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在马尔萨斯式的不受限制增长的场景中，线性函数单调递增，没有止境。但对于一个更贴近现实的场景，生态学家需要找到一个方程，其中某种额外的项会在种群变得很大时限制其继续增长。最理想的函数应该是，在种群很小时会快速增长，然后增长幅度会逐渐减小至接近零，最后在种群变得非常大时会开始减小。通过重复这个过程，生态学家就能够看着一个种群最终进入其长期的行为模式——有可能是达到某个定态。一次成功的数学探索将让生态学家能够说出类似这样的话：这里有一个方程；这个是表示繁殖率的变量，这个是表示自然死亡率的变量，这个是表示饥饿或天敌等因素造成的附加死亡率；你看，种群将以这个速率持续增长，直到它达到那个均衡水平。
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那么如何才能找到这样一个函数？许多不同的方程都可能有用，而其中可能最简单的是对于马尔萨斯式线性函数的一个修订：x次年 = rx（1 - x）。同样地，参数 r 表示增长率，它可被设定为高一点儿或低一点儿。新的项 1 - x 则会确保增长保持在一定范围之内，因为随着 x 增大，1 - x 会减小。4 只需一部计算器，我们就能够选取某个初始值和某个增长率，然后通过算术算出次年的种群数量。
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4为便利起见，在这个高度抽象的模型中，“种群数量”由 0 和 1 之间的一个小数表示，0 表示灭绝，1 表示一个环境可能供养的最大数量。我们现在开始：为增长率 r 任意选取一个值，比如 2.7；为种群数量 x 任意选取一个初始值，比如 0.02。1 减去 0.02 是 0.98，乘以 0.02 得到 0.0196，再乘以 2.7 得到 0.0529。非常小的初始值现在翻了一倍还不止。重复这个过程，使用新的种群数量作为输入，我们得到 0.1353。靠着一部廉价的可编程计算器，我们只需按一次按键就可以实现一次迭代。数量随后增长到 0.3159，然后到 0.5835，然后到 0.6562——增长幅度在减缓。再然后，随着死亡率超过繁殖率，数量减少到 0.6092，然后到 0.6428，然后到 0.6199，然后到 0.6362，然后到 0.6249。种群数量看上去在上下波动，并逐渐趋于一个固定的值：0.6329, 0.6273, 0.6312, 0.6285, 0.6304, 0.6291, 0.6300, 0.6294, 0.6298, 0.6295, 0.6297, 0.6296, 0.6297, 0.6296, 0.6297, 0.6296, 0.6296, 0.6296。大功告成！在过去只能依靠纸笔做算术的时代，以及在后来使用手摇加法机的时代，基于数值计算的探索一直无法走得太远。
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到了 20 世纪 50 年代，多位生态学家开始研究这个方程（它被称为逻辑斯谛差分方程或逻辑斯谛映射）的不同变体。5 比如，在加拿大，W. E. 里克就将之应用到现实渔业上。生态学家们很清楚，增长率参数 r 是该模型的一个关键特征。在这些方程原来出自的物理系统中，这个参数对应于比如加热强度、摩擦系数，或者其他某种麻烦的物理量的程度。简言之，非线性的程度。在一个池塘中，这个参数可能对应于鱼群在不受限制的情况下最强的增长能力（更庄重的说法是“繁殖潜力”），而它不仅能使种群壮大，也能使其走向没落。现在的问题是，这个参数的不同的值会如何影响一个不断变化的种群的终极命运？一个显而易见的回答是，低一点儿的值会导致这个理想化的种群最终达到一个低数量的均衡水平，而高一点儿的值会导致一个更高水平的定态。事实证明，这对于许多值来说是正确的——但也不是全都如此。偶尔地，像里克这样的研究者无疑会尝试更高的值，而当他们这样做时，他们必定会看到混沌。
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©Adolph E. Brotman
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一个种群在经过快速增长和反复波动后达到均衡
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奇怪的是，这时，一连串的数开始表现得不规则，而这会让任何使用手摇加法机进行计算的人感到很是讨厌。当然，这些数仍然不会无限制增长，但它们也没有收敛到一个稳定的水平。不过，看上去这些早期的生态学家既没有意愿，也没有能力去把这些拒绝安定下来的数继续演算下去。不管怎样，如果种群数量一直来回波动，这些生态学家就会假设，它是在绕着某个隐秘的均衡上下振荡。这个均衡很要紧。但当时的生态学家从来没有想过，可能事实上并不存在这样一个均衡。
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当时讲到逻辑斯谛方程及其更复杂变体的参考书和教科书甚至通常不承认，混沌行为有可能出现。6 J. 梅纳德·史密斯在其 1968 年的经典之作《生物学中的数学思想》里，给出了对于可能性的标准阐述：种群数量常常近似于保持恒定，或者要不然“以一种相当规则的周期性”绕着一个假想的均衡点上下波动。这并不是说，他天真到认为现实中的种群从来不会表现出不规则性。他只是假设，这样的不规则行为不会出现在他所描述的那一类数学模型中。并且不管怎样，生物学家需要与这些模型保持一定距离。如果模型开始背离其创造者对于现实中种群的行为的认知，那么这种不一致性总是可以通过某种缺失的特征加以解释，比如，种群中的年龄分布、对于领域或地理因素的某种考量，又或者需要将性别因素纳入考量的某种复杂化等。
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6J. Maynard Smith, Mathematical Ideas in Biology (Cambridge: Cambridge University Press, 1968), p. 18; Harvey J. Gold, Mathematical Modeling of Biological Systems (New York: John Wiley & Son, 1977).
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此外，还非常重要的是，在生态学家的潜意识中始终存在这样一个假设，即一连串不规则的数很有可能意味着，计算器出了毛病，或者单纯是它不够精确。7 稳定的解才是让人感兴趣的解。秩序本身便是奖励。毕竟，找到适当的方程并进行计算，这件事情并不容易。没有人希望把时间浪费在一项会变得混乱不堪而生成不了稳定性的工作上。并且也没有哪位够格的生态学家会忘记，自己的方程只不过是对于现实现象的高度简化。而简化的全部目的正在于为规则性建模，那么又为什么要不嫌麻烦，只为看到混沌？
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7梅。
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多年以后，人们会说，当初是詹姆斯·约克重新发现了洛伦茨，并为这门新科学赋予了“混沌”之名。这后半部分确实不假。
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约克是一位更愿意将自己视为一名哲学家的数学家，尽管这样的想法对职业发展而言有点儿危险，不好公开承认。他才华出众且待人和气，是头发略显凌乱的斯蒂芬·斯梅尔的一位同样头发略显凌乱的崇拜者。像其他人一样，他发现斯梅尔深不可测、难以理解。但不像大多数人，他理解为什么斯梅尔深不可测、难以理解。在年仅二十二岁时，约克加入了美国马里兰大学的一个跨学科研究机构——物理科学和技术研究所（他后来成为其所长）。他属于那一类渴望能让自己对于现实的理解多少发挥些用处的数学家。他写过一份关于淋病如何传播的报告，这份报告说服了美国联邦政府改变控制该病的国家策略。8 他曾在 20 世纪 70 年代石油危机时在马里兰州议会上作证，认为单双号汽油限购政策只会让排队长龙更长（同样正确，但可惜这次未能说服人）。9 在 20 世纪 50 年代的战争期间，美国政府公布过一张由侦察机拍摄的照片，意在表明即便在某次反战集会最高潮的时候，华盛顿纪念碑周围的人群也不过稀稀落落，但他通过分析纪念碑的影子，证明了照片实际上是在半小时后，也就是在人群散场时拍摄的。10
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8Herbert W. Hethcote and James A. Yorke, Gonorrhea Transmission Dynamics and Control (Berlin: Springer - Verlag, 1984).
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9根据计算机模拟，约克发现，限购政策迫使司机更频繁地去加油站加油，以便始终保持更充足的剩余油量，因而这项政策提高了在任意时刻闲置在整个国家的汽车油箱里的汽油量。
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10机场的飞行记录后来证明了约克是正确的。
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在这个研究所，约克享受着一种不寻常的自由，可以研究一些超越传统学科分野的问题，并得以与众多学科的专家经常切磋琢磨。这当中的一位专家，也是一位流体动力学研究者，在 1972 年偶然读到洛伦茨 1963 年的论文《决定论式的非周期性流》，并一直对它赞不绝口，一有机会就把它分发给任何愿意收下的人。他也把一份论文副本送给了约克。
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一看到洛伦茨的论文，约克就知道这正是自己一直在寻觅的东西。11 首先来说，它是一个数学上的冲击——一个有违斯梅尔原来的乐观猜想的混沌系统。但它不只是数学；它还是一个生动的物理模型，一个关于运动中的流体的图景，所以约克当即意识到这样的东西正是他想让物理学家看的。斯梅尔已经引导数学转向这样一些物理问题所揭示的方向，但约克也很清楚，数学语言仍然是一个妨碍沟通的严重障碍。要是学术界有数学家兼物理学家的跨界选手的一席之地，那该有多好啊——但可惜当时并没有。尽管斯梅尔在动力系统方面的工作已经开始弥合双方之间的空隙，但数学家继续在说一种语言，而物理学家在说另一种。正如物理学家默里·盖尔曼所说的：“院系成员都很熟谙这样一类人，他们在数学家看来像一名优秀的物理学家，而在物理学家看来像一名优秀的数学家。很自然地，他们并不想要这类人在自己身边。”12 这两个学科的标准是不同的。数学家通过逻辑推理证明定理，物理学家的证明则用到了更为笨重的设备。构成他们各自世界的对象是不同的。他们所用的例子也是不同的。
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11约克。
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12Murray Gell - Mann,“The Concept of the Institute,”in Emerging Syntheses in Science: Proceedings of the Founding Workshops of the Santa Fe Institute (Santa Fe: The Santa Fe Institute, 1985), p. 11.
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斯梅尔可以满足于像这样的一个例子：任取一个在 0 与 1 之间的小数，使之乘以 2；接着去掉小数点左边的整数部分，只留下右边的小数部分；然后重复这个过程。由于大多数数是无理数，其小数部分没有规则可循，因此这样的过程只会生成一个不可预测的数的序列。在一位物理学家看来，他只会看到一个枯燥的数学怪象，完全没有意义，太过简单、抽象而且毫无用处。但直觉告诉斯梅尔，这个数学把戏会见于许多物理系统的核心实质。
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对一位物理学家而言，一个正经的例子是诸如一个能以简单形式写出来的微分方程。当约克看到洛伦茨的论文时，他就知道这是一个物理学家会理解的例子，尽管它出自一份气象学期刊。他将一份论文副本寄给了斯梅尔，并在上面贴了一张写有自己地址的便签，以便斯梅尔寄回来。13 斯梅尔惊喜地看到，这位气象学家早在十年前就已经发现这样一类他自己一度认为在数学上不可能出现的混沌。他将《决定论式的非周期性流》一文复印了很多份，由此催生出约克重新发现洛伦茨的传说。在伯克利分校流传的每份论文副本上都有约克的地址便签。
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13约克，斯梅尔。