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11曼德尔布罗特；Fractal Geometry, p. 74; J.M. Berger and Benoit Mandelbrot,“A New Model for the Clustering of Errors on Telephone Circuits,”IBM Journal of Research and Development 7 (1963), pp. 224–236.
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©Benoit Mandelbrot
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康托尔“点集”
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首先取一段线段，然后去掉中间的三分之一，接着再分别去掉剩下两段线段的中间三分之一，如此反复。由剩下的点构成的集合就是康托尔集。这些点无穷之多，但它们的总共长度为零。
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这样一种构造的悖论性质一直困扰着 19 世纪的数学家，但曼德尔布罗特将康托尔集视为对于电信号传输过程中差错发生模式的一个模型。工程师注意到，完全没有传输差错的时段与出现差错的时段交相出现。而在细看之下，在出现差错的时段当中也存在完全无误的时段。更深入细看，相同的情况再次上演，如此等等——它是分形时间的一个例子。曼德尔布罗特发现，在每一个时间尺度上，从小时到秒，差错与无误传输之间的关系保持恒定。他于是主张，在为突发性建模时，这样一种点集至关重要。
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曼德尔布罗特继而将注意力转向其他数据——从世界各地的河流获得的数据。埃及人在过去数千年里一直记录着尼罗河的水位。这不是一时兴起。尼罗河的水位变化之大异乎寻常，有些年份河水泛滥成灾，有些年份则低于平均水位。曼德尔布罗特根据两类效应将变化加以分类；这两类效应也常见于经济学，他分别称之为诺亚效应和约瑟效应。
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诺亚效应意味着不连续性：当一个物理量改变时，它可以以几乎任意快的速度改变。经济学家传统上假设，价格以平滑的方式改变——变化可以有快有慢，但它总是平滑的；也就是说，当价格从一点变动到另一点时，它经过了其间的所有中间水平。这个运动意象是从物理学那里借用过来的，就像经济学所用的大多数数学一样。但它是错误的。价格可以以瞬间跃变的方式改变，就像一条新闻可以通过电传线路瞬间传递，而一千名股票经纪人可以转眼改变他们的判断那样快速。曼德尔布罗特指出，如果一个股票投资策略假设，一只股票在从 60 美元下跌到 10 美元的过程中必定能在某个时点以 50 美元卖出，那么这个策略注定会失败。
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约瑟效应则意味着持久性。12“必有七个大丰年来到埃及全地，随后又有七个荒年。”如果说这个《圣经》传说旨在说明周期性，这当然是过度简单化的解读。但洪水和干旱确实有着持久性。尽管背后有其随机性，但一个地方经受干旱的时间越长，它越有可能遭受更多干旱。此外，对于尼罗河水位的数学分析表明，持久性既适用于百年的尺度，也适用于十年的尺度。诺亚效应和约瑟效应作用方向不同，但两相作用之下就会有如此结果：大自然中的趋势确实真实存在，但它们可以来也匆匆，去也匆匆。
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12Fractal Geometry, p. 248.
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不连续性、突发噪声、康托尔点集——像这样的现象在过去两千年的几何学中始终没有一席之地。古典几何学中的形状是线和面、圆形和球体、三角形和圆锥体。它们代表了一种对于现实的强有力的抽象，也催生出一种关于柏拉图式和谐的强有力的哲学。欧几里得利用这些形状创立了一种延续了两千年的几何学——一种到现在仍是大多数人唯一学过的几何学。艺术家在它们当中发现了一种理想的美，托勒密派天文学家则利用它们构造了一整套宇宙论。但对于理解复杂性而言，它们最终被证明是那种错误的抽象。
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“云彩不是球体”，曼德尔布罗特喜欢这样说。13 山脉不是圆锥体，闪电也不是沿直线游走的。他的新几何学反映的是一个曲折而不光滑、粗糙而不平整的宇宙。它是一种关于粗糙、斑驳、支离破碎之物，关于曲折、杂乱、相互缠绕之物的几何学。理解大自然中的复杂性，需要等到人们开始怀疑复杂性不只是随机的，也不只是一种偶然的时候。它要求一种信念，相信比如一道闪电的路径的有趣之处不在于其走向，而在于其左拐和右折的分布。曼德尔布罗特的工作实际上是做出了一个关于世界的论断，即这样一些奇形怪状富有深意。这些坑坑洼洼之处和一团乱麻不仅仅是一些不完美之瑕，而是对于欧几里得几何经典形状的扭曲变形。它们常常是洞悉一样事物的实质的关键。
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13Ibid., p. 1, for example.
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比如，一条海岸线的实质是什么？曼德尔布罗特就在一篇成为其思想转折点的论文中问了这个问题：“英国的海岸线有多长？”
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曼德尔布罗特最初接触到海岸线问题，是通过一篇英国科学家刘易斯·弗赖伊·理查森在死后发表且少有人知的论文。事实上，理查森很早就涉足了出人意料多的后来被证明与混沌相关的话题。他曾在 20 世纪 20 年代讨论数值天气预测，往海湾里扔白色的欧防风来研究流体的湍流，还在一篇 1926 年的论文中问道：“风有一个速度吗？”（他接着解释道：“这个问题乍看之下很愚蠢，但仔细想想，就不是那样了。”）理查森又对蜿蜒曲折的海岸线和国境线产生了兴趣，并在查阅西班牙和葡萄牙、比利时和荷兰的百科全书后发现，两个邻国各自对于共同边界的长度的估计有着 20% 的出入。14
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14Ibid., p. 27.
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曼德尔布罗特对于这个问题的分析在论文读者看来要么纯属显而易见，要么纯属胡说八道。他发现大多数人对于这个问题的回答不外乎两种：“我不知道，这不是我的专业领域”，或者“我不知道，但我会在百科全书里找找看”。
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事实上，他所主张的是，在一个意义上，任何海岸线都是无穷长的。而在另一个意义上，答案取决于你所用标尺的长度。试考虑这样一种不无合理的测量方式：一位测量员取一把圆规，使其两脚张至一码 15，然后带着它步行测量海岸线长度。由此得到的码数只是真实长度的一个近似值，因为圆规漏掉了那些不足一码的曲折，但测量员还是把这个数记了下来。然后他把圆规张至一个较小的幅度，比如一英尺 16（原来的三分之一），并重复这个过程。他最终得到了一个稍大一些的长度，因为，之前一码的“尺子”转一次就能覆盖的距离现在需要一英尺的“尺子”转三次，从而它将记录下更多的细节。他记下这个新的数，然后将圆规张至四英寸 17（又是原来的三分之一），并再次重复这个过程。这个使用了一把想象的圆规的思想实验，以一种量化的方式彰显了从不同距离、在不同尺度上观察一个对象时的效应。相较于一位试图利用双脚丈量每一处海湾和海滩的观察者，一位试图利用卫星图像估计英国海岸线长度的观察者会给出一个较小的数值；而相较于一只艰难跋涉过每一枚小石头的蜗牛，他对于个中曲折会做出一个较小的估计。
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151 码 ≈ 91.44 厘米。——译者注
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161 英尺 ≈ 30.48 厘米。——译者注
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171 英寸 ≈ 2.54 厘米。——译者注
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©Richard F. Voss
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一个分形海岸
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