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没有哪个地方比法国更推崇这些价值，在那里，布尔巴基学派获得了其创立者做梦也想不到的成功。它的规则、风格和记号成了标准。得益于掌握了最优秀的学生并源源不断生产出成功的数学家，它取得了不可撼动的地位。它对高等师范学院的掌控是全面的，而这在曼德尔布罗特看来无法忍受。由于布尔巴基学派，他逃离了高等师范学院，而在十年后，出于同样的理由，他逃离了法国，定居美国。随后在不到几十年里，布尔巴基学派无止境的抽象化将由于计算机所带来的一个冲击，由于它所开辟的一门视觉化新数学而开始停下脚步。但对于无法忍受布尔巴基学派的形式主义，并无意抛弃自己的几何直觉的曼德尔布罗特来说，那已经来得太晚了。
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作为一个时刻不忘打造自己的神话的人，曼德尔布罗特给自己在《美国名人录》的词条最后特意补充道：“要是科学（就像体育）追求比赛第一，要是它通过区分狭隘定义的专项来明确比赛规则，那么科学就完蛋了。那些稀有的、自觉选择成为游牧者的学者对于已经定居下来的学科的智力福祉来说是至关重要的。”这位自觉选择成为游牧者（他也称自己为迫不得已而为之的先驱者 10）的人在离开法国，接受 IBM 的托马斯·J. 沃森研究中心的邀请时，也离开了学术界。在他从无名到显耀的三十年学术历程中，他从来没有看到自己的研究受到那些他所涉足的学科的欢迎。甚至连数学家都会说（尽管是不带明显恶意的），不管曼德尔布罗特究竟是何许人，他都不是自己的同类。
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10“Second Stage,”p. 5.
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曼德尔布罗特慢慢地摸索着自己的道路，其间，他一直受益于自己对于科学史上被人遗忘的“捷径”的渊博知识。他涉足过数理语言学，在自己的博士论文中阐述了一个词频分布定律。（他强调，他注意到这个问题是因为读到一篇书评，而后者是他从一位理论数学家的废纸篓中捡回来的，只是为了在搭乘巴黎地铁时有东西消遣。）他探索过博弈论。他出入过经济学。他讨论过城市规模分布在不同尺度上的相似性。而那个能将他的工作整合起来的一般框架还隐藏在幕后，只有部分成形。
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在他在 IBM 的初期，在他研究过商品价格问题后不久，他遇到了一个引发公司强烈关切的实践问题。当时工程师困扰于在计算机之间传递信息的电话线中的噪声问题。电流以离散包的形式传递信息，并且工程师知道，电流越强，它越能克服噪声干扰。但他们发现，某种自发生成的噪声怎么也掩盖不了。时不时地，噪声会淹没一段信号，导致出现一个差错。
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尽管传输噪声在本质上是随机的，但众所周知，它是聚集成团的。没有传输差错的时段之后会跟着出现差错的时段。通过跟工程师交谈，曼德尔布罗特很快了解到一个关于噪声的口耳相传的传说（之所以从来没有被书之文字，是因为它不符合任何常规的思维方式）：他们越深入细看这些噪声集团，差错发生的模式就显得越发复杂。曼德尔布罗特给出了一个描述差错分布的方式，能够很好地拟合观察到的模式。但它极其怪异。首先来说，它使得计算误码率（每小时、每分钟或每秒钟的平均差错数量）变得不可能。在曼德尔布罗特的描述中，平均而言，差错的分布趋向于无穷稀疏。
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他的做法是将没有差错的时段和出现差错的时段不断深入细分。设想你把一天分成小时。某一小时里可能没有出现任何差错。接着下一小时里可能出现差错。然后又一小时里可能没有出现差错。
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但设想你接着把出现差错的那一小时进一步细分成二十分钟的更小时段。你会发现，同样在这里，有些时段是完全无误的，而有些时段则包含一段突发差错。事实上，曼德尔布罗特指出，尽管有违直觉，但你永远无法找到这样一个时段，在其中差错是连续分布的。在任何出现突发差错的时段之中，不论其多么短暂，总是会存在完全没有传输差错的时段。此外，他发现了突发差错与无误传输之间的一个稳定几何关系。在一小时或一秒钟的不同尺度上，完全无误的时段与差错丛发的时段的比例却是相同的。（有一部分数据看上去不符合他的描述，这曾让曼德尔布罗特心里一沉，但他后来发现，原来是工程师当初没有记录下那些最极端的案例，他们以为它们是不相关的。）
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当时的工程师没有其他可供参照的东西来理解曼德尔布罗特的描述，但数学家有。实际上，曼德尔布罗特是在复制一个被称为康托尔集的抽象构造，后者得名自 19 世纪数学家格奥尔格·康托尔。要想构造一个康托尔集，你先取一段 0 到 1 的线段，然后去掉中间的三分之一。这样留下了两段线段，然后你又去掉每段中间的三分之一（即原来的九分之一到九分之二，以及九分之七到九分之八）。这样留下了四段线段，然后你又去掉每段中间的三分之一——如此反复，直至无穷。最后剩下的是什么？一个奇怪的“点集”，这些点聚集成团，无穷之多但又无穷之稀疏。曼德尔布罗特将传输差错视为一个时间维度上的康托尔集。
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这个高度抽象的描述却对于科学家选择不同的差错控制策略有着实践意义。11 具体来说，它意味着，工程师不应该试图通过不断增大信号强度来克服越来越多的噪声，而是应该选择一个中等强度的信号，接受差错是不可避免的，然后使用一种冗余策略来检测和纠正差错。曼德尔布罗特也改变了 IBM 的工程师思考噪声成因的方式。面对突发差错，工程师从前总是习惯性地认为必定是系统中哪里出了问题。但曼德尔布罗特的标度模式表明，噪声终究无法通过具体的局域性事件加以解释。
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11曼德尔布罗特；Fractal Geometry, p. 74; J.M. Berger and Benoit Mandelbrot,“A New Model for the Clustering of Errors on Telephone Circuits,”IBM Journal of Research and Development 7 (1963), pp. 224–236.
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©Benoit Mandelbrot
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康托尔“点集”
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首先取一段线段，然后去掉中间的三分之一，接着再分别去掉剩下两段线段的中间三分之一，如此反复。由剩下的点构成的集合就是康托尔集。这些点无穷之多，但它们的总共长度为零。
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这样一种构造的悖论性质一直困扰着 19 世纪的数学家，但曼德尔布罗特将康托尔集视为对于电信号传输过程中差错发生模式的一个模型。工程师注意到，完全没有传输差错的时段与出现差错的时段交相出现。而在细看之下，在出现差错的时段当中也存在完全无误的时段。更深入细看，相同的情况再次上演，如此等等——它是分形时间的一个例子。曼德尔布罗特发现，在每一个时间尺度上，从小时到秒，差错与无误传输之间的关系保持恒定。他于是主张，在为突发性建模时，这样一种点集至关重要。
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曼德尔布罗特继而将注意力转向其他数据——从世界各地的河流获得的数据。埃及人在过去数千年里一直记录着尼罗河的水位。这不是一时兴起。尼罗河的水位变化之大异乎寻常，有些年份河水泛滥成灾，有些年份则低于平均水位。曼德尔布罗特根据两类效应将变化加以分类；这两类效应也常见于经济学，他分别称之为诺亚效应和约瑟效应。
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诺亚效应意味着不连续性：当一个物理量改变时，它可以以几乎任意快的速度改变。经济学家传统上假设，价格以平滑的方式改变——变化可以有快有慢，但它总是平滑的；也就是说，当价格从一点变动到另一点时，它经过了其间的所有中间水平。这个运动意象是从物理学那里借用过来的，就像经济学所用的大多数数学一样。但它是错误的。价格可以以瞬间跃变的方式改变，就像一条新闻可以通过电传线路瞬间传递，而一千名股票经纪人可以转眼改变他们的判断那样快速。曼德尔布罗特指出，如果一个股票投资策略假设，一只股票在从 60 美元下跌到 10 美元的过程中必定能在某个时点以 50 美元卖出，那么这个策略注定会失败。
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约瑟效应则意味着持久性。12“必有七个大丰年来到埃及全地，随后又有七个荒年。”如果说这个《圣经》传说旨在说明周期性，这当然是过度简单化的解读。但洪水和干旱确实有着持久性。尽管背后有其随机性，但一个地方经受干旱的时间越长，它越有可能遭受更多干旱。此外，对于尼罗河水位的数学分析表明，持久性既适用于百年的尺度，也适用于十年的尺度。诺亚效应和约瑟效应作用方向不同，但两相作用之下就会有如此结果：大自然中的趋势确实真实存在，但它们可以来也匆匆，去也匆匆。
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12Fractal Geometry, p. 248.
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不连续性、突发噪声、康托尔点集——像这样的现象在过去两千年的几何学中始终没有一席之地。古典几何学中的形状是线和面、圆形和球体、三角形和圆锥体。它们代表了一种对于现实的强有力的抽象，也催生出一种关于柏拉图式和谐的强有力的哲学。欧几里得利用这些形状创立了一种延续了两千年的几何学——一种到现在仍是大多数人唯一学过的几何学。艺术家在它们当中发现了一种理想的美，托勒密派天文学家则利用它们构造了一整套宇宙论。但对于理解复杂性而言，它们最终被证明是那种错误的抽象。
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“云彩不是球体”，曼德尔布罗特喜欢这样说。13 山脉不是圆锥体，闪电也不是沿直线游走的。他的新几何学反映的是一个曲折而不光滑、粗糙而不平整的宇宙。它是一种关于粗糙、斑驳、支离破碎之物，关于曲折、杂乱、相互缠绕之物的几何学。理解大自然中的复杂性，需要等到人们开始怀疑复杂性不只是随机的，也不只是一种偶然的时候。它要求一种信念，相信比如一道闪电的路径的有趣之处不在于其走向，而在于其左拐和右折的分布。曼德尔布罗特的工作实际上是做出了一个关于世界的论断，即这样一些奇形怪状富有深意。这些坑坑洼洼之处和一团乱麻不仅仅是一些不完美之瑕，而是对于欧几里得几何经典形状的扭曲变形。它们常常是洞悉一样事物的实质的关键。
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13Ibid., p. 1, for example.
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比如，一条海岸线的实质是什么？曼德尔布罗特就在一篇成为其思想转折点的论文中问了这个问题：“英国的海岸线有多长？”
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曼德尔布罗特最初接触到海岸线问题，是通过一篇英国科学家刘易斯·弗赖伊·理查森在死后发表且少有人知的论文。事实上，理查森很早就涉足了出人意料多的后来被证明与混沌相关的话题。他曾在 20 世纪 20 年代讨论数值天气预测，往海湾里扔白色的欧防风来研究流体的湍流，还在一篇 1926 年的论文中问道：“风有一个速度吗？”（他接着解释道：“这个问题乍看之下很愚蠢，但仔细想想，就不是那样了。”）理查森又对蜿蜒曲折的海岸线和国境线产生了兴趣，并在查阅西班牙和葡萄牙、比利时和荷兰的百科全书后发现，两个邻国各自对于共同边界的长度的估计有着 20% 的出入。14