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只是到了很久之后，在 20 世纪 60 年代，威尔逊才深入检视了重整化取得成功的基础。像卡达诺夫一样，威尔逊想到了标度原理。某些量，比如一个亚原子粒子的质量，一直以来被视为固定的——就像任何日常经验中的物体的质量是固定的。但重整化之所以取得成功，正是因为它将像质量这样的量视为仿佛根本不是固定的。这些量似乎随着它们被观察的尺度不同而上下浮动。这听上去很荒唐，但它其实正好与贝努瓦·曼德尔布罗特对于几何形状和英国海岸线的洞见相契合。它们的长度无法独立于观察尺度而得到测量。其中存在一种相对性，即观察者的位置（是远还是近，是在地面上还是在卫星上）会影响到测量结果。也正如曼德尔布罗特已经发现的，测量结果在不同尺度上的变化不是随意的，它遵循一定之规。像质量或长度这样的标准测度会发生改变，这意味着其他某种量会保持不变。在分形中，这个量是分数维数——这个常量可计算得到，并可被用于进一步的计算。允许质量因尺度不同而不同，这意味着数学家可以在不同尺度之间找到一种相似性。
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至于困难的计算工作，威尔逊的重整化群理论提供了一种处理无穷大问题的不同方法。在此之前，处理高度非线性问题的唯一办法是一种称为微扰理论的技术。为了方便计算，你假设非线性问题相当接近某个可解的线性问题——它们之间只差一个微小的扰动。你求解那个线性问题，然后对剩下的部分进行一种复杂的技术处理，将之展开，做出我们今天所谓的费曼图。你想要的精度越高，你需要做出的这些烦人的费曼图的数量就越多。如果运气好，你的计算会收敛到一个解。然而，每当你遇到一个尤其有趣的问题，最需要好运气的时候，它似乎总是不在你身边。像 20 世纪 60 年代其他所有年轻的粒子物理学家一样，费根鲍姆也曾经陷入无穷无尽的费曼图当中。他于是生成了这样一个信念，即微扰理论是令人生厌、缺乏启迪和愚不可及的。所以他也一眼就爱上了威尔逊新的重整化群理论。借助自相似性，这一理论提供了一种方式将复杂性降低，一次降低一层。
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在实践中，并不是重整化群一出马，一切就手到擒来。它需要大量天才巧思才能找到正确的计算方式来把握到自相似性。不过，它足够好用，足够稳定，从而促使一些物理学家（包括费根鲍姆在内）尝试将它应用到湍流问题上。毕竟，自相似性看上去是湍流的一个标志性特征——大涡破碎成小涡，小涡破碎形成更小涡旋。但湍流的发生呢？对于那个系统从有序状态转变成混沌状态的神秘瞬间，没有证据表明重整化群可以在其中发挥什么作用。比如，就没有证据表明这样的转捩遵循标度律。
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还是在 MIT 攻读研究生时，费根鲍姆遇到过一件事，让他在许多年里都久久难忘。当时他正与朋友们沿着波士顿的林肯水库散步。一边散步四五个小时，一边梳理脑海里漂过的种种印象和想法的习惯正是从这个时期开始养成的。那一天，他落在大队后面，一个人走着。他路过了一些野餐者，而随着他走远，他还不时回望他们，试图听清他们说话的声音，看清他们用手比画或拿取食物的动作。然后突然之间，他感到整个场景越过了某个界线而变得完全不可理解。身形变得太小而区分不出。动作看上去是不连贯的、任意的、随机的。传来的微弱声音也已经丧失了意义。
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“生活中永不停歇的躁动以及不可理解的喧嚣，”费根鲍姆想到了古斯塔夫·马勒在描述他在《第二交响曲》第三乐章中所试图把握的感觉时所说的，“就像有人在一个明亮的舞厅里跳舞，而你从外面的黑夜里望向他们时所看到的身影，以及在这样远处已经听不清楚的音乐……”7 生活可能在你看来一片混乱。费根鲍姆当时正在听马勒，读歌德，沉浸在他们的浪漫主义氛围中。可以预见，歌德的《浮士德》成了他的最爱，他体味着书中所交织的关于世界的最感性思想与最知性思想。要是没有某种浪漫主义倾向作祟，他无疑原本会对诸如水库边的这种混乱感受不以为意。毕竟，某个现象在被从很远处观察时将丧失意义，这难道不是理所当然的吗？物理定律可以轻松解释事物的近大远小。但转念再想，变小与丧失意义之间的关系并非那么显而易见。为什么事物变小时，它也就应该变得不可理解？
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7Gustav Mahler, letter to Max Marschalk.
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他相当严肃地试过利用理论物理学的工具来分析这种经验，希望深入理解人脑的感知机制。你看到某些人类行为，然后对它们做出分析判断。对于你的感觉器官获得的大量信息，你的解码器官将如何梳理它们？显然（或者说，几乎显然），人脑内并没有世界上万事万物的任何副本。其中并没有一个理念和型相的图书馆，可以拿来与感官感知到的印象两相比较8 相反，信息是以一种可塑的方式存储的，允许天马行空的拼接和出人意料的跳跃。那里存在着某种混乱，人脑似乎要比经典物理学家在其中所找到的秩序更具有可变性。
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8歌德的《颜色论》现在有多个英译本。我这里所参考的是一个插图精美的版本：Goethe’s Color Theory, ed. Rupprecht Matthaei, trans. Herb Aach (New York: Van Nostrand Reinhold, 1970); 另一个更容易找到的版本是由迪恩·B. 贾德导读的：Theory of Colors, trans. Charles Lock Eastlake (Cambridge, Mass.: The M.I.T. Press, 1970).
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与此同时，费根鲍姆也在思考色彩。19 世纪初的一场科学论战就出现在牛顿在英国的追随者与歌德在德国的追随者之间，争论焦点则是色彩的本质。在牛顿物理学看来，歌德的思想完全是伪科学的胡说八道。歌德拒绝将色彩视为一个静态的物理量，可通过分光仪加以测量，并可像蝴蝶标本固定在纸板上那样加以固定。他主张，色彩是一种感知。“随着光的消长，大自然在它规定的限度内来回振荡，”他写道，“但由此也生成了我们在时间和空间中所看到的各式各样的现象。”9
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9尽管可能显得生硬，在此使用“理念”和“型相”来对译柏拉图理念论中的“idea”和“form”。“型相”也见于后面的第七章，强调“从具体事物、从众多的个别事物中寻求一般性和共性”，以便与日常意义上的“形式”相区分。对于柏拉图的理念（或理式、理型）论，可参见凌继尧的《柏拉图的理式论》一文。——译者注
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牛顿色彩理论的试金石是他著名的三棱镜实验。三棱镜将一道白光分解为七彩色带，遍及整个可见光谱。牛顿意识到，这些纯色必定是构成元素，它们混合后就生成白色。更进一步地，他凭借其卓越的洞见提出，不同的色彩对应于不同的频率。他设想，光由微粒（corpuscles）构成，而随着微粒振动速率的不同，光就呈现出不同的颜色。鉴于当时几乎没有什么证据支持光的微粒说，牛顿的理论在当时既是天才的，也是不可验证的。什么是红色？对于物理学家来说，它是波长在 620 纳米（1 纳米等于十亿分之一米）至 800 纳米的光。牛顿光学后来一再得到证明，而歌德的《颜色论》则逐渐湮没无闻。当费根鲍姆后来试图寻觅一本来看时，他发现哈佛大学图书馆里仅存的一册副本还被注销了。
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费根鲍姆最终还是找到了一本，然后他发现，歌德实际上在他的色彩研究中进行了一系列非同寻常的实验。歌德一开始像牛顿一样，使用了三棱镜。牛顿当初是将三棱镜放在一道白光之前，让散开的色带投射到一块白色表面上。歌德则是将三棱镜举到自己眼前，透过它向外观看。他没有看到任何色彩，既没有彩虹，也没有各种纯色。透过三棱镜观察白色表面或蔚蓝天空，效果都是一样的：全然一致而没有变化。
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但如果一个斑点出现在白色表面上，或者一块白云出现在蓝天上，他就会看到某种色彩。歌德于是得出结论，是“光和影的交织”才生成了色彩。他进而探索了人们对于不同色彩的光源所投下的影子的感知。他在一系列实验中使用了蜡烛和铅笔、镜子和彩色玻璃、月光和阳光、水晶、液体、色轮等。比如，他在傍晚时点亮一张白纸上的一支蜡烛，然后将一支铅笔放在窗户和蜡烛之间。铅笔在蜡烛光下的影子又被薄暮的阳光稍微照亮，结果影子在白纸上显示为明亮的蓝色。这是为什么？毕竟不论是在薄暮的阳光下，还是在更暖的蜡烛光下，白纸本身看上去都是白色的。一个影子如何就能将一片白色分成一个蓝色区域和一个橙黄色背景？“色彩本身是不同程度的暗，”歌德认为，“因为它与影子密切相关，所以它很容易就跟它相结合。”用一种更现代的语言来说，色彩出自边界条件和奇点。
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牛顿是一位还原论者，歌德则是一位整体论者。牛顿将光拆开、打碎，并找到了对于色彩的非常基础的物理解释。歌德则穿行花间，研究绘画，以期找到一个无所不包的宏大解释。牛顿让自己的理论契合一个涵盖所有物理学的数学框架。歌德则幸运地（或者说，不幸地）厌恶数学。
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费根鲍姆说服了自己，相信歌德的色彩理论是正确的。歌德的思想与心理学家的一个常见做法有点儿相像，后者常常将坚实的物理现实与可变的、对于现实的主观感知区分开来。我们感知到的色彩因时而异，因人而异——这样的话，谁都会说。但按照费根鲍姆的理解，歌德的思想其实有着更多的科学性。它们是坚实的，是有经验支持的。歌德便再三强调了自己实验的可重复性。在歌德看来，对于色彩的感知是普适的、客观的。那么有什么科学证据可以证明，一个像红色这样的现实世界性质是独立于我们的感知而存在的呢？
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费根鲍姆发现自己开始好奇于什么样的数学形式可能对应于人类的感知，尤其是那种梳理日常经验的纷繁复杂而找到其中隐藏的普适性质的感知。红色不一定如牛顿物理学所说的，是一种特定波长的光。它是一个混乱宇宙中的一块领地，而这块领地的边界并不容易描述——但我们的心智仍然能够稳定而可靠地找到红色。这些是一位年轻物理学家的所思所想，而它们看上去与湍流问题根本风马牛不相及。尽管如此，为了理解人类心智如何梳理纷繁复杂的感知，显然我们需要理解无序如何能够生成普适性。
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当费根鲍姆在洛斯阿拉莫斯开始思考非线性时，他意识到自己的教育背景原来没有教给他什么对此有用的东西。除了教科书上那些专门构造的特殊例子，求解一个非线性系统的微分方程组是不可能的。微扰理论（逐级修正一个可求解的问题，从而不断逼近希望是处在它附近某处的实际想求解的问题）看上去是愚蠢的。他通读了各种有关非线性流和振荡的教科书，并发现它们没有提供什么帮助，哪怕对一位要求不高的物理学家来说。费根鲍姆决定利用手头仅有的计算设备——笔和纸，来深入探索罗伯特·梅曾经在种群生物学语境中研究过的那个简单方程。
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那个方程恰巧也是高中生在进行抛物线作图时会遇到的二次函数。它可以被写成 。x 的每个取值会生成一个 y 的值，而由此得到的曲线表达了两个变量在取值范围内的关系。当 x（今年的种群数量）很小时，y（次年的种群数量）也很小，但终究比 x 大；此时曲线在迅猛上升。当 x 来到取值范围的中部时，y 变得很大。然后曲线开始变缓和并下降，使得当 x 很大时，y 会再次变得很小。这相当于在生态建模中的种群崩溃效应，它避免了不符合现实的种群数量无限制增长。
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对于当初的梅以及后来的费根鲍姆来说，这里的要点是进行这个简单计算，但不是一次性的，而是不断重复这个过程，将上一次计算的输出作为下一次计算的输入，从而形成一个反馈环。为了直观地看到这样的迭代过程，这时抛物线就可以发挥巨大功用。在 x 轴上选取一个初值，并通过该点作出一条垂线，与抛物线相交。读取这个交点在 y 轴上相应的取值，并将这个值作为下一次迭代的初值，接下去不断重复这个过程。这样的序列一开始在抛物线上跳来跳去，然后它或许会达到一个定点，届时 x 值与 y 值相等，从而种群数量稳定不变。
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在形式上，没有什么比这与标准物理学的复杂计算更大相径庭的。它不是一个需要一次解决的难题，而是一个需要反复进行的简单计算。数值实验科学家可以观察它的演化历程，就像一位化学家可以盯着烧杯里逐渐停缓下来的化学反应。它的输出只是一连串数，并且它并不总是收敛到一个定点。它也可以最终在两个值之间来回振荡。又或者正如梅已经向种群生物学家解释过的，它还可以进入混沌状态，遍历所有可能取值。它会选择何种可能的行为模式，完全取决于常数参数 r 的取值。
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费根鲍姆一边在进行这种有点儿实验性质的数值计算，一边也在尝试使用更传统的分析非线性方程的理论手段。尽管如此，他仍然无法看出这个方程的行为的整个图景。但他可以看出，已知的可能性已然如此复杂，它们必定难以分析至极。他也了解到，洛斯阿拉莫斯的三位数学家（尼古拉斯·梅特罗波利斯、保罗·斯坦、迈伦·斯坦）已经在 1971 年研究过这个“映射”，其中的保罗·斯坦现在更是现身说教，告诫他那里面的复杂性确实骇人。如果像这样最简单的方程已经被证明难以处理，那么科学家为现实世界中的系统所写出的更为复杂的方程组难道不是更没有希望了吗？费根鲍姆于是把这个问题搁置了起来。
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在混沌的短暂历史中，这个看上去“人畜无害”的方程是最好的例子，展示了来自不同领域的科学家如何可以从许多不同角度看待同一个问题。10 对于生物学家来说，这个方程给人以这样一个启示：简单系统可以表现出复杂行为。而对于梅特罗波利斯和斯坦兄弟来说，他们当时要研究的问题是，如何不考虑每一个点的具体数值，而将逻辑斯谛映射的不同行为模式分门别类。11 他们从一个所谓“超稳定点”开始迭代过程，然后观察后续的一连串数值在抛物线上跳来跳去。根据这些点是在初始点的左侧（L）还是右侧（R），他们写下一个符号序列。模式 1：R（除了超稳定点，另一个定点在其右侧）。模式 2：RLR（周期 4 时的情况）。模式 193：RLLLLLRRLL。这些序列在数学家看来具有一些有趣的特征——它们看上去总是重复同样的特定次序。但在物理学家看来，它们显得晦涩、乏味。
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10早在 20 世纪 40 年代晚期，乌拉姆和冯·诺伊曼就曾经提出，可以借助其混沌性质，从而在有限精度的计算机上生成随机数。
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11他们的论文（可谓上接斯坦尼斯瓦夫· 乌拉姆和约翰· 冯· 诺伊曼，下启詹姆斯· 约克和米切尔· 费根鲍姆）是：“On Finite Limit Sets for Transformations on the Unit Interval,” Journal of Combinatorial Theory 15 (1973), pp. 25–44.
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