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37埃农。
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© Michel Hénon
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环绕星系中心的轨道
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为了理解恒星在一个星系中的运动轨迹，米歇尔·埃农计算了这些轨道与一个平面相交的截点。由此得到的截点分布模式取决于整个系统的能量水平。来自一条稳定轨道的截点会逐渐形成一条连续的曲线（左图）。然而，在其他能量水平下，则会出现稳定性与混沌（表现为截点随机散落的区域）混合在一起的复杂情况。
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再一次地，他决定抛开一个系统的所有物理学考量，而专注于他所希望探索的几何学本质。不同于洛伦茨及其他人仍然局限于微分方程（牵扯到在时间和空间中发生连续变化的各种流），埃农转向了差分方程（牵扯到在时间中的离散变化）。他相信，个中关键是相空间的反复拉伸、压缩和折叠，就像面点师在做酥皮时那样，将面团擀平，将它折起，然后再擀平，再折起，不断重复。埃农在一张纸上画了一个椭圆。为了将它折叠，他选取了一个简单的数值函数，使得椭圆上的任意一个点横坐标不变而纵坐标改变，从而使椭圆发生弯曲，形成一个拱门。这是一个映射——一个点接一个点，整个椭圆被映射成了拱门。接着，他选取了第二个映射，这次是一个压缩：纵坐标不变而横坐标改变，从而使得拱门变窄小了。然后，第三个映射将窄小的拱门转动 90 度，将它放倒，使得它与原始的椭圆能够大致对齐。最后，将这三个映射结合成一个函数，以便进行计算。
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在思路上，他是在效仿斯梅尔的马蹄映射。但在数值计算上，整个过程是如此简单，甚至在一部计算器上就可以轻松进行。任何一个点都有其横坐标 x 和纵坐标 y。为了找到一个新的 x，只需取旧的 y，让它加上 1，再减去旧的 x 的平方的 1.4 倍。而为了找到一个新的 y，只需让旧的 x 乘以 0.3。也就是说，x新 = y + 1 - 1.4x2，y新 = 0.3x。埃农随机选取了一个初始点，然后拿起计算器，开始计算和画出新的点，一个接一个，直到他画出了数千个点。然后他使用了一部真正的计算机（一部 IBM 7040），快速画出了五百万个点。任何拥有一部个人计算机和一台图形显示器的人都可以轻松重现这个过程。
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一开始，星星点点看上去在屏幕上随机地跳来跳去。这类似于在一个三维奇怪吸引子的庞加莱截面上，那些截点在截面上不规则地出现。但很快，一个形状开始浮现出来，那是一个像香蕉那样弯曲的轮廓。随着程序不断运行，更多的细节开始浮现。部分地方原本看上去是密密麻麻的一团，但放大来看，原来的一团消减成两条单独的线；再放大来看，两条线变四条线，一对紧靠在一起，而另一对分得很开。在更大的放大倍数下，四条线中的每一条又被证明由两条单独的线构成，如此等等，直至无穷。跟洛伦茨的吸引子一样，埃农的吸引子也展现出无穷倒退的特征，就像一套没有止境的俄罗斯套娃。
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这种线中有线的、层层嵌套的细节，我们可以通过并置放大倍数越来越大的一系列图案而看得一清二楚。但奇怪吸引子的诡异特性也可以在另一个时刻感受到。当随着点越来越多，形状开始浮现时，我们感到它就仿佛是一个从迷雾中现身的魅影，不知从何而来。新的点在屏幕各处出现得如此随机，看上去简直难以想象那里面会存在任何结构，更别说一种如此精致且精细的结构。相继出现的两点可以相隔任意远，就像在湍流中，一开始相邻的两点后来会演变成的那样。给定已经出现任意数量的点，我们仍然不可能猜到下一个点会出现在哪里——当然，除了它必定出现在吸引子上的某处。
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这些点出现得如此随机，整个模式又出现得如此缥缈，我们有时很难记起这个形状其实是一个吸引子。它不只是一个动力系统的随便什么轨道，它还是所有其他轨道收敛趋向的那些轨道。这也是为什么初始条件的选取并不重要。只要起始点位于吸引子附近某处，接下来的几个点就会快速收敛到吸引子。
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几年前，当达维德·吕埃勒来到斯温尼和戈勒布在纽约市立学院的实验室时，三位物理学家感到在他们各自的理论与实验之间可能存在一个关联。一边是一个数学构造，在思想上很大胆却在技术上不确定；另一边是一个装着湍流流体的圆筒，没有什么好看的，却明显与旧的理论不相符。三人在午后花了很多时间讨论，此后斯温尼和戈勒布暂时离开学院，与他们的妻子一起前往戈勒布在阿第伦达克山脉的度假小屋休假。他们没有见到过一个奇怪吸引子，也没有测量过在湍流发生时所实际发生的。但他们知道朗道是错误的，而他们也猜测吕埃勒是正确的。
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© James P. Crutchfield
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埃农的吸引子
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一个折叠和压缩的简单组合生成了一个容易计算却仍然不大为数学家所理解的吸引子。随着数万，乃至数百万的点相继出现，越来越多的细节会浮现出来。原本看上去只是一条线，在放大之下，它被证明其实是两条线，进而是四条线，如此等等。但任意相继出现的两点是靠得很近，还是离得很远，这则不可预测。
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作为一个通过计算机发现的自然要素，奇怪吸引子一开始只是作为一种数学可能性，揭示出一个许多 20 世纪最伟大的心智也未曾涉足的地方。但很快，当科学家看到计算机所展示的形状时，它看上去像一副他们一直都在遇到的面孔，不论是在变幻的湍流中，还是满天的云彩中。大自然隐约在受到某种约束。无序似乎被纳入有着某种共同主题的模式当中。
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再后来，奇怪吸引子的概念进一步为混沌革命加油助力，因为它为那些专注于数值探索的研究者提供了一个清晰的执行方案。他们到处找寻奇怪吸引子，不放过任何大自然看上去表现出随机性的地方。许多人主张，地球的天气系统可能基于一个奇怪吸引子。还有些人则搜集了数以百万计的股票市场数据，并开始搜寻其中的奇怪吸引子，试图透过计算机的变焦透镜一窥随机性的奥秘。38
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38拉姆齐。
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但在 20 世纪 70 年代中期，这些发现还是未来之事。当时还没有人在实验中实际见到过一个奇怪吸引子，人们也根本不清楚如何能够找到一个奇怪吸引子。在理论上，奇怪吸引子可以为混沌的那些新特性提供数学解释。对初始条件的敏感依赖就是其中之一。另一个特性是湍流的“混合”功用，因为它将对一位关心如何高效混合燃料和空气的飞机发动机设计师来说是有意义的。但没有人知道该如何测量这些特性，如何给它们赋予数值。同时，奇怪吸引子看上去是分形的，这意味着它们的真实维数是分数维，但也没有人知道该如何测量这样的维数，或者如何将这样一个测量应用到解决工程问题上。
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更重要的是，没有人知道奇怪吸引子是否会对理解非线性系统的最深层次问题有所帮助。不像线性系统容易计算和归类，非线性系统依旧看上去在本质上是无法归类的——它们每每各不相同。科学家可能已经开始猜想它们具有某些共同特性，但轮到进行测量和计算的时候，每个非线性系统都是各有一个天地。理解这一个系统看上去对理解下一个没有什么帮助。一个像洛伦茨吸引子这样的吸引子揭示了一个原本看上去行为杂乱无章的系统的稳定性和隐藏结构，但这个独特的双螺旋如何能够帮助研究者理解其他不相关的系统呢？当时没有人知道答案。
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但在当时，兴奋之情不只源自它们的科学意涵。看到这些形状的科学家有时也不禁暂时抛下科学写作的规范。比如，吕埃勒就写道：“我还没有提到奇怪吸引子的美学吸引力。这些由曲线构成的系统，这些由点构成的一团团有时让人联想到烟花或星系，有时则让人联想到奇异而令人不安的植物增殖。在它们当中存在一个新世界，那里有着各种型相有待探索，有着各种和谐有待发现。”39
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39“Strange Attractors,”p. 137.
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