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斯梅尔可以满足于像这样的一个例子：任取一个在 0 与 1 之间的小数，使之乘以 2；接着去掉小数点左边的整数部分，只留下右边的小数部分；然后重复这个过程。由于大多数数是无理数，其小数部分没有规则可循，因此这样的过程只会生成一个不可预测的数的序列。在一位物理学家看来，他只会看到一个枯燥的数学怪象，完全没有意义，太过简单、抽象而且毫无用处。但直觉告诉斯梅尔，这个数学把戏会见于许多物理系统的核心实质。
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对一位物理学家而言，一个正经的例子是诸如一个能以简单形式写出来的微分方程。当约克看到洛伦茨的论文时，他就知道这是一个物理学家会理解的例子，尽管它出自一份气象学期刊。他将一份论文副本寄给了斯梅尔，并在上面贴了一张写有自己地址的便签，以便斯梅尔寄回来。13 斯梅尔惊喜地看到，这位气象学家早在十年前就已经发现这样一类他自己一度认为在数学上不可能出现的混沌。他将《决定论式的非周期性流》一文复印了很多份，由此催生出约克重新发现洛伦茨的传说。在伯克利分校流传的每份论文副本上都有约克的地址便签。
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13约克，斯梅尔。
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约克感到，物理学家已经被训练成对混沌视而不见。在日常生活中，洛伦茨所揭示的对初始条件的敏感依赖现象几乎无处不在。一个人在早晨晚离开家三十秒，一盆花以几毫米之差避开他的脑袋，然后他被一辆卡车碾过。或者不那么戏剧化地，他错过一班每隔十分钟发车的公交车，结果错过了一班每隔一小时发车的火车。一个人在日常生活轨迹中的微小扰动可以引发巨大后果。一位击球员在面对投手的投球时很清楚，自己近似相同的挥棒并不会产生近似相同的结果，毕竟棒球是一项毫厘之间的运动。不过，至于科学，科学曾被认为有所不同。
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就教学而言，物理学和数学的很大一部分内容曾是（并且现在仍是），在黑板上写下微分方程，然后教学生如何求解它们。微分方程将现实表示为一个连续统，随着时间推移从一个状态平滑变化到另一个状态，而不是分成离散的网格节点或时间步长。正如每位理科学生都清楚的，求解微分方程是很难的。但在过去的两个半世纪里，科学家已经积累了大量的相关知识，关于各种微分方程，连同求解它们，或者按照科学家的说法，是“找到一个解析解”的不同方法。我们可以不夸张地说，中世纪之后，科学所取得的大部分实践成就都有赖于微积分学的蓬勃发展；也可以说，微积分学是人类在试图为周围不断变化的世界建模时所创造的最天才的工具之一。所以等到一位科学家掌握了这种思考自然的方式，习惯于这种理论及实践的时候，他很有可能已经学会忽视一个事实——大多数微分方程根本没有解析解。
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“如果你能写出一个微分方程的解，”约克说道，“那么它必然不是混沌的，因为要想把它写出来，你必须找到不变量，即一些保持不变的东西，就像角动量。你找到足够多的这些东西，然后这让你能够写出一个解。但这个过程也正好是消除混沌的可能性的过程。”14
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14约克。
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有解析解的系统是出现在教科书中的那些。它们行事规矩。而当面对一个非线性系统时，科学家将不得不用其线性近似替代它，或者找到其他某种未知可否的巧妙方法。教科书向学生介绍的也只是一些罕见的可用这样一些技巧解决的非线性系统。会实际生成混沌的非线性系统极少被教授，也极少被学习。当人们偶然遇到这样一些东西时（他们也确实多有遇到），他们接受的所有训练告诉他们，这些不过是非典型行为，可以不加理会。只有少数人能够记起，有解的、有序的线性系统才是非典型的。也就是说，只有少数人理解大自然的本质是何等非线性的。15 恩里科·费米有一次便感慨道：“《圣经》中并没有说，所有自然法则都能被线性表示。”16 数学家斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆也说过，称混沌研究为“非线性科学”就好比称动物学为“关于非大象动物的研究”。17
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15关于线性、非线性，以及历史上使用计算机来理解这两者之区别的一篇通俗易懂的文章是：David Campbell, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, and Erica Jen,“Experimental Mathematics: The Role of Computation in Nonlinear Science,”Communications of the Association for Computing Machinery 28 (1985), pp. 374–384.
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16Fermi, quoted in S.M. Ulam, Adventures of a Mathematician (New York: Scribners, 1976). 乌拉姆还描述了另一条理解非线性的重要线索，费米–帕斯塔–乌拉姆定理的起源。为了想出一些可在洛斯阿拉莫斯刚完成的 MANIAC 计算机上计算的问题，科学家们构想了一个简单来说是一根振荡的弦的动力系统——一个“额外包含一个物理上正确且微小的非线性项”的简单模型。他们发现，随着时间推移，其行为模式呈现出一种出人意料的周期性。根据乌拉姆的回忆：“结果在性质上完全不同于甚至费米（他对波的运动可是有着丰富知识）所预料的。……出乎我们的意料，弦开始玩一个抢凳子游戏……在经过数百次普通的上下振荡后，它复归到与一开始几乎一模一样的形状。”费米认为这些结果不是什么重大发现，并没有将它们大范围公开，但一些数学家和物理学家继续跟进这些结果，它们也成为洛斯阿拉莫斯的当地传说的一部分。Adventures, pp. 226–228.
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17Quoted in“Experimental Mathematics,”p. 374.
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但约克理解。“第一条讯息是，无序无处不在。物理学家和数学家想要发现规则性。他们会说，无序又有何用？但如果人们想要处理无序，他们首先需要了解它，就像一个不了解阀门中的沉积物的汽车技师不是一个好技师。”18 约克相信，科学和非科学家都一样，如果对复杂性没有恰当理解，他们就很容易让自己误入歧途。为什么投资者坚持认为黄金和白银的价格具有周期性？因为周期性是他们能够想象的最复杂的有序行为。当他们看到一个复杂的价格变动模式时，他们会自然而然地去寻找某种隐藏在些许随机噪声背后的周期性。而实验科学家，不论是在物理学、化学中的，还是在生物学中的，也没有什么不同。“在过去，人们已经在数不胜数的场合中见到过混沌行为，”约克说道，“他们做了一个物理实验，而实验表现出异常。然后他们要么试图修正，要么放弃。他们将异常行为解释为由于存在噪声，或者干脆说，由于实验设计得不好。”
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18约克。
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约克认为，洛伦茨和斯梅尔的工作中存在一条物理学家一直没有听进去的讯息。所以他写了一篇论文，投给《美国数学月刊》，这是在他认为自己能够发表的期刊中受众类型最多样的。（作为一名数学家，他发现自己终究难以将思想表达成可为物理学期刊接受的形式；直到多年以后，他偶然发现了一个妙计，那就是与物理学家合作撰写论文。）约克的论文 19 自身有其价值，但到最后，它影响最深远的部分还是其稍显神秘和恶作剧式的标题：《周期 3 蕴涵混沌》。他的同事曾建议他选择一个更平实的说法，但约克还是坚持使用这个词，而它后来慢慢被人们接受，被用来指代一个日益发展的研究决定论式无序的学问。他也跟他的朋友罗伯特·梅，一位生物学家交流过。
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19与他的学生李天岩合作完成：“Period Three Implies Chaos,”American Mathematical Monthly 82 (1975), pp. 985–992.
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事实上，梅是一位半路出家的生物学家。20 他在家乡的悉尼大学取得理论物理学的博士学位，然后前往美国哈佛大学做应用数学方面的博士后工作。1971 年，他利用学术休假的机会前往普林斯顿的高等研究院；在那里，他发现自己“不务正业”，频繁跑到普林斯顿大学，跟那里的生物学家交流。
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20梅。
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即便在今天，生物学家大多并不掌握除微积分之外的太多数学。那些喜欢数学并对此有天赋的人大多会去研究数学或物理学，而不是生命科学。梅是一个例外。一开始，他的兴趣所在是有关稳定性和复杂性的抽象问题，试图通过数学解释是什么使得相互竞争的种群能够共存。但他很快转而开始关注单个种群如何随时间变化这个最简单的生态学问题。那些不可避免非常简化的模型似乎并不像原本看上去的那样简单。等到他干脆加入普林斯顿大学生物系时（他后来成为该校的大学研究委员会主席），他已然在一个版本的逻辑斯谛差分方程上花了很多时间，利用数学分析以及一部原始的手摇计算器对它加以研究。
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事实上，当梅还在悉尼大学时，他曾把这个方程写在走廊的一块黑板上，作为给研究生出的一道题目。它开始让他感到有点儿气恼。“当拉姆达大于聚点时到底会发生什么？”21 也就是说，当一个种群的增长率超过一个临界点时会发生什么？通过赋予这个非线性参数不同的值，梅发现他可以剧烈地改变系统的行为模式。提高这个参数的值意味着提高非线性的程度，而这不仅会引发量变，也会引发质变。它不仅影响到种群达到均衡时的数量，也影响到它是否最终会达到均衡。
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21梅；正是这个看上去无法回答的问题促使他从解析方法转向数值实验，至少是将之作为获得直觉的手段。
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当参数值较小时，梅的简单模型会最终进入一个定态。当参数值较大时，这个定态会一分为二，种群数量最终会在两个不同的值之间持续振荡。当参数值非常大时，这个系统（这同一个系统）就表现得看上去不可预测。这是为什么？在导致这些不同类型的行为之间的临界点上到底发生了什么？梅很久都无法弄明白。（他的研究生也没弄明白。）
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梅对这个最简单的方程的行为进行了一次深入的数值探索。他的研究有点儿类似于斯梅尔的：他在尝试一劳永逸地理解这个简单方程，不是从局域上，而是从全局上。这个方程比斯梅尔所研究的都要简单得多，所以它看上去简直不可思议，它生成秩序和无序的种种可能性竟然没有在很久以前就被穷尽。事实上，梅的研究只是一个开始。他考察了这个参数数百个不同的值，看迭代运算生成的一连串数是否会趋向一个定点，以及最终会趋向哪个定点。他越来越密切关注导致定态与导致振荡之间的临界点。这就好像是他拥有一口自己的鱼塘，并且他可以精确掌控其中鱼群的“消长”。他仍然使用逻辑斯谛方程 x次年 = rx（1 - x），并尽可能缓慢地增大参数 r 的值。如果参数值是 2.7，种群数量最终会达到 0.6296。而随着参数值增大，种群的最终数量也会略微提高，在图上可表示为一条斜线。
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但突然之间，随着参数值超过 3，直线一分为二。梅的假想鱼群拒绝趋向一个单一的点，而是在不同年份交替在两个点之间振荡。从一个较小的初始值开始，种群数量会不断增长，然后上下波动，直到它最终稳定地上下起伏。再把按钮调高一点儿（把参数值增大一点儿），振荡会再次一分为二，生成一连串数，最终趋向四个不同的值，每四年一个循环。22 现在种群数量以一个规则的四年周期上下波动。周期再一次翻倍——上次是从每年到每两年，现在则是到每四年。也再一次地，生成的周期性行为是稳定的，不同的初始值会收敛到同一个四年周期。
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22比如，以参数值为 3.5、初始值为 0.4 为例，他会看到如下一连串数：0.4000, 0.8400, 0.4704, 0.8719,0.3908, 0.8332, 0.4862, 0.8743,0.3846, 0.8284, 0.4976, 0.8750,0.3829, 0.8270, 0.4976, 0.8750,0.3829, 0.8270, 0.5008, 0.8750,0.3828, 0.8269, 0.5009, 0.8750,0.3828, 0.8269, 0.5009, 0.8750,…
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正如洛伦茨在十年前就已经发现的，要想能够理解这些数，同时又保护我们的视力，唯一的办法是作图。梅画了一幅粗略的图，试图用它总结我们对于这样一个系统在不同参数值下不同行为的现有知识。参数的水平表示在横轴上，从左往右递增。种群数量表示在纵轴上。对于每个参数值，根据系统在达到均衡时的最终结果，梅画出相应的点。在左端，参数值较小时，这个结果会是一个点，所以不同的参数值生成了一条往右上倾斜的斜线。当参数值超过第一个临界点时，梅将不得不画出两个点：直线会一分为二，仿佛一个横躺的 Y 字或一把叉子。这样的一分为二对应于一个种群从一年一周期的循环进入两年一周期的循环。
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