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31Michel Hénon and Carl Heiles,“The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments,”Astronomical Journal 69 (1964), p. 73.
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在一个将近两亿年的时间尺度上，星系中的恒星轨道是三维的，而非椭圆形。但三维的轨道，即便当它们是真实的时，也跟当它们是在相空间中的想象的构造时一样，是难以可视化的。所以埃农使用了一种类似于庞加莱截面的技术。他设想在星系的正上方放置一个平面，使得每条轨道都会穿过它，就像赛道上的赛马都会通过终点线。然后他会标出每条轨道穿过这个平面的截点，并观察这些点的分布规律。
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埃农当初需要通过手工将这些点作图，但最终，许多采用这种技术的科学家将可以在计算机屏幕上观察它们，看到它们如同远处的街灯在夜幕降临时一盏盏点亮起来。一条典型的轨道可能一开始是纸面左下角的一个点。然后在下一次环绕后，一个点会出现在往右几厘米处。然后，再下一次，一个点出现在稍微往右和往上的地方，如此等等。一开始，人们看不出什么模式，但在积攒到十个或二十个点后，一条卵形的曲线会大致浮现。这些点实际上绕着这条曲线相继出现，但由于它们不会停留在同一个地方，因此，最终在经过数百个或数千个点后，这条曲线就会变得实实在在。
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这样的轨道并不是完全规则的，因为它们永远不会确切重复自己，但它们无疑是可预测的，也根本谈不上是混沌的。这些截点永远不会跑到这条曲线之内或之外。将其转译回三维图像，这样的轨道勾勒出了一个类似甜甜圈的环面，而庞加莱映射正是这个环面的一个横截面。到这一步，他不过是在验证他的所有前辈长久以来视为理所当然的：轨道是周期性的。20 世纪 10 年代到 30 年代，在丹麦哥本哈根大学天文台，整整一代天文学家呕心沥血地观测和计算出了数百条这样的轨道——但他们只对那些被证明是周期性的轨道感兴趣。32“就像那个时代的所有人，我也原本深信所有轨道都应该如此这般规则。”埃农这样说道。33 但他和他在普林斯顿的研究生卡尔·海尔斯继续计算不同的轨道，逐步提高其抽象系统中能量的水平。很快，他们就见到了某种全新的东西。
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32埃农。
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33埃农。
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首先，卵形曲线扭曲形成某种更加复杂的东西，它自相交叉，形成一个个“8”字，并分裂形成几个小的闭曲线。尽管如此，这些轨道仍然落在这条曲线上。然后，在更高的能量水平上，另一个改变相当突兀地发生了。“惊喜出现了。”埃农和海尔斯这样写道。34 有些轨道变得如此不稳定，以至于截点会随机散落在纸面上。在有些地方，仍旧可以画出曲线；在其他地方，则没有曲线可以拟合那些点。整个图案变得相当具有戏剧性：表明完全无序的证据与有序的残存痕迹混合在一起，形成了在这两位天文学家看来好像大海中的“岛屿”和“岛链”的形状。他们分别尝试了两部不同的计算机和两种不同的数值解法，但结果都是一样的。他们不明白这是怎么回事，只能进行猜测。完全基于自己的数值实验，他们对这样的图案的深层结构做出了一个猜测。他们提出，在更大的放大倍数下，更多的岛屿会出现在越来越小的尺度上，或许直到无穷。对此需要严格的数学证明，而不是数值实验——“但对于这个问题的数学解答看上去并不很容易”。35
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34“The Applicability,”p. 76.
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35Ibid., p. 79.
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埃农后来转向了其他问题，但在十四年后，当他最终听说达维德·吕埃勒和爱德华·洛伦茨的奇怪吸引子时，他已经准备好认真聆听。那是在 1976 年，他已经来到可以俯瞰地中海美景的法国尼斯天文台，当时他听到的是一位访问物理学家 36 所做的关于洛伦茨吸引子的讲座。这位物理学家尝试过不同技术，试图展现吸引子的精细“微观结构”，但一直无功而返。尽管耗散系统不是他的研究领域（“天文学家有时畏惧耗散系统——毕竟它们是乱糟糟的”37），但埃农意识到自己对此有个想法。
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36伊夫·波莫。
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37埃农。
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© Michel Hénon
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环绕星系中心的轨道
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为了理解恒星在一个星系中的运动轨迹，米歇尔·埃农计算了这些轨道与一个平面相交的截点。由此得到的截点分布模式取决于整个系统的能量水平。来自一条稳定轨道的截点会逐渐形成一条连续的曲线（左图）。然而，在其他能量水平下，则会出现稳定性与混沌（表现为截点随机散落的区域）混合在一起的复杂情况。
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再一次地，他决定抛开一个系统的所有物理学考量，而专注于他所希望探索的几何学本质。不同于洛伦茨及其他人仍然局限于微分方程（牵扯到在时间和空间中发生连续变化的各种流），埃农转向了差分方程（牵扯到在时间中的离散变化）。他相信，个中关键是相空间的反复拉伸、压缩和折叠，就像面点师在做酥皮时那样，将面团擀平，将它折起，然后再擀平，再折起，不断重复。埃农在一张纸上画了一个椭圆。为了将它折叠，他选取了一个简单的数值函数，使得椭圆上的任意一个点横坐标不变而纵坐标改变，从而使椭圆发生弯曲，形成一个拱门。这是一个映射——一个点接一个点，整个椭圆被映射成了拱门。接着，他选取了第二个映射，这次是一个压缩：纵坐标不变而横坐标改变，从而使得拱门变窄小了。然后，第三个映射将窄小的拱门转动 90 度，将它放倒，使得它与原始的椭圆能够大致对齐。最后，将这三个映射结合成一个函数，以便进行计算。
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在思路上，他是在效仿斯梅尔的马蹄映射。但在数值计算上，整个过程是如此简单，甚至在一部计算器上就可以轻松进行。任何一个点都有其横坐标 x 和纵坐标 y。为了找到一个新的 x，只需取旧的 y，让它加上 1，再减去旧的 x 的平方的 1.4 倍。而为了找到一个新的 y，只需让旧的 x 乘以 0.3。也就是说，x新 = y + 1 - 1.4x2，y新 = 0.3x。埃农随机选取了一个初始点，然后拿起计算器，开始计算和画出新的点，一个接一个，直到他画出了数千个点。然后他使用了一部真正的计算机（一部 IBM 7040），快速画出了五百万个点。任何拥有一部个人计算机和一台图形显示器的人都可以轻松重现这个过程。
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一开始，星星点点看上去在屏幕上随机地跳来跳去。这类似于在一个三维奇怪吸引子的庞加莱截面上，那些截点在截面上不规则地出现。但很快，一个形状开始浮现出来，那是一个像香蕉那样弯曲的轮廓。随着程序不断运行，更多的细节开始浮现。部分地方原本看上去是密密麻麻的一团，但放大来看，原来的一团消减成两条单独的线；再放大来看，两条线变四条线，一对紧靠在一起，而另一对分得很开。在更大的放大倍数下，四条线中的每一条又被证明由两条单独的线构成，如此等等，直至无穷。跟洛伦茨的吸引子一样，埃农的吸引子也展现出无穷倒退的特征，就像一套没有止境的俄罗斯套娃。
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这种线中有线的、层层嵌套的细节，我们可以通过并置放大倍数越来越大的一系列图案而看得一清二楚。但奇怪吸引子的诡异特性也可以在另一个时刻感受到。当随着点越来越多，形状开始浮现时，我们感到它就仿佛是一个从迷雾中现身的魅影，不知从何而来。新的点在屏幕各处出现得如此随机，看上去简直难以想象那里面会存在任何结构，更别说一种如此精致且精细的结构。相继出现的两点可以相隔任意远，就像在湍流中，一开始相邻的两点后来会演变成的那样。给定已经出现任意数量的点，我们仍然不可能猜到下一个点会出现在哪里——当然，除了它必定出现在吸引子上的某处。
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这些点出现得如此随机，整个模式又出现得如此缥缈，我们有时很难记起这个形状其实是一个吸引子。它不只是一个动力系统的随便什么轨道，它还是所有其他轨道收敛趋向的那些轨道。这也是为什么初始条件的选取并不重要。只要起始点位于吸引子附近某处，接下来的几个点就会快速收敛到吸引子。
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几年前，当达维德·吕埃勒来到斯温尼和戈勒布在纽约市立学院的实验室时，三位物理学家感到在他们各自的理论与实验之间可能存在一个关联。一边是一个数学构造，在思想上很大胆却在技术上不确定；另一边是一个装着湍流流体的圆筒，没有什么好看的，却明显与旧的理论不相符。三人在午后花了很多时间讨论，此后斯温尼和戈勒布暂时离开学院，与他们的妻子一起前往戈勒布在阿第伦达克山脉的度假小屋休假。他们没有见到过一个奇怪吸引子，也没有测量过在湍流发生时所实际发生的。但他们知道朗道是错误的，而他们也猜测吕埃勒是正确的。
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© James P. Crutchfield
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