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混沌和不稳定性，这两个现在才开始慢慢得到正式定义的概念，并不是一回事。一个混沌的系统可以是稳定的，只要其独特的不规则模式在面对微小的扰动时得以维持。洛伦茨的系统便是一个例子，尽管要在多年之后，斯梅尔才听说洛伦茨。洛伦茨所发现的混沌，虽有其不可预测性，但它一如碗底的弹珠那般稳定。你可以在该系统中添加噪声，轻摇它，轻搅它，或干涉其运动，但随着最终一切尘埃落定，暂时性的偏离像空谷足音那样渐行渐弱，该系统便会回到之前的独特的不规则模式。它在局域上不可预测，但在全局上可预测。所以现实的动力系统是在遵循一套比任何人原来设想的都更为复杂的规则行事。在斯梅尔同事的信中描述的反例是另一个简单系统，它早在上一代人的时候就被发现，只是一直被人遗忘至今。事实上，它是单摆的改头换面：一个振荡电路。它是非线性的，并且它像秋千那样，是有阻尼受迫振荡。
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它其实只是一个电子管，由丹麦电气工程师巴尔塔萨·范德波尔在 20 世纪 20 年代最早加以研究。31 今天的物理学学生可以通过观察示波器屏幕上的波形来研究这样一个振子的行为。范德波尔当时没有示波器可用，所以他不得不通过倾听电话筒里不断变化的音调来监控自己的电路。随着他改变输入的电流，他很高兴地在电路的行为中发现了规则性。其音调会像爬楼梯一样在不同频率之间跳跃，离开一个频率，然后锁定下一个频率。但范德波尔偶尔也注意到了某种奇怪的东西。这时电路的行为听上去是不规则的，而他对此无法给出解释。不过，在当时，他对此并不担忧。“在频率跳到下一个更低的值之前，我经常会从电话筒中听到一种不规则的噪声，”他在给《自然》杂志的通信中写道，“然而，这是一种次要的现象。”32 像许多科学家一样，他得以一窥混沌，却没有适当的语言来理解它。对于当时试图制造电子管的人来说，锁频现象是重要的。但对于后来试图理解复杂性的人来说，真正有趣的行为会是由高低频率之间的拉扯而造成的“不规则的噪声”。
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31范德波尔的工作参见：“Frequency Demultiplication,”Nature 120 (1927), pp. 363–364.
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32Ibid.
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尽管是错误的，斯梅尔的猜想还是将他直接引上了那条理解动力系统复杂性的新道路。在他之前，已经有多位数学家检视了范德波尔振子的种种可能性，而现在，斯梅尔将他们的工作带进了一个新天地。他仅有的示波器屏幕是他的心智，但这是一个受过多年拓扑学训练的心智。斯梅尔将振子的全体可能性的范围视为（按照物理学家的说法）一个相空间。于是该系统在任意时刻的状态可被表示为相空间中的一个点，关于其位置或速度的所有信息都包含在这个点的坐标当中。随着系统发生某种改变，这个点会移动到相空间中的一个新位置。而随着系统连续发生改变，这些点会形成一条轨线。
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对于一个像单摆这样的简单系统，其相空间可能只是一个矩形：在给定时刻，摆动的夹角会决定点的东西向位置，摆动的速度会决定点的南北向位置。对于一个来回规则摆动的单摆，它在相空间中的轨线会是一条闭曲线，随着系统反复经历相同的位置序列而循环往复。
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斯梅尔看的不是具体哪条轨线，他关注的是，随着系统发生改变，比如驱动系统的能量增加，整个相空间的行为会如何变化。他的直觉从系统的物理本质跳到了一类新的几何本质。而他的工具是针对相空间中的形状的各种拓扑变换——像拉伸和压缩之类的变换。有时候，这些变换具有明白的物理学含义。一个系统中的耗散，比如由于摩擦力损耗能量，就意味着相空间中的形状会像一只漏气的气球一样收缩——最终缩小到一个点，这时系统便完全停止了。为了表示范德波尔振子的全部复杂性，他意识到，相空间会不得不经历这些变换的一类新而复杂的组合。他很快把这种将全局行为可视化的思想转化成了一类新的模型。他的创新是一个有着持久生命力的关于混沌的意象，一个后来被称为马蹄的结构。
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©Irving R. Epstein
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在相空间中作图
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传统的时间序列（上）和相空间中的轨线（下）是直观呈现相同的数据、获得对于一个系统的长期行为的图像的两种不同方式。第一个系统（左起）收敛到一个定态——相空间中的一个点。第二个系统周期性重复自己，形成一个环状轨道。第三个系统以一个更为复杂的、如圆舞曲三拍子般的节奏重复自己，一个具有“周期 3”的循环。第四个系统则是混沌的。
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要想制造出一个简单版本的斯梅尔马蹄，你只需取一个矩形，将它纵向拉伸、横向压缩，形成一个长条，然后将它从中间折叠，两端对齐，弯曲成马蹄形。33 然后想象将马蹄摆放到原来矩形的位置上（弯曲部分留在矩形之外），并重复之前同样的变换，反复拉伸、压缩和弯曲。
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33斯梅尔对于此项工作的数学表述参见：“Differentiable Dynamical Systems,”Bulletin of the American Mathematical Society 1967, pp. 747–817 (also in The Mathematics of Time, pp. 1–82).
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这个过程有点儿像太妃糖拉糖机的工作过程，后者用不断旋转的机器臂拉伸冷却的糖浆，将其对折，然后再拉伸、再对折，如此这般，直到太妃糖的表面变得非常长、非常薄，并且极其复杂地交错重叠在一起。34 斯梅尔让他的马蹄经过了各种拓扑变换，而撇开其中的数学不谈，他的马蹄是对于洛伦茨几年前在大气中发现的对初始条件的敏感依赖的一个很好的视觉类比。对于在原始矩形中相邻的两个点，你将无法猜出它们最终会落到何处。它们会由于所有这些折叠和拉伸而被带到相隔任意远的地方。到后来，原本碰巧相邻的两个点将相隔任意远。
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34勒斯勒尔。
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©H. Bruce Stewart and J. M. Thompson
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斯梅尔马蹄
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这个拓扑变换过程为我们提供了一个理解动力系统的混沌性质的基础。这个过程很简单：将一个空间在一个方向上拉伸，在另一个方向上压缩，然后将其折叠。反复重复这个过程，它就会生成一种做过千层酥皮的人都熟悉的层叠结构。最终紧邻的两个点可能一开始相隔甚远。
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起初，斯梅尔原本希望只通过拉伸和压缩来解释所有动力系统——不包括折叠，至少不包括那些会严重损害一个系统的稳定性的折叠。但折叠后来被证明是必要的，它使系统行为得以发生大幅变化。35 斯梅尔马蹄是这样一些新的几何形状中的第一个，它们赋予了数学家和物理学家一种新直觉，去揭示运动的新可能性。在许多方面，它人工痕迹太重而没有什么实际用途，大体上仍然属于拓扑学范畴，而对物理学家来说没有什么吸引力。但它是一个起始点。在 20 世纪 60 年代接下来的时间里，在伯克利分校，斯梅尔在自己周围逐渐吸引了一批同样对动力系统这项新工作感到兴奋的年轻数学家。还要再过十来年，他们的工作才会完全吸引到那些研究方向更偏应用的科学家的注意，但等到那时，物理学家将意识到，原来斯梅尔已经使一整个数学分支重新转向了现实世界。那是一个黄金时代，他们这样说。36
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35约克。
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36古肯海默，亚伯拉罕。
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“这是林林总总的范式转换中最称得上范式转换的。”斯梅尔当时的同事、后来成为加州大学圣克鲁兹分校数学教授的拉尔夫·亚伯拉罕如是说。37
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37亚伯拉罕。