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但不可预测性并不是物理学家和数学家在 20 世纪六七十年代再次开始严肃看待单摆的原因。不可预测性只是一开始吸引他们注意的地方。这些研究混沌动力学的学者进而发现，简单系统的无序行为也是一个创造性的过程。它生成了复杂性：一些复杂的模式，它们有时稳定，而有时不稳定，有时有限，而有时无限，但总是有着一种仿佛具有生命一般的吸引力。这也是为什么科学家开始钻研玩具。
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其中一种玩具是“太空球”22 或“太空秋千”，两个空心球连在一根短棒的两端，短棒的中心架在一个单摆的一端，单摆摆杆的中心则架在支架上，另一端接着第三个更重的球。底下的第三个球来回摆动，顶上的短棒及另两个球则可以自由转动。所有三个球都内装小块磁铁，并且一旦运动起来，整个装置就会不断运动下去，因为在底座内部有一块电池驱动的电磁铁。装置感知到最底下那个球的接近，并在它经过时用磁力为它推上一把。有时候，整个玩具会进入一种稳定的、规则的摆动。但其他时候，其运动看上去始终是混乱的，总是不断变化，给人无尽的惊喜。
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22迈克尔·贝里研究了这种玩具的物理学，对其建模并进行实验。在《不可预测的摆动–转动球》一文中，他描述了一系列只能通过混沌动力学的语言（“KAM 轨线、周期轨道的分岔、哈密顿混沌、不动点，以及奇怪吸引子”）理解的行为。
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另一种玩具实质上是一种所谓的球面摆——不像单摆只能在一个竖直平面内来回摆动，球面摆可以在一个球面内的各个方向上自由摆动。它的底座上固定着一些小的磁铁。这些磁铁吸引金属摆锤，而当摆停止时，摆锤会被其中一块磁铁所捕获。这里的玩法是，让摆摆动，然后猜哪块磁铁会胜出。即使在只有摆放成三角形的三块磁铁的情况下，摆的运动也是无法预测的。它可能会在磁铁 A 与 B 之间来回摆动一会儿，然后转换到 B 与 C 之间摆动，再然后，就在它看上去将最终停靠到 C 上时，又跳回到 A。设想一位科学家通过以下方式作图来系统地探索这种玩具的行为：选取一个起始点；将摆锤拉到那个位置，然后放手；根据摆锤最后停靠到哪块磁铁上，将那个点相应标为红色、蓝色或绿色。这幅图最终看上去会是什么样子的？正如我们可能预期的，它会有一些实心的红色、蓝色或绿色区域——从某个区域内出发，摆锤将稳妥地停靠到特定一块磁铁上。但它也会有一些区域，其中不同颜色相互交织，呈现出无尽的复杂性。在一个红色的点附近，不论我们如何靠近看，也不论我们将图放大多少倍，总是会有些蓝色和绿色的点。因此，摆锤的命运实际上将是无法预测的。
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传统上，一位动力学研究者会相信，将一个系统的方程组写出来就是理解了这个系统。还有什么比这更好的把握其核心特征的方式吗？对于一具秋千或一件玩具来说，这样的方程组会将单摆的夹角、速度、摩擦力以及所受外力联系在一起。但由于这样的方程组中存在的一点点非线性，研究者会发现自己根本没有办法回答哪怕简单的关于这个系统未来的实际问题。他可以通过计算机模拟，进行一轮轮快速计算来处理这个问题。但模拟会带来它自己的问题：每轮计算中隐含的微小不精确性会快速积累扩大，因为这是一个对初始条件敏感依赖的系统。很快，有用的信号消失不见，剩下的唯有一片噪声。
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但真是这样吗？洛伦茨找到了不可预测性，但他也找到了模式。其他人同样在看上去随机的行为中发现了结构的踪影。单摆的例子可能由于简单而容易被人无视，但那些选择不去无视它的人从中找到了一条富有启迪性的讯息。他们意识到，在某种意义上，原有的物理学很好地理解了单摆运动的基本机制，但它无法将这种理解扩展到长期的情况。微观图景非常清晰，但宏观行为仍是个谜。从局域看待系统（分离出各自的机制，然后将它们加总起来）的传统开始被打破。对于单摆、流体、电路或激光来说，那种基本方程组的知识看上去不再是我们要找的那类正确知识。
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20 世纪 60 年代，其他个体科学家也做出了与洛伦茨类似的发现，比如，一位法国天文学家就研究了一颗恒星绕一个银河中心的非线性运动 23，而一位日本电子工程师则为电路建了模 24。但对于理解全局行为如何可能不同于局域行为，第一批有计划的、有协调的尝试来自数学家。其中之一就是来自加州大学伯克利分校的斯蒂芬·斯梅尔，他之前已经因在高维拓扑学上的研究而享有盛誉。一位年轻物理学家 25 曾在闲聊时问斯梅尔当时在研究什么，结果后者的回答把他惊呆了：“振子。”这简直荒唐。振子（单摆、弹簧或电路）是一位物理学家在其训练的早期就早早弄懂的一类问题。毕竟它们很简单。为什么一位杰出的数学家会在研究这么基础的物理学？直到多年以后，这位年轻人才意识到，斯梅尔当时是在研究非线性振子，也就是那种混沌振子，并看出了物理学家已经学会不去看的东西。
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23埃农。
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24上田睆亮。
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25福克斯。
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斯梅尔当时做了一个错误的猜想。26 以最为严格的数学语言，他猜想说，差不多所有动力系统，在大多数时候，最终都将趋向不是太过奇怪的行为。但正如他很快就会了解到的，事情并没有这么简单。
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26斯梅尔，约克，古肯海默，亚伯拉罕，梅，费根鲍姆；对于斯梅尔在这个时期的思考的一个有点琐记性质的简短描述是：“On How I Got Started in Dynamical Systems,”in Steve Smale, The Mathematics of Time: Essays on Dynamical Systems, Economic Processes, and Related Topics (New York: Springer - Verlag, 1980), pp. 147–151.
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斯梅尔是一位不仅解决问题，也揭示问题供其他人解决的数学家。他对于历史的理解以及对于自然的直觉使得他能够独具慧眼，见人所未见，因而他转向了哪个新领域，就是在无言地宣告这个未被尝试的研究领域现在值得数学家花费时间。就像一个成功的商人，他评估风险，冷静地计划自己的策略，并且他具有一种花衣吹笛手的特质。斯梅尔转向哪里，许多人就跟到哪里。不过，他的声望不只局限于数学领域。在 20 世纪 50 年代，他和杰里·鲁宾一道组织了“国际抗议美国军事干预日”，并发起了试图拦阻军队运输火车通过加利福尼亚州的抗议。1966 年，当美国众议院非美活动调查委员会发出传唤，要求他到场作证时，他正在欧洲，准备前往莫斯科参加国际数学家大会。在莫斯科，他获得了数学领域的最高荣誉——菲尔茨奖。
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那年夏天发生在莫斯科的一幕后来成为斯梅尔传奇中不可磨灭的一部分。27 五千位政治立场各异的数学家齐聚一堂。一时间场内外气氛紧张，各种请愿书在众人间流传。在大会接近尾声时，斯梅尔接受了一位记者的请求，在莫斯科大学的大台阶上举办了一场记者会。他的一番言论给他惹了一点儿麻烦，话音刚落即被带走接受问话。而当他返回加利福尼亚州后，美国国家科学基金会也取消了对他的资助。28
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27Raymond H. Anderson,“Moscow Silences a Critical American,”The New York Times, 27 August 1966, p. 1; Smale,“On the Steps of Moscow University,”The Mathematical Intelligencer 6:2, pp. 21–27.
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28斯梅尔。
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斯梅尔所获的菲尔茨奖是表彰他在拓扑学领域所做出的一项重要贡献。拓扑学这一数学分支兴盛于 20 世纪，并在 50 年代一度如日中天；它研究的是那些不因形变（比如，拉伸、压缩和弯曲）而变化的性质。在拓扑学中，一个形状是方是圆，是大是小，都无关紧要，因为拉伸和压缩能改变这些性质。拓扑学家感兴趣的是，一个形状是否是连通的，是否有孔洞，是否是打结的。并且，他们不只研究一维、二维或三维欧几里得空间中的曲面，也研究更高维度的、无法可视化的空间中的曲面。拓扑学是橡胶垫上的几何学。它关心的是定性关系而非定量关系。它问的是，如果你没有测量可供参考，你又能对整体结构做出哪些判断。斯梅尔证明了在五维或更高维度下的庞加莱猜想，从而将解决这个拓扑学的历史难题往前推进了一大步，也奠定了自己在该领域的显要地位。不过，在 20 世纪 60 年代，他离开拓扑学，转向了一个未被尝试的领域。他开始研究动力系统。
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拓扑学和动力系统，这两个课题都可追溯至亨利·庞加莱，而他将这两者视为一枚硬币的两面。身处世纪之交，庞加莱是最后一位将某种几何想象力应用于物理世界的运动定律的大数学家。他也是第一位理解混沌的可能性的数学家，其工作揭示出了一类几乎与洛伦茨所发现的同样严重的不可预测性。但在庞加莱去世后，不像拓扑学日渐枝繁叶茂，动力系统变得湮没无闻。甚至这个名字都变得无人使用，斯梅尔所转向的领域当时就被称为微分方程。微分方程描述了系统随时间连续变化的方式。传统的做法是从局域看待这些事情，也就是说，工程师或物理学家一次考虑一组可能性。但就像庞加莱一样，斯梅尔想要从全局上理解它们，也就是说，他想要一次理解全部可能性。
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任何一组描述了一个动力系统（比如，洛伦茨的系统）的方程，都允许在一开始对特定参数进行设置。比如在热对流的例子中，这样一个参数涉及流体的黏度。对于这些参数的大的调整可能会导致一个系统出现大的差异——像进入一个定态与出现周期性振荡这样的差异。但物理学家长久以来都假设，非常小的调整只会造成非常小的数值上的差异，而不会是行为上的质变。
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能将拓扑学与动力系统关联起来的是这样一种可能性，即有可能利用一个形状来将一个系统的全体行为可视化。对于一个简单系统，这样的形状可能是某种曲面；对于一个复杂系统，它可能是一个多维流形。这样一个曲面上的一个点代表该系统在某个时刻的状态。而随着该系统随时间发展变化，这个点在曲面上不断移动，形成一条轨线。将这个形状稍作变形便对应于改变该系统的参数，比如，使一种流体的黏度变大或略微更用力地驱动一只单摆。看上去大体相同的两个形状则给出了大体相同的两种行为。因此，如果你能把这个形状可视化，那么你也就能理解该系统。
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当斯梅尔转向研究动力系统时，当时的拓扑学研究就像大多数纯数学，是明确鄙弃其现实应用的。拓扑学的起源曾经与物理学有着紧密的关系，但对于数学家来说，其曾经的物理学起源早已被遗忘，这时是为了形状而研究形状。斯梅尔完全相信这套理念（他是纯数学家中纯之又纯的），但他也认为，拓扑学这些抽象的、深奥的发展现在有可能为物理学提供某种洞见，就像当初庞加莱在世纪之交时所意图做的。
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事实上，斯梅尔的最早一批贡献之一正是他那个错误的猜想。换成物理学语言，他所猜想的是大致这样一条自然定律：一个系统有可能表现得行为难以捉摸，但这种难以捉摸的行为不可能是稳定的。稳定性（或者“在斯梅尔眼中的稳定性”，正如严谨的数学家有时会加以限定的）是一个关键性质。一个系统中的稳定行为是那种不会因为某个数值稍有改变就消失不见的行为。每个系统本身都存在稳定的和不稳定的行为。一方面，描述一支笔尖朝下、试图立在平面上的铅笔的方程组有一个很好的数学上的解，即让重心位于笔尖的正上方——但你终究无法让一支铅笔笔尖朝下竖直站立，因为这个解是不稳定的。最轻微的扰动都会使该系统偏离这个解。另一方面，碗底的一颗弹珠会停留在那里，因为如果它受到轻微扰动，它就会滚回底部。物理学家一直假设，任何可在现实中日常见到的行为必须要是稳定的，因为在现实的系统中，微小的扰动和不确定性是不可避免的。你永远无法确切地知道各个参数。因此，如果你想要一个既贴近现实，又能在面对小的扰动时表现出稳健性的模型，物理学家推理说，那么你显然想要的是一个稳定的模型。
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坏消息在 1959 年圣诞节不久后通过信件传来，那时斯梅尔正暂住在巴西里约热内卢的一处公寓里，连同他的妻子和两个小孩（其中一个还不满周岁），以及一大堆尿布。他的猜想定义了一类微分方程，它们都是结构上稳定的。而他声称，任何混沌的系统都可通过自己这类系统中的某一个加以任意逼近。但情况并非如此。一位同事来信告知他，许多系统并不像他当初想象的那样行事规矩，并给出了一个反例，一个同时集混沌和稳定性于一身的系统。29 这个系统是稳健的。如果你稍微扰动它，就像任何现实的系统始终会受到噪声扰动那样，这种奇怪之处并不会消失。稳健而又奇怪——斯梅尔半信半疑地开始研究起这封信，但慢慢地，他的怀疑逐渐消散。30
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29这位同事是诺曼·莱文森。多个可追溯至庞加莱的数学发展，在这里汇集到了一起。伯克霍夫的工作是其中之一。在英国，玛丽·露西·卡特赖特和 J. E. 利特尔伍德深入研究了受迫的范德波尔振子。这些数学家都已经意识到在简单系统中出现混沌的可能性，但像大多数专守一方的数学家，斯梅尔先前并不知道他们的工作，直到他收到莱文森的这份来信。
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30Smale;“On How I Got Started.”
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