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钟形曲线
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随机误差的正态分布定律堪称人类对于自然界的最宽泛的概括之一。它在自然和社会科学中，在医学、农业和工程学中都发挥着指导作用，是分析与诠释观察和实验数据的必不可少的工具。
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但至少经济学家的世界在源源不断地生成数据。在曼德尔布罗特看来，棉花价格是一个理想的数据源。这些记录完整且长期，最早可追溯至一个世纪以前甚或更早。棉花的交易是一个中心化的市场（因而有着中心化的交易记录），因为在 19 世纪与 20 世纪之交时，美国南方的所有棉花都要经由纽约棉花交易所流向新英格兰地区，并且英国利物浦的棉花价格也与纽约价格相联动。
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尽管当时的经济学家在分析商品价格或股票价格时可用的信息很少，但这并不意味着他们缺少对于价格是如何变动的一个基本观点。恰恰相反，他们共享一些特定信念。其中之一便是，他们相信小的、短期的变动与大的、长期的变动是两回事。快速的短期波动是随机的。在一个交易日里发生的小起伏只不过是噪声，不可预测，也不有趣。然而，长期变动是完全另一回事。价格在几个月、几年或几十年里的大巨变是由深层次的宏观经济力量，由战争或经济衰退的趋势，由在理论上可加以解释的力量决定的。因此，一边是短期波动的噪声，另一边则是长期变动的信号。
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但事实上，在曼德尔布罗特正在形成的关于现实的图景中，并没有这样的二分法的一席之地。他的图景并没有将小的变动与大的变动分割开来，反而是将它们结合在一起。他正在寻觅的不是在这个或那个尺度上的模式，而是在所有尺度上的模式。当时他还不清楚该如何描绘他所设想的图景，但他知道，它将必须具有某种对称性，不是一种左右对称性或上下对称性，而是一种大小尺度上的对称性。
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确实，在曼德尔布罗特利用 IBM 的计算机检视过棉花价格数据后，他找到了他所寻觅的惊人结果。那些从正态分布的角度来看是偏离正常的数据，从标度（scaling）的角度来看则具有对称性。4 每种特定价格变动是随机的，是不可预测的。但由这些变动构成的序列是与尺度（scale）无关的：每日价格变动的曲线与月度价格变动的曲线完美匹配。简直不可思议，从这个角度分析数据，他发现其变异度在长达六十年的时间里保持不变，更别说在这期间时局动荡，见证了两次世界大战和一次大萧条。
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4鉴于缺乏更贴切的译法，也为了与常见说法相一致，这里采用“标度”来对译“scaling”，以与“尺度”（scale）相区分。或许透过英文更容易理解，后者是名词，是静态的；而前者是动词，是动态的，是存在于不同尺度之间的现象、模式和规律。——译者注
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在最无序的数据当中竟然存在一种出人意料的秩序。考虑到他所检视的数据的任意性，曼德尔布罗特不禁好奇，为什么竟会有定律统括它们？又为什么它同时适用于个人收入和棉花价格？
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实际上，曼德尔布罗特与经济学家沟通的能力跟他的经济学背景一样存在不足。当他撰文发表自己的发现时，他的文章前面特意配了一篇由他的学生撰写的解释文章，将曼德尔布罗特的内容以经济学家能够理解的文字重述了一遍。曼德尔布罗特随后转向了其他兴趣点。但他对于探索标度现象的决心日益增长，它似乎是一样有着自己生命的东西——一个挥之不去的印记。
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在多年以后的一次讲座上，当主持人介绍完他后（“……在哈佛大学教授经济学，在耶鲁大学教授工程学，在爱因斯坦医学院教授生理学……”），他不无自豪地开玩笑道：“常常，当我听到罗列我之前的工作时，我不免会怀疑自己是否存在。这些集合之间无疑没有交集。”5 确实，从他早年在 IBM 工作时起，曼德尔布罗特在一长串不同的研究领域中都未能确立存在感。他始终是一个局外人，采取一些非正统的方法去探索一些非热门的数学角落，闯入一些他很少受到欢迎的学科，隐藏起他的宏大思想以便使论文得到发表，并主要靠着他在约克敦海茨的上司们对他的信心才保住工作。他乘兴而来，涉足像经济学这样的领域，然后兴尽而返，留下许多吸引人的思想，却少有扎实的系统性工作。
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5伍兹霍尔海洋研究所，1985 年 8 月。
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在混沌的历史上，曼德尔布罗特可谓特立独行。但 1960 年那幅在他脑中逐渐成形的关于现实的图景，终究从一个奇想发展成为一门成熟的几何学。尽管在那些致力于阐发诸如洛伦茨、斯梅尔、约克和梅等人的工作的物理学家看来，这位不合群的数学家的所作所为不过是一场边角小戏，但他的技巧和他的语言最终成了他们的新科学中不可或缺的一部分。
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下面这个描述对于任何在他晚年才认识他，对他的大脑门以及一长串头衔和荣誉印象深刻的人看来似乎根本放不到一起，但贝努瓦·曼德尔布罗特其实最好可被描述为一位难民。他于 1924 年出生在波兰华沙的一个立陶宛裔犹太人家庭，其父亲是一名服装经销商，母亲是一名牙科医生。6 整个家庭在 1936 年移居巴黎，部分是出于对地缘政治发展的警觉，部分则是因为那里有亲戚（曼德尔布罗特的一位叔叔，数学家沙勒姆·曼德尔布罗特）可投靠。当战争爆发时，他们一家再次抢在纳粹之前，抛弃一切，只带着几个箱子，加入了从巴黎南逃的难民大军。他们最终在法国中部小镇蒂勒停下了脚步。
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6曼德尔布罗特。
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有一段时间，曼德尔布罗特在铁路上充当模具工学徒，但他的身材和谈吐都不像学徒，一度引发了维希当局的怀疑。那是一段充满了难以忘却的景象和恐惧的时期，但他后来鲜少提及个人的艰辛，而是更多回忆起他在蒂勒及其他地方与学校老师成为朋友的日子，这些老师中有一些本身是杰出的学者，也是迫于战争才流落他乡。总之，他受到的学校教育是非常规的，是断断续续的。他声称从来没有学过字母表，或者更厉害的是，他没有学过超过五的乘法表。但终究，他拥有一种天赋。
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在巴黎解放后，他参加了巴黎高等师范学院和巴黎综合理工学院的入学考试。尽管无法像其他人那样进行数年的准备，他还是通过了考试。考试为期一个月，包括口试和笔试。其中一门沿袭下来的科目是素描，而他发现自己在临摹断臂维纳斯上有着一种潜藏的才能。在数学科目上，尤其是在抽象代数和数学分析的题目中，曼德尔布罗特借助他的几何直觉，成功掩饰了他缺乏训练。他已经意识到，给定一个分析问题，他几乎总是可以在头脑中将之转换成关于某个形状的问题。而给定一个形状，他可以找到方法对它做变换，改变其对称性，使之变得更加谐和。常常，他的变换直接将他引向了相对应问题的一个解。在无法应用几何学的物理和化学科目上，他成绩不佳。但在数学上，那些他通过常规技巧无法解决的问题，在经过他对形状的一番捣鼓后，就迎刃而解了。
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巴黎高等师范学院和巴黎综合理工学院是当时法国培育精英的学校，美国的教育体系中并没有这样的学校。这两所学校每年总共录取不超过三百名学生，他们毕业后将进入法国大学和公务员系统。曼德尔布罗特一开始选择了两校中规模较小但声望更高的高等师范学院，但没几天后就转校到了综合理工学院。这时，他成了一位逃离布尔巴基学派的难民。7
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7曼德尔布罗特，里希特。对于布尔巴基学派，即便在现在也写得不多，其中一篇生动的介绍是：Paul R. Halmos,“Nicholas Bourbaki,”Scientific American 196 (1957), pp. 88–89.
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或许只有在法国，在这个推崇学术权威和学习的一定之规的地方，布尔巴基学派才能茁壮成长。它一开始是一个俱乐部，由包括沙勒姆·曼德尔布罗特在内的几位希望重建法国数学的年轻数学家在 2 世纪 30 年代中期成立。第一次世界大战葬送了法国数学界的众多青年才俊，导致在大学教授与学生之间出现了一个很大的年龄断层，学术传承也为之中断，而这些聪明的年轻人立志要为数学实践奠定新的基础。这个团体的名字本身是一个内部笑话，得名自一位 19 世纪的希腊裔法国将军，按照后来的猜测，大概是出于其姓氏发音奇怪又好听的缘故。布尔巴基学派诞生之初的这份轻松好玩儿的性质很快就会消失不见。
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其成员秘密进行聚会。事实上，至今他们的名字还没有全部得到确认。他们的人数是固定的。当一名成员由于年届五十而不得不退出时，剩下的成员会选取其替代者。他们是最杰出、最聪明的一批数学家，其影响很快传遍整个欧洲大陆。
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布尔巴基学派的出现部分是出于对庞加莱的反动。这位 19 世纪后期的伟人、异常多产的思想家和作家，并不像有些人那样关心数学严格性。庞加莱会说：“我知道它必定是正确的，那么为什么我还要证明它？”布尔巴基学派相信，庞加莱给数学留下的是一个松松垮垮的基础，所以他们开始撰写一部长篇巨著（并且在风格上越写越狂热），旨在将该学科拨乱反正。逻辑分析则是个中关键。数学家必须从扎实的第一性原理出发，然后从中推导出所有结论。他们强调数学是诸科学中至高无上的，因而坚持要与其他科学保持距离。数学就是数学——其价值不能用其现实应用加以衡量。并且最要紧的，布尔巴基学派排斥使用图像。数学家总是有可能被其视觉辅助所愚弄。几何学是不值得信任的。数学应该是纯粹的、形式化的，以及朴素的。
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并且这也不完全是一个法国现象。在美国，数学家也在毅然地从物理科学的需求中抽身出来，就像当时的艺术家和作家决然地从大众口味的需求中脱身出来。一种独善其身的情绪占据了上风。数学家的研究课题变得自成一体，研究方法变得形式上公理化。一位数学家可以不无自豪地承认，自己的工作没有解释世界上或科学中的任何东西。这种态度带来了累累硕果，数学家也引以为宝。斯蒂芬·斯梅尔，即便在他积极致力于重新撮合数学和自然科学的时候，也发自内心地相信，数学应该是不假外求的。8 这样的自成一体带来了明晰性。而明晰性与公理化方法的严格性相得益彰。每一位严肃的数学家都很清楚，严格性是这个学科的标志性特征，是承载一切的钢铁骨架，若失去它，一切都会轰然倒塌。正是数学严格性使得数学家敢于拾起某条延续了数个世纪的研究思路，然后继续深化和拓展它，而不必担心之前的一切。
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8斯梅尔。
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尽管如此，对严格性的需求给 20 世纪的数学带来了种种意料之外的后果。这个领域以一种特殊的演化方式发展着。9 在选取了一个问题后，研究者首先要就大方向做出一个决定。常常，这个决定牵扯到一个选择：是选择一条数学上可行的思路，还是选择一条对理解大自然而言有趣的思路？对于一位数学家来说，这里的选择是明确无疑的：他会暂时抛开任何与大自然明显相关的关联。最终，他的学生们也会面对一个类似的选择，并做出一个类似的决定。
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9派特根。
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