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©James P. Crutchfield / Adolph E. Brotman
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倍周期分岔与混沌
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罗伯特·梅及其他科学家没有使用不同的图来表示在不同生育力下种群数量的行为，而是使用一种“分岔图”来将所有信息整合进一张图里。
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分岔图表明了，一个参数（在这里，是某个野生动物种群的增长率）的变化会如何改变这个简单系统的最终行为。横轴是这个参数的值，纵轴是最终的种群数量。在某个意义上，增大参数值意味着更有力地驱动这个系统，增加其非线性。
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当参数值较小时（左端），种群最终会灭绝。随着参数值增大（中间），种群数量的均衡水平也随之提高。然后，随着参数值进一步增大，均衡一分为二，就像在对流的流体中，进一步加热会引入不稳定性；种群数量开始在两个不同的水平之间交替。这样的分岔变得越来越快。最终系统进入混沌（右端），种群数量可以遍历无穷多个不同的值。
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随着参数值进一步增大，点的数量不断加倍，一而再，再而三。这不免让人惊愕——如此复杂的行为，却又如此迷人而有规则。“暗藏在数学草丛中的蛇”是梅对它的描述。这样的加倍本身是分岔，而每次分岔意味着重复的模式进一步分化。一个原本以两年为期周期性波动的种群现在会在第三年和第四年出现变化，从而进入周期 4。
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这些分岔会越来越快（4, 8, 16, 32,…），然后突然终止。超过一个特定点（“聚点”），周期性便让位于混沌。波动永远不会最终归结到某些值，图中的这部分区域内的所有值都能被遍历到，于是整个区域都被填充满了。要是你长期观察一个由这个最简单的非线性方程支配的动物种群，你会认为这时种群数量的年际变化是完全随机的，就仿佛是被环境噪声搞得一团乱。但就在这样的复杂性当中，稳定的周期又突然重新出现。即便参数值还在增大，也就是说，非线性还在越来越用力地驱动这个系统，一个有着规则周期的窗口会突然浮现：一个奇数周期，像是周期 3 或周期 7。不断变化的种群数量以三年或七年为周期重复自己。然后，倍周期分岔以更快的速率重新上演，快速经过周期 3, 6, 12,…或周期 7, 14, 28,…，然后再一次突然终止，进入混沌。
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一开始，梅还无法看到这整个图景。但他所能算得的部分碎片已经足够令人不安。在一个现实世界的系统中，观察者一次只会看到对应于一个参数值的纵向切片。他只会看到一种类型的行为——可能是一个定态，可能是一个七年周期的循环，也可能是看上去的随机行为。他将无从知道，只要稍微改变某个参数，同一个系统就能够展现出一个完全不同类型的模式。
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在其《周期 3 蕴涵混沌》一文中，詹姆斯·约克便通过严谨的数学分析了这种行为。他证明了，在任何一个一维系统中，只要出现一个周期 3 的规则循环，那么这同一个系统也将展现出任何其他周期长度的规则循环，以及完全混沌的循环。正是这个发现，“像一道电击”，击中了像弗里曼·戴森这样的物理学家。它如此有违直觉。你原本会以为，构建一个会以周期 3 振荡重复自己，但永远不会生成混沌的系统简单得不值一提。但约克表明了，这是不可能做到的。
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©James P. Crutchfield / Nancy Sterngold
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©James P. Crutchfield / Nancy Sterngold
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混沌中的有序窗口
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即便是最简单的方程，其分岔图中的混沌区也被证明具有一种精细结构——比罗伯特·梅一开始所能猜想的远为有序。首先，分岔生成周期 2, 4, 8, 16,…，然后进入混沌，不再存在规则的周期。但接着，随着系统被更用力地驱动，具有奇数周期的窗口出现。一个稳定的周期 3 出现，然后倍周期分岔再次开始，生成周期 6, 12, 24,…。整个结构具有无穷深的层次。从中任选一个区域放大，可以发现它与原来的混沌区一样。
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尽管它非常惊人，但约克相信，他这篇论文的公关价值要超过其数学重要性。23 这部分是事实。多年以后，在东柏林参加一次国际学术会议时，他忙里抽闲，在施普雷河上乘船观光。突然有个苏联人来到他身边，急切地试图跟他说点什么。在一位波兰朋友的帮助下，约克才最终明白，这个苏联人声称是自己首先证得同样的结论。对方拒绝透露细节，只说他会把论文寄给约克。四个月后，论文寄到了。A. N. 萨柯夫斯基确实发现在先，其论文《线段连续自映射周期的共存性》早在十年前就发表了。24 但约克所提供的不只是一个数学结论。他还给物理学家发送了一条讯息：混沌无处不在，它是稳定的，它具有结构。他还给出了理由让人们相信，传统上需要通过难以处理的连续微分方程建模的复杂系统，也可以通过简单的离散映射加以理解。
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23约克。
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24A. N. Sarkovskii,“Coexistence of Cycles of a Continuous Map of a Line into Itself,”Ukrainian Mathematics Journal 16 (1964), p. 61.
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这次在几位比着手势沟通的数学家之间的邂逅，只是苏联与西方科学界之间持续存在的一道沟通鸿沟的一个例子。部分由于语言不通，也部分由于苏联方面的出国限制，常常有很多杰出的西方科学家在重复苏联文献中已有的成果。在美国和欧洲兴起的混沌科学在苏联已经激发了大量相关研究，但另一方面，它也引发了相当的困惑，因为这门新科学的很多内容在莫斯科那里并没有那么新。苏联数学家和物理学家在混沌研究上有着一个坚实的传统，最早可追溯至 A. N. 柯尔莫哥洛夫在 20 世纪 50 年代所做的工作。25 此外，他们还有着一个跨学科合作的传统，得以避免在其他地方出现的数学和物理学的学科分立。
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25西奈，1986 年 12 月 8 日的私人书信。
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因此，苏联科学家很乐于接受斯梅尔——他的马蹄在 20 世纪 60 年代就掀起过相当一阵热潮。一位杰出的数理物理学家，雅科夫·西奈，很快将类似系统翻译成热力学语言。类似地，当洛伦茨的工作最终在 70 年代为西方物理学界所了解时，它也在苏联同时传播。而在 1975 年，当约克和梅还在努力争取同事的注意时，西奈等人在高尔基市快速集结起了一个实力强大的物理学家工作组。近年来，一些西方混沌研究者 26 特地定期访问苏联，以便跟上最新进展；不过，他们中的大多数人还是不得不满足于西方版的混沌科学。
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26比如费根鲍姆、茨维塔诺维奇。
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