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这个迷思随着人类的视力经由望远镜和显微镜得以扩展而彻底消亡。人们第一次意识到，尺度的每个变换都会揭示出新的现象和新类型的行为。对于现代粒子物理学家来说，这个过程一直没有结束。每部新的加速器（连同其新的最大能级和最大速度）都扩展了科学的视野，深入了更微小的粒子以及更短暂的时间尺度，因而每次扩展似乎都带来了新的信息。
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乍看之下，认为在新尺度上将一切如旧的想法似乎只会给出更少的信息。人们之所以会这样想，部分是因为科学中的另一个趋势，即趋向于还原论。科学家将事物一层层打破，不断深入其构成，并且一次只审视一层。如果他们想要考察亚原子粒子的相互作用，那么他们会同时审视两或三层。这已经足够复杂了。然而，自相似性的威力要在更高得多的复杂程度上才开始施展。它要求审视整体。
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尽管曼德尔布罗特后来从几何学的角度对它进行了最为广泛的应用，但标度思想在 20 世纪 60 年代和 70 年代的回归已经掀起一股思潮，影响同时波及许多地方。自相似性的思想暗含在爱德华·洛伦茨的工作中。它是他的直觉理解的一部分，尤其是对于他的方程组所给出的图像的精细结构（这种结构他可以隐约感觉到，但直到 1963 年才能在计算机上最终看到）。标度也成为一场物理学运动的一部分，而这场运动比曼德尔布罗特的工作更直接地推动了混沌这门学科的诞生。即便在一些关系较远的领域中，科学家也开始从尺度层级的角度来思考自己的理论；比如在演化生物学中，很明显一个完整的理论将需要同时涵盖在基因、生物体个体、物种，以及群落等不同尺度上的发生和演化。
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或许不无悖论的是，对于标度现象的重新发现必须从当初朴素的自相似性概念摔倒的地方重新爬起来，也就是说，它得益于相同的那种人类视力的扩展。到了 20 世纪后期，通过种种之前想象不到的方式，难以理解之小和不可思议之大的事物的图像逐渐成为每个人经验的一部分。我们的文化目睹了原子和星系的照片。人们不再需要像莱布尼茨那样，只能想象着宇宙在显微镜或望远镜尺度上是怎样的——显微镜和望远镜已经使得这些图像成为日常经验的一部分。而鉴于我们的心智总是渴望找出不同经验之间的相似之处，不可避免地，人们会开始进行新一类的比较，比较大小不同的尺度——并且其中有些比较是富有成果的。
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那些为分形几何学所吸引的科学家常常感到，在自己新的数学审美与 20 世纪下半叶艺术风尚的变化之间存在着某些情感上的类比。他们感到自己也在从更大范围的文化领域当中汲取某种内在热情。在曼德尔布罗特看来，在数学之外，欧几里得审美的另一个典范是包豪斯建筑。或者，以约瑟夫·阿尔贝斯的方色块为代表的绘画风格：方块的、有序的、线性的、极简的、几何式的。“几何式的”——这个词意指它数千年来所意指的。被称为几何式的建筑由简单形状、直线和圆形所构成，可通过少许数据就加以描述。几何式建筑和绘画的风尚来了又走。后来的建筑师不再想要设计像纽约的施格兰大厦那样归整单调的摩天大楼，尽管它曾经备受推崇和屡遭效仿。而在曼德尔布罗特及其追随者看来，这个中原因也很清楚。简单形状是不合人性的。它们既不合大自然组织自己的方式，也不合人类感知世界的方式。借用格特·艾伦贝格尔（这位德国物理学家原来研究超导现象，后来转向非线性科学）的说法：“为什么在冬日黄昏的映衬下，一棵随风摇摆的光秃秃树木的剪影被认为是美的，但在同样情况下，任何大学多功能楼的剪影则不被认为是美的，而不论建筑师的设计如何巧心？在我看来，尽管可能有点大胆猜测，这里的答案与来自动力系统的新洞见有关。我们对于美的感知受到了自然现象中，比如云彩、树木、山脉或雪花中有序与无序的和谐排布的启发。所有这些形状反映的是一些凝结成实体的动力学过程，并且每个都反映出特定的有序与无序的组合。”42
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42Gert Eilenberger,“Freedom, Science, and Aesthetics,”in The Beauty of Fractals: Images of Complex Dynamical Systems, eds. H. - O. Peitgen and P.H. Richter (Berlin: Springer, 1986), p. 179.
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一个几何形状终究有一个尺度，即一个特征长度。而在曼德尔布罗特看来，真正给人满足的艺术是缺乏尺度的，也就是说，它在所有尺度上都包含一些重要元素。作为施格兰大厦的对比，他所举的例子是 19 世纪下半叶的学院派建筑。一座像巴黎歌剧院这样的学院派建筑典范没有尺度，因为它有每个尺度。一位观察者无论从哪个距离观看，总会被某些细节所吸引，不论是其雕塑和滴水兽、其墙角石和边框石、其漩涡花饰，还是其上为檐沟、下饰齿状的檐口。随着他逐渐接近这座建筑，其细节的组合会不断改变，新的结构元素也会不断冒出来。
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欣赏某座建筑的和谐结构是一回事，欣赏大自然的野性则是完全另一回事。就审美价值而言，分形几何学的新数学让硬科学呼应了一种尤其现代的感受，即人们对于未被染指、未被开发、未被征服的自然的渴望。雨林、沙漠、荒原和劣地曾经代表了社会在试图改天换地时所要征服的典型事物。如果人们想从植物身上获得审美满足，他们首先想到的是花园。正如约翰·福尔斯在讲到 18 世纪的英格兰时所写的：“这个时期对于未受人控制或原始的自然没有丝毫同情。它是十足的荒芜，是一个丑陋的、怎么也躲避不开的提醒，让人回想起人类的堕落，回想起人类被逐出伊甸园。……甚至那时的自然科学……也对野生的自然从骨子里持敌视的态度，将它视为只是某种有待征服、分类、改造和利用的东西。”43 但到了 20 世纪末，我们的文化已经改变，而科学现在也随之发生改变。
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43John Fowles, A Maggot (Boston: Little Brown, 1985), p. 11.
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所以，科学发现了康托尔集和科赫雪花的这些表亲的新的用武之地。先前，这些奇形怪状可以作为呈堂证据，被递交给世纪之交时数学与物理学的“离婚庭审”，以结束自牛顿以来一直是科学主旋律的这场联姻。像康托尔和科赫这样的数学家一直自负于自己的原创性。他们认为自己比大自然更聪明——尽管实际上，他们对于大自然的创造望尘莫及。物理学的主流也在很早以前就将视线从日常经验的世界上移开。只是在后来，在斯蒂芬·斯梅尔让数学家重新开始关注动力系统之后，某位物理学家才能够说：“我们要感谢天文学家和数学家，当他们将这个领域交给我们物理学家的时候，其状况要比我们在七十年前交到他们手上时好上太多。”44
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44Robert H. G. Helleman,“Self - Generated Behavior in Nonlinear Mechanics,”in Fundamental Problems in Statistical Mechanics 5, ed. E. G. D. Cohen (Amsterdam: North - Holland, 1980), p. 165.
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不过，尽管有斯梅尔，尽管有曼德尔布罗特，开创混沌这门新科学终究还是要靠物理学家。曼德尔布罗特提供了一种必不可少的语言，以及一系列出人意料的关于大自然的图案。但正如曼德尔布罗特所承认的，他的几何学更擅长描述，而非解释。他可以算出诸多自然元素，比如海岸线、河网、树皮、星系等的分形维数，并且科学家也可以利用这些数值做出预测。但物理学家想要知道更多。45 他们想要知道为什么。大自然中还有许多型相（不是可见的形式，而是隐藏在运动的机理当中的形状）有待揭示。
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45比如，利奥·卡达诺夫就追问“分形的物理学在哪里”（Physics Today, February 1986, p. 6），并随后自己给出了一个新的“多分形”思路（Physics Today, April 1986, p. 17），引发了曼德尔布罗特的一个强调自己发现在先的典型回应（Physics Today, September 1986, p. 11）。曼德尔布罗特写道，卡达诺夫的理论“让我充满了一名父亲的自豪——很快又要成为一名祖父？”。
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混沌：开创一门新科学 第五章 奇怪吸引子
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大涡破碎成小涡，同时也把能量传；小涡破碎成更小涡，直至能量被黏性耗散完。
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——刘易斯·弗赖伊·理查森
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湍流是一个众所关注的问题。所有大物理学家都思考过它，不论是正式地，还是非正式地。1 一股平稳的流体失稳形成大小不同的涡旋。在流体与固壁的边界上出现不规则的模式。能量快速地从大尺度涡旋传递给小尺度涡旋。为什么会这样？对此的最好想法都来自数学家；对于大多数物理学家来说，湍流问题令人望而生畏，不值得在上面浪费时间。它看上去几乎是不可知的。有一个故事就说，量子物理学家维尔纳·海森堡在临死前表示，他希望死后求教上帝两个问题：为什么是相对论？以及为什么是湍流？海森堡接着说：“我其实认为，他可能对第一个问题有答案。”2
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1吕埃勒，埃农，勒斯勒尔，西奈，费根鲍姆，曼德尔布罗特，福特，克莱希南。关于湍流理论的奇怪吸引子观点的历史背景，现在存在多种视角。一篇有价值的简介是：John Miles,“Strange Attractors in Fluid Dynamics,”in Advances in Applied Mechanics 24 (1984), pp. 189–214. 吕埃勒的一篇较为通俗的综述文章是：“Strange Attractors,”Mathematical Intelligencer 2 (1980), pp. 126–137；他的开创性论文是：David Ruelle and Floris Takens,“On the Nature of Turbulence,”Communications in Mathematical Physics 20 (1971), pp. 167–192；他的其他重要论文包括：“Turbulent Dynamical Systems,”Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 16–24 August 1983, Warsaw, pp. 271–286;“Five Turbulent Problems,”Physica 7D (1983), pp. 40–44; and“The Lorenz Attractor and the Problem of Turbulence,”in Lecture Notes in Mathematics No. 565 (Berlin: Springer - Verlag, 1976), pp. 146–158.
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2这个故事有多个版本。欧尔萨格提到，主人公除了海森堡，还有其他四位可能人选（冯·诺伊曼、兰姆、索末菲，以及冯·卡门），并补充道：“我想，要是上帝确实给了这四个人答案，大概每个人得到的答案都会是不同的。”
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理论物理学家已经与湍流现象形成了某种僵局。事实上，科学已经在地上画了一条线，并表示我们不可逾越此线。在这条线以里，流体有序流动，我们可以多有作为。并且幸运的是，平稳流动的流体表现得并不像是由无数相互独立、可独立运动的分子构成的。相反，在一开始时，相邻的流线在流动过程中倾向于继续相邻，就像被套在衡轭下的马匹。工程师们有一些可行的技术来计算流体的流动，只要它一直保持平稳。他们使用了一套可追溯至 19 世纪的知识，而在当时，理解液体和气体的运动是一个物理学前沿问题。
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然而，进入现代后，这个问题不再处于前沿。在最纯粹的理论学家看来，流体力学看上去已经没有留下任何理论谜团，除了即便在天堂也找不到答案的那个问题。其应用层面已经得到如此透彻的理解，使得它大可留给技术人士去处理。物理学家会说，流体力学其实已经不再属于物理学。它现在只属于工程学。聪明的年轻物理学家有其他更有价值的事情可做。流体力学家则一般归属于大学的工程系。对于湍流的应用兴趣一直存在，并且这种兴趣通常只专注于一个方面：控制湍流。在一些应用场合中，湍流是受欢迎的——比如在飞机发动机中，其燃料的高效燃烧有赖于其与空气的快速混合。但在大多数场合中，湍流意味着灾难。湍流会降低飞机机翼的升力。湍流会增大石油管道的阻力。政府和企业在像飞机、喷气发动机、螺旋桨、潜水艇外壳等在流体中运动的形状的设计上投入了大量资金。研究者需要操心血管和心瓣中血液的流动。他们需要操心爆炸波的形状和传播。他们需要操心涡旋和涡流、火焰和冲击波。在理论上，第二次世界大战中的原子弹项目是一个核物理学问题。但在现实中，其核物理学问题早在项目开始前就已经大部分得到了解决，聚集在美国洛斯阿拉莫斯的科学家所钻研的其实是一个流体力学问题。
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那么湍流是什么？它是遍布所有尺度的无序，大涡破碎成小涡，小涡破碎形成更小涡旋。它是不稳定的。它是高耗散的，也就是说，湍流消耗能量，并生成曳力。它是失去稳定性的运动。但流体的流动究竟如何从平稳变成紊乱？设想你有一个完美匀速供水的水源以及一根完美平滑的管道，并且它们完美免受任何外部振动的干扰——这样一种流动究竟如何能够生成某种随机的东西？
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所有的规律似乎都失效了。当流动是平稳的，或是所谓的层流时，小的扰动会逐渐消失。但在湍流发生后，小的扰动会急剧增大。这个发生过程，或所谓从层流到湍流的转捩，成了科学的一大谜团。水流在大石头两侧形成两串漩涡，它们不断增大，旋转着流向下游。香烟的烟柱在静止的空气中升腾而起，一开始有规则，但在超过临界速度后便消散成大小不一的涡旋。湍流的发生可在实验室的实验中见到，并得到测量；它可通过风洞实验被用于测试新的机翼或螺旋桨；但它的本质一直不为人知。传统上，这样获得的知识始终是特殊性的，而不是普适性的。针对波音 707 机翼所做的试错式研究，不能为针对 F - 16 战斗机机翼所做的试错式研究提供任何助益，甚至超级计算机在面对不规则的流体运动时也几近于束手无策。
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