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埃农的吸引子
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一个折叠和压缩的简单组合生成了一个容易计算却仍然不大为数学家所理解的吸引子。随着数万，乃至数百万的点相继出现，越来越多的细节会浮现出来。原本看上去只是一条线，在放大之下，它被证明其实是两条线，进而是四条线，如此等等。但任意相继出现的两点是靠得很近，还是离得很远，这则不可预测。
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作为一个通过计算机发现的自然要素，奇怪吸引子一开始只是作为一种数学可能性，揭示出一个许多 20 世纪最伟大的心智也未曾涉足的地方。但很快，当科学家看到计算机所展示的形状时，它看上去像一副他们一直都在遇到的面孔，不论是在变幻的湍流中，还是满天的云彩中。大自然隐约在受到某种约束。无序似乎被纳入有着某种共同主题的模式当中。
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再后来，奇怪吸引子的概念进一步为混沌革命加油助力，因为它为那些专注于数值探索的研究者提供了一个清晰的执行方案。他们到处找寻奇怪吸引子，不放过任何大自然看上去表现出随机性的地方。许多人主张，地球的天气系统可能基于一个奇怪吸引子。还有些人则搜集了数以百万计的股票市场数据，并开始搜寻其中的奇怪吸引子，试图透过计算机的变焦透镜一窥随机性的奥秘。38
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38拉姆齐。
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但在 20 世纪 70 年代中期，这些发现还是未来之事。当时还没有人在实验中实际见到过一个奇怪吸引子，人们也根本不清楚如何能够找到一个奇怪吸引子。在理论上，奇怪吸引子可以为混沌的那些新特性提供数学解释。对初始条件的敏感依赖就是其中之一。另一个特性是湍流的“混合”功用，因为它将对一位关心如何高效混合燃料和空气的飞机发动机设计师来说是有意义的。但没有人知道该如何测量这些特性，如何给它们赋予数值。同时，奇怪吸引子看上去是分形的，这意味着它们的真实维数是分数维，但也没有人知道该如何测量这样的维数，或者如何将这样一个测量应用到解决工程问题上。
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更重要的是，没有人知道奇怪吸引子是否会对理解非线性系统的最深层次问题有所帮助。不像线性系统容易计算和归类，非线性系统依旧看上去在本质上是无法归类的——它们每每各不相同。科学家可能已经开始猜想它们具有某些共同特性，但轮到进行测量和计算的时候，每个非线性系统都是各有一个天地。理解这一个系统看上去对理解下一个没有什么帮助。一个像洛伦茨吸引子这样的吸引子揭示了一个原本看上去行为杂乱无章的系统的稳定性和隐藏结构，但这个独特的双螺旋如何能够帮助研究者理解其他不相关的系统呢？当时没有人知道答案。
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但在当时，兴奋之情不只源自它们的科学意涵。看到这些形状的科学家有时也不禁暂时抛下科学写作的规范。比如，吕埃勒就写道：“我还没有提到奇怪吸引子的美学吸引力。这些由曲线构成的系统，这些由点构成的一团团有时让人联想到烟花或星系，有时则让人联想到奇异而令人不安的植物增殖。在它们当中存在一个新世界，那里有着各种型相有待探索，有着各种和谐有待发现。”39
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39“Strange Attractors,”p. 137.
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混沌：开创一门新科学 第六章 普适性
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给，拿着这本书：仔细读完它。重复这几行话将点石成金；在地上画出这个圆圈将召来狂风暴雨、电闪雷鸣。
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——克里斯托弗·马洛，《浮士德博士的悲剧》（第二幕第一场）
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在一处瀑布上游的几十米处，原本平滑流动的溪流似乎预见到即将到来的坠落。水流开始加急。激流荡漾，犹如道道青筋暴起。米切尔·费根鲍姆站立在溪流边。他穿着运动西装和灯芯绒裤子，稍稍有点儿出汗，手里还夹着一支香烟。他与朋友们一起出来郊游，但他们已经走到前头，前往更上游的池潭。突然之间，就仿佛在高速模仿一位网球观众，他开始左右摇头，晃个不停。“你可以集中注意在某样东西上，比如一点儿水沫或其他东西，”他说道，“如果你摇头摇得足够快，你就可以突然看出其表象之下的整个结构，你可以直觉感受到它。”他又嘬了一口烟。“但对于任何有数学背景的人来说，如果你看着这些东西，或者望着层层堆叠的云彩，又或者站在风暴中的海堤上，你就会知道你其实什么都不知道。”1
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1费根鲍姆。费根鲍姆关于普适性的重要论文是：“Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations,”Journal of Statistical Physics 19 (1978), pp. 25–52, and“The Universal Metric Properties of Nonlinear Transformations,”Journal of Statistical Physics 21 (1979), pp. 669–706. 一篇稍微通俗一些但仍然需要一点儿数学的论述是他的综述文章：“Universal Behavior in Nonlinear Systems,”Los Alamos Science 1 (Summer 1981), pp. 4–27. 我还利用了他未发表的回忆录：“The Discovery of Universality in Period Doubling.”
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暗藏在混乱中的秩序。这是科学最古老的滥套子。大自然有其隐藏的统一性，共通的深层框架的思想有着一种内在的吸引力，也有着一段催生出众多伪科学家的不光彩历史。当费根鲍姆在 1974 年来到美国洛斯阿拉莫斯国家实验室时，差一岁就将进入而立之年的他知道，如果物理学家现在想要利用这个思想做出点新东西，他们将需要一个应用框架，一种将想法变成具体计算的方法。2 而如何找出破解问题的第一个突破口并不是显而易见的。
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2费根鲍姆，卡拉瑟斯，茨维塔诺维奇，坎贝尔，法默，菲舍尔，克尔，哈斯拉赫尔，任峻瑞。
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将费根鲍姆招揽进来的是彼得·卡拉瑟斯，一位表面看着温文尔雅的物理学家，他在 1973 年离开美国康奈尔大学，到此执掌理论部。他新官上任的第一把火就是解聘了六位资深科学家（洛斯阿拉莫斯实验室并没有为自己的研究人员提供类似大学终身教职的保障），然后代之以自己挑选的几位聪明过人的年轻研究者。作为一位科研管理者，他有着强烈的进取心，但他也透过自身经验了解到，好的科学不总是能够规划出来的。
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“如果你在实验室或在华盛顿召集了一个委员会，并说，‘湍流现象实在是我们的拦路虎，我们必须要理解它，对它缺乏理解已经着实严重阻碍到我们在其他许多领域取得进展’。接下去，当然，你会招募一个团队。你会购入一部大型计算机。你会开始推进大项目。但最后你还是会无功而返。相反，我们现在请了这位聪明的小伙子，他默默钻研——确实，他也会跟其他人交流，但大多数时候还是他自己一个人在做。”3 他们曾经讨论过湍流，但随着时间逝去，甚至连卡拉瑟斯也不再确定费根鲍姆意欲何为。“我原本以为他放弃了，转向了一个不同的问题。当时我并不知道，这个不同的问题实际上是同一个问题。它看上去正是许多不同科学领域都受阻于此的那个问题——他们都受阻于系统的非线性行为的这个层面。当时没有人料想到，解决这个问题的必要知识背景是，你需要了解粒子物理学，需要了解量子场论，需要知道在量子场论中有所谓的重整化群。那时没有人知道，你还需要理解随机过程的一般理论，以及分形结构。
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3卡拉瑟斯。
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“但米切尔刚好拥有这样的知识背景。他在正确的时间做出了正确的事情，并且他做得非常棒。他不是部分解决，而是彻底解决了整个问题。”
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费根鲍姆在来到洛斯阿拉莫斯时已经心怀这样一个信念，即他的科学一直以来未能理解那些困难的问题——那些非线性问题。尽管他之前作为物理学家几乎没有任何产出，但他已经积累了一个不寻常的知识背景。他对于最具挑战性的一些数学分析问题、对于让大多数科学家头疼的各种新类型的计算技术有着一种敏锐的操作知识。他也成功让自己没有完全抛弃一些来自 18 世纪浪漫主义运动的、看上去非科学的思想。他想要做一种新的科学。为此，他暂时抛开了任何试图理解现实中的复杂性的奢望，而从他能够找到的最简单的非线性方程着手。
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米切尔·费根鲍姆第一次意识到世界的神秘是在他四岁的时候，那是在第二次世界大战后不久，在他父母在纽约布鲁克林区弗拉特布什的家里，他第一次聆听一部银音（Silvertone）收音机。4 一方面，他困惑于音乐如何能够不假外物就传送过来。另一方面，他自觉能够理解留声机的运作。毕竟他的祖母已经给了他一个特别许可，准许他操作家里的 78 转留声机。
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4费根鲍姆。
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