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©James P. Crutchfield / Adolph E. Brotman
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揭示吸引子的结构
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上图的奇怪吸引子（先是一条轨迹，然后十条，然后一百条）表现了一个转子（摆动幅度为一整圈的一个单摆）在受到一个外力的有规则驱动下的混沌行为。等到画出 1000 条轨迹的时候（下图），整个吸引子已经变成了一团看不明白的乱麻。
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为了揭示其中的结构，我们可以通过计算机对这个吸引子做出一个切片，一个所谓的庞加莱截面。这个技术将一个三维图像变成了二维的。运动轨迹每次穿过这个截面，它就在上面留下一个截点，然后慢慢地，一个拥有细部细节的图案开始浮现出来。右下图的图案由超过 8000 个点构成，而每个点都代表了吸引子中的一条轨迹。实际上，这也相当于以一定时间间隔对系统进行“采样”。在这个过程中，一种信息丢失了，同时另一种得到了突显。
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最给人以启迪的奇怪吸引子（只因为它是其中最简单的），来自一个似乎与湍流和流体动力学领域风马牛不相及的人。29 他是一位天文学家——来自法国南海岸的尼斯天文台的米歇尔·埃农。当然，在某种意义上，当初正是天文学推动了人们对于动力系统的研究——行星的机械运动验证了牛顿的理论，也为拉普拉斯提供了灵感。但天体力学在一个关键层面上不同于大多数地球上的系统。由于摩擦力而损耗能量的系统被称为耗散系统，天体系统则不属于此：它们是保守系统，或者说哈密顿系统。实际上，在一个近乎无穷小的尺度上，哪怕天体系统也受到某种曳力拖曳，包括恒星不断辐射能量，潮汐摩擦使得自转的天体不断损耗某些动能；但就实际应用而言，天文学家的计算可以将这样的耗散忽略不计。而没有了耗散，相空间就不会出现生成无穷的分形结构所需的折叠和体积收缩，奇怪吸引子也就无从出现。那么混沌还有可能出现吗？
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29埃农；他所构造的映射参见：“A Two - Dimensional Mapping with a Strange Attractor,”in Communications in Mathematical Physics 50 (1976), pp. 69–77, and Michel Hénon and Yves Pomeau,“Two Strange Attractors with a Simple Structure,”in Turbulence and the NavierStokes Equations, ed. R. Teman (New York: Springer - Verlag, 1977).
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许多天文学家即使从来没有考虑过动力系统，也能取得卓有成效的成绩，但埃农跟他们不一样。他于 1931 年出生在法国巴黎，比洛伦茨小十多岁，但跟洛伦茨一样，他也对数学始终有着某种未了的情怀。埃农喜欢那些不大但有现实意义的数学问题——“不像人们今天所做的那类数学”，他会这样说。当计算机变得小型化，得以飞入寻常的爱好者家中时，埃农也入手了一台，那是一套由希思公司出品的、需要在家中自己组装的计算机散件。不过，在那之前很久，他就研究过一个尤其令人望而生畏的动力学问题。它涉及球状星团——大量恒星（有时甚至高达一百万颗）聚集在一起，因引力作用而向中心集中，从而形成球状；它们构成了夜空中最古老、也有可能最摄人心魄的景象。球状星团有着惊人之高的恒星密度，因而它们如何维持在一起，以及如何随时间演化的问题长久以来一直困扰着 20 世纪的天文学家。
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从动力学上讲，一个球状星团是一个复杂的多体问题。二体问题很简单，已经被牛顿彻底解决了。每个天体（比如，地球和月亮）环绕系统的质心沿着椭圆形轨道运转。然而，只要再加入一个与其他两个天体都有引力作用的天体，一切就都改变了。三体问题很难，并且不是一般的难。正如庞加莱发现的，它常常是无解的。我们可以通过数值计算算出一小段时间内的轨道，利用强大的计算机还可以算出更长一点儿的轨道，直到不确定性最终开始占据上风。但方程组不存在解析解，这意味着一个三体系统的长期行为是无法求解的。太阳系是稳定的吗？30 它无疑在短期内看上去如此，但即便在今天，也没有人可以言之凿凿，某些行星的轨道不会变得越来越扁，直到有朝一日它们彻底脱离太阳系。
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30威兹德姆。
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一个像球状星团那样的系统更加复杂，我们无法直接将之视为一个多体问题，但其动力学还是可以在做出特定限制的情况下加以研究的。比如，我们就可以合理地假设，个体恒星在一个平均引力场中绕着一个特定引力中心运转。然而，时不时地，两颗恒星会运动到足够接近的距离，使得它们之间的相互作用必须被单独拿出来考虑。天文学家进而意识到，球状星团一般而言必定是不稳定的。它们当中会出现双星系统，也就是两颗恒星绕着它们共同的质心运转，而当第三颗恒星遇上一个双星系统时，三颗恒星中的一颗可能会得到大幅助力。常常是，其中一颗恒星会从三星之间的相互作用中得到足够能量而达到逃逸速度，从而彻底脱离星团。当埃农在 1960 年以这个问题作为自己博士论文的课题时，他做出了一个相当武断的假设：星团在不同尺度上是自相似的。在经过模拟计算之后，他得出了一个惊人的结论：随着一颗恒星摆脱星团核心的引力束缚，脱离星团，并带走一点儿动能，星团的核心必须稍微缩小一点儿，剩下的恒星则必须速度加快一点儿，以抗衡增大的引力；而随着速度增加，更多的恒星可以脱离星团；这样的过程不断重复并加速，最终导致星团的核心快速坍缩，趋向一个密度无穷大的状态。这样的事情既难以想象，也得不到迄至当时的观测证据的支持。但慢慢地，埃农的理论（后来被称为“重热突变”或“重热坍缩”）还是站稳了脚跟。
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埃农深受鼓舞，更勇于在老问题上尝试新数学，也更敢于从它们出人意料的结果中得出看似不可能的结论。他再接再厉，开始研究恒星动力学中一个简单得多的问题。
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这次，他第一次使用了计算机。那是在 1962 年，当时他正在美国普林斯顿大学天文台访学，也正值在 MIT 的洛伦茨开始将计算机运用于气象学。他开始为绕星系中心运转的恒星轨道建模。在一个合理简化的模型中，这样的轨道可被视为类似于绕太阳运转的行星轨道，除了一个不同之处：其引力源不是一个点，而是一个有厚度的三维碟形。
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他针对微分方程组做了一个妥协。“为了获得更多的实验的自由，”他写道，“让我们暂时忘掉这个问题的天文学起源而考虑其一般形式。”31 尽管他当时没有明说，“实验的自由”也部分指在一部原始计算机上处理这个问题的自由。毕竟他的机器的内存不及二十五年后一部个人计算机的一块芯片的千分之一，并且它还运算缓慢。但就像后来许多研究混沌现象的实验科学家，埃农发现这样的过度简单化有其回报。通过将其系统的本质抽象出来，他得出了一些也适用于其他系统（包括一些更重要的系统）的发现。多年以后，恒星轨道依然是一个理论难题，但这些系统的动力学现在也为那些对高能粒子加速器里的粒子运动感兴趣，以及那些对用磁场约束等离子体以实现可控核聚变感兴趣的人所深入研究。
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31Michel Hénon and Carl Heiles,“The Applicability of the Third Integral of Motion: Some Numerical Experiments,”Astronomical Journal 69 (1964), p. 73.
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在一个将近两亿年的时间尺度上，星系中的恒星轨道是三维的，而非椭圆形。但三维的轨道，即便当它们是真实的时，也跟当它们是在相空间中的想象的构造时一样，是难以可视化的。所以埃农使用了一种类似于庞加莱截面的技术。他设想在星系的正上方放置一个平面，使得每条轨道都会穿过它，就像赛道上的赛马都会通过终点线。然后他会标出每条轨道穿过这个平面的截点，并观察这些点的分布规律。
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埃农当初需要通过手工将这些点作图，但最终，许多采用这种技术的科学家将可以在计算机屏幕上观察它们，看到它们如同远处的街灯在夜幕降临时一盏盏点亮起来。一条典型的轨道可能一开始是纸面左下角的一个点。然后在下一次环绕后，一个点会出现在往右几厘米处。然后，再下一次，一个点出现在稍微往右和往上的地方，如此等等。一开始，人们看不出什么模式，但在积攒到十个或二十个点后，一条卵形的曲线会大致浮现。这些点实际上绕着这条曲线相继出现，但由于它们不会停留在同一个地方，因此，最终在经过数百个或数千个点后，这条曲线就会变得实实在在。
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这样的轨道并不是完全规则的，因为它们永远不会确切重复自己，但它们无疑是可预测的，也根本谈不上是混沌的。这些截点永远不会跑到这条曲线之内或之外。将其转译回三维图像，这样的轨道勾勒出了一个类似甜甜圈的环面，而庞加莱映射正是这个环面的一个横截面。到这一步，他不过是在验证他的所有前辈长久以来视为理所当然的：轨道是周期性的。20 世纪 10 年代到 30 年代，在丹麦哥本哈根大学天文台，整整一代天文学家呕心沥血地观测和计算出了数百条这样的轨道——但他们只对那些被证明是周期性的轨道感兴趣。32“就像那个时代的所有人，我也原本深信所有轨道都应该如此这般规则。”埃农这样说道。33 但他和他在普林斯顿的研究生卡尔·海尔斯继续计算不同的轨道，逐步提高其抽象系统中能量的水平。很快，他们就见到了某种全新的东西。
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32埃农。
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33埃农。
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首先，卵形曲线扭曲形成某种更加复杂的东西，它自相交叉，形成一个个“8”字，并分裂形成几个小的闭曲线。尽管如此，这些轨道仍然落在这条曲线上。然后，在更高的能量水平上，另一个改变相当突兀地发生了。“惊喜出现了。”埃农和海尔斯这样写道。34 有些轨道变得如此不稳定，以至于截点会随机散落在纸面上。在有些地方，仍旧可以画出曲线；在其他地方，则没有曲线可以拟合那些点。整个图案变得相当具有戏剧性：表明完全无序的证据与有序的残存痕迹混合在一起，形成了在这两位天文学家看来好像大海中的“岛屿”和“岛链”的形状。他们分别尝试了两部不同的计算机和两种不同的数值解法，但结果都是一样的。他们不明白这是怎么回事，只能进行猜测。完全基于自己的数值实验，他们对这样的图案的深层结构做出了一个猜测。他们提出，在更大的放大倍数下，更多的岛屿会出现在越来越小的尺度上，或许直到无穷。对此需要严格的数学证明，而不是数值实验——“但对于这个问题的数学解答看上去并不很容易”。35
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34“The Applicability,”p. 76.
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35Ibid., p. 79.
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埃农后来转向了其他问题，但在十四年后，当他最终听说达维德·吕埃勒和爱德华·洛伦茨的奇怪吸引子时，他已经准备好认真聆听。那是在 1976 年，他已经来到可以俯瞰地中海美景的法国尼斯天文台，当时他听到的是一位访问物理学家 36 所做的关于洛伦茨吸引子的讲座。这位物理学家尝试过不同技术，试图展现吸引子的精细“微观结构”，但一直无功而返。尽管耗散系统不是他的研究领域（“天文学家有时畏惧耗散系统——毕竟它们是乱糟糟的”37），但埃农意识到自己对此有个想法。
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36伊夫·波莫。