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14Ibid., p. 27.
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曼德尔布罗特对于这个问题的分析在论文读者看来要么纯属显而易见，要么纯属胡说八道。他发现大多数人对于这个问题的回答不外乎两种：“我不知道，这不是我的专业领域”，或者“我不知道，但我会在百科全书里找找看”。
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事实上，他所主张的是，在一个意义上，任何海岸线都是无穷长的。而在另一个意义上，答案取决于你所用标尺的长度。试考虑这样一种不无合理的测量方式：一位测量员取一把圆规，使其两脚张至一码 15，然后带着它步行测量海岸线长度。由此得到的码数只是真实长度的一个近似值，因为圆规漏掉了那些不足一码的曲折，但测量员还是把这个数记了下来。然后他把圆规张至一个较小的幅度，比如一英尺 16（原来的三分之一），并重复这个过程。他最终得到了一个稍大一些的长度，因为，之前一码的“尺子”转一次就能覆盖的距离现在需要一英尺的“尺子”转三次，从而它将记录下更多的细节。他记下这个新的数，然后将圆规张至四英寸 17（又是原来的三分之一），并再次重复这个过程。这个使用了一把想象的圆规的思想实验，以一种量化的方式彰显了从不同距离、在不同尺度上观察一个对象时的效应。相较于一位试图利用双脚丈量每一处海湾和海滩的观察者，一位试图利用卫星图像估计英国海岸线长度的观察者会给出一个较小的数值；而相较于一只艰难跋涉过每一枚小石头的蜗牛，他对于个中曲折会做出一个较小的估计。
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151 码 ≈ 91.44 厘米。——译者注
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161 英尺 ≈ 30.48 厘米。——译者注
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171 英寸 ≈ 2.54 厘米。——译者注
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©Richard F. Voss
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一个分形海岸
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这是一条计算机生成的海岸线：细节是随机的，但分形维数是常数，所以其曲折或不规则的程度看上去是相同的，而不论图像放大了多少倍。
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常识会说，尽管这些估计值会不断增大，但它们终将达到一个特定的最终值，即海岸线的真实长度。换言之，这些测量值应该会收敛。并且事实上，如果一条海岸线是某种欧几里得形状，比如一个圆，这种加总越来越短的直线距离的方法确实会收敛。但曼德尔布罗特发现，随着测量的尺度越来越小，对一条海岸线测得的长度会无限增加，海湾和岬角会不断揭示出更次一级的海湾和岬角——至少直到原子层次，到时，这个过程会最终走到尽头。或许吧。
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由于欧几里得测量的概念（长度、深度、厚度）无法把握到不规则形状的实质，曼德尔布罗特转向了一个不同的概念——维数的概念。维数在科学家眼中要比在非科学家眼中丰富多彩得多。我们生活在一个三维世界中，也就是说，我们需要三个数来确定一个点，比如，经度、纬度和海拔。这三个维度被想象成是相互垂直的三个方向。这也是欧几里得几何的遗产：在欧氏几何中，空间是三维的，平面是二维的，线是一维的，而点是零维的。
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让欧几里得当初得以构造出一维或二维对象的抽象化过程，也很容易扩展到我们面对的日常物体上。18 一幅交通地图，就其功用而言，是一样本质上二维的东西，它是一个平面。它用其二维表面承载了一类刚好二维的信息。当然，在现实中，交通地图像所有其他东西一样，是三维的，但其厚度是如此之小（并且与其功用如此不相关），使得它可以被忽略。即便被折叠起来，一幅交通地图仍然实际上是二维的。同样地，一根麻绳实际上是一维的，而一个粒子实际上根本没有维数。
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18Ibid., p. 17.
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那么一个麻绳球的维数是多少呢？曼德尔布罗特的回答是，它取决于你观看的距离。从很远的地方看，麻绳球不过是一个点，没有维数。近一点儿看，你可以看到它占用了一个球状空间，拥有三个维度。更近一点儿看，麻绳看得一清二楚，于是这个对象就变成实际上是一维的，只不过这个一维以一种利用到三维空间的方式自己缠绕成一团。确定一个点需要多少个数的概念仍然非常有用。19 从远处看，它根本不需要数——那里就只有一个点。近一点儿看，它需要三个数。更近一点儿看，一个数就够了——麻绳长度上的任意一个位置都是唯一的，而不论麻绳是拉直成线，还是缠绕成球。
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19Ibid., p. 18.
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视角进而推进到微观层次：麻绳变成一股股三维的麻线，麻线又分解成一条条一维的纤维，最终实体的物质解体为零维的点。曼德尔布罗特还搬出了相对性：“这种认为一个数值结论应该取决于对象与观察者之间的关系的思想，符合这个世纪的物理学的精神，甚至是它的一个示例。”
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但抛开哲学不说，一个对象的有效维数确实被证明不同于其普通的三维。曼德尔布罗特的文字论证看上去存在的一个弱点是，它使用了一些模糊的概念，比如“很远”和“近一点儿”。在它们之间时，情况又会如何呢？无疑，二者之间不存在一个明确的界线，过了这里，一个麻绳球就从一个三维对象突然变成一个一维对象。但实际上，这些转变的定义的不良性质并不是一个弱点——相反，它引出了一个关于维数问题的新思想。
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曼德尔布罗特没有局限于普通的维数（0, 1, 2, 3,…），而是拥抱了一个看上去的不可能：分数维数。这是一个不容易理解的概念。对于非数学家来说，它需要用到一点儿主动的悬置不信。但它最终证明了自己是威力极其强大的。
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分数维数可以测量那些不然没有办法明确定义的量：一个对象的曲折、破碎或不规则程度。比如，一条蜿蜒的海岸线尽管就长度而言是不可测量的，但还是具有特定的曲折程度。曼德尔布罗特给出了一些计算实际对象的分数维数的方法，前提是能够提供构造一个形状的某种技术，或者提供某些数据；并且他的几何学让他就自己研究过的大自然中的不规则模式做出了一个论断，即在不同尺度下，不规则程度保持不变。出人意料经常地，这个论断被证明是正确的。因此，一次又一次地，世界展示出一种规则的不规则性。
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1975 年的一个冬日下午，意识到物理学界也正在出现的类似研究，正在准备自己首部专著的曼德尔布罗特决定，他需要为自己的形状、自己的维数以及自己的几何学起一个名字。20 他的儿子放学回家，曼德尔布罗特便随手翻阅起儿子的拉丁语词典。他偶然看到了形容词“fractus”，它由动词“frangere”变化而来，意为“破碎的”。英语中由它而来的两个同源词——“fracture”（碎裂）和“fraction”（一小部分）——看上去也与不规则性的意象相符。曼德尔布罗特于是创造出了一个新词“fractal”（分形），它既是名词，也是形容词；既是英语词，也是法语词。
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20曼德尔布罗特。
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在心智之眼看来，一个分形就是一次见证无穷。
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设想一个等边三角形，每条边长一英尺。再设想一种特定变换（一套定义良好且易于重复的具体规则）：取每条边中间的三分之一，以它为底边添加一个新的等边三角形。
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