大气中，靠近地面的空气受热膨胀上升；在热的沥青和散热器表面，热气升腾，氤氲似鬼魅。洛伦茨也乐于谈论一杯热咖啡中的对流。22 按照他的说法，这只是我们可能希望预测其未来的不可计数的流体动力过程中的一种。我们如何能够计算出一杯咖啡会冷却得多快？如果咖啡只是温的，那么不需要任何流体动力运动，其热量也会慢慢耗散。这时咖啡维持在一个定态。但如果它足够热，对流过程就会将热咖啡从杯底带到温度较低的杯面。只需在杯中加入些许稀奶油，咖啡中的对流便会变得清晰可见。由此产生的白色涡旋可以非常复杂。但这样一个系统的长期命运是显而易见的。由于热量不断耗散，也由于摩擦力减缓了流体的速度，整个运动必定最终不可避免会停止。洛伦茨便对着一帮科学家一本正经地开玩笑道：“我们可能难以预报咖啡在一分钟后的温度，但我们应该不难预报它在一小时后的温度。”23 刻画一杯慢慢冷却的咖啡的运动方程组必须要能够反映系统的这种命运。它们必定要是耗散的。咖啡的温度必定要逐渐趋于室温，而速度必定要趋于零。
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22“The Predictability of Hydrodynamic Flow,”in Transactions of the New York Academy of Sciences II : 25: 4 (1963), pp. 409–432.
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23同注 [21], p. 410.
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洛伦茨选取了一组描述对流的方程，并极力简化，舍弃一切有可能出错的东西，使之简单到脱离现实。24 原始模型几乎一点儿影子都没有剩下，但他的确将非线性保留了下来。在物理学家的眼中，这些方程看上去甚是简单。你会扫上一眼（后来的许多科学家确实就是如此），然后说：“我能够求解它。”
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24这个为对流建模的方程组原本包含七个方程，由耶鲁大学的巴里·萨尔茨曼设计。洛伦茨在一次拜访他时见到了它们。通常情况下，萨尔茨曼的方程组表现出周期性，但有一个版本，按照洛伦茨的说法，“拒绝安定下来”，并且洛伦茨意识到，在这样的混沌行为中，其中四个变量趋向于零——因而它们可以被舍弃。Barry Saltzman,“Finite Amplitude Convection as an Initial Value Problem,”Journal of the Atmospheric Sciences 19 (1962), p. 329.
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“确实，”洛伦茨平静地说道，“当你看到它们时，你会倾向于这样想。它们当中存在一些非线性的项，但你认为必定存在某种方式可以绕过它们。但你就是无法做到。”
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最简单的教科书式对流出现在一个充满流体的盒子中，盒子的一个平滑底面可被加热，而另一个平滑顶面可被冷却。热的底部与冷的顶部之间的温差控制着流体流的运动。如果温差很小，那么整个系统保持静止。这时热量通过热传导从底部流向顶部，就仿佛流经一块金属，不足以克服流体宏观上维持不动的自然倾向。此外，整个系统是稳定的。任何随机运动（比如一个研究生敲击实验设备所引发的）会慢慢消失，使系统回归其定态。
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©Adolph E. Brotman
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翻滚的流体
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当一种液体或气体在底部受热时，该流体倾向于自组织形成一个个圆柱状的涡卷（左图）。热流体在一边上升，逐渐失去热量，然后在另一边下沉——这就是对流过程。进一步加热后（右图），一种不稳定性开始出现，涡卷开始沿着圆柱体的长轴前后摆动。在更高的温度上，流体流变得恣意和紊乱。
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但增大加热强度，新的一类行为就会出现。随着底部的流体受热，它体积膨胀。随着它体积膨胀，它密度变小。而随着它密度变小，它相对变轻，足以克服摩擦力，从而上升至顶部。在一个小心设计过的盒子中，圆柱状的涡卷会出现，其中一边是热流体受热上升，另一边则是冷流体下沉补充。从侧面看，整个运动构成了一个连续的圆。而在实验室之外，大自然也经常创造出它自己的对流涡胞。比如，当太阳加热沙漠的地表时，翻滚的气流会在上面的积云或下面的沙堆中创造出神秘莫测的模式。
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进一步增大加热强度，流体的行为会变得更为复杂。涡卷会开始扭曲、摆动。洛伦茨的方程组太过简化，完全不足以为这类复杂性建模。它们所抽象的只是现实世界对流的一个特征：热流体上升而冷流体下沉、翻滚仿似摩天轮的圆周运动。这些方程考虑了这种运动的速度以及热量的传递，而这些物理过程是相互作用的。随着热流体沿着圆上升，它会与其他较冷的部分相接触，从而开始失去热量。如果运动的速度足够快，那么底部流体在抵达顶部并开始顺着涡卷的另一边下沉时不会失去所有的额外热量，所以它实际上会开始阻碍处在身后的其他热流体的运动。
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尽管洛伦茨的系统没有为对流完全建模，但事实证明，它还是能在现实系统中找到一些确切的对应物。比如，他的方程组就精确描述了一种老式发电机。作为现代发电机的祖先，圆盘发电机通过圆盘在磁场中转动而生成电流。在特定条件下，一种双圆盘发电机能够反转线路中的电流。在洛伦茨的方程组变得为更多人所知后，有些科学家就提出，这样一种发电机的行为或许可以解释另一种怪异的反转现象：地磁场。人们已经知道，在地球的历史上，这种“地磁发电机”已经反转过很多次，并且这些反转之间的间隔看上去毫无规则、难以解释。25 面对这样的不规则性，理论研究者通常试图在系统之外寻找解释，提出诸如陨石撞击之类的理由。但或许地磁发电机自有其混沌。
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25马尔库斯；地磁场的混沌学说仍然饱受争议，有些科学家就试图寻找外部解释，比如巨型陨石的冲击。对于地磁场的反转源自系统内禀的混沌的思想，一个早期阐述参见：K.A. Robbins,“A Moment Equation Description of Magnetic Reversals in the Earth,”Proceedings of the National Academy of Science 73 (1976), pp. 4297–4301.
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另一个可被洛伦茨的方程组精确描述的系统是某种水车，这是对流的圆周运动的一个力学类比。26 在顶部，水匀速流入挂在水车边缘的水斗中。每个水斗则透过底下的一个小孔匀速将水漏出。如果水流缓慢，那么最高处的水斗将永远无法积累足够多的水，不足以克服摩擦力；但如果水流变快，最高处的水斗的重量将带动水车开始转动。转动可能持续朝同一个方向。或者如果水流如此之快，以至于重的水斗越过最低点来到另一边，于是整个水车可能变慢、停止，然后反向转动，一下朝一个方向，一下朝另一个方向。
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26马尔库斯。