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尽管当时没有人意识到，但其实洛伦茨早在 1964 年就考察过这个方程，并将之类比于一个关于气候的深刻问题。这个问题是如此深刻，以至于以前几乎没有人想到过要发问：所谓的气候存在吗？12 也就是说，地球上的天气是否存在一个长期平均值？大多数气象学家，不论是过去的，还是现在的，都将之视为理所当然。任何可测量的行为，不论其如何波动，显然必定存在一个平均值。但细想之下，这其实并没有那么显而易见。正如洛伦茨所指出的，过去 12 000 年天气的平均值必定显著不同于再之前 12 000 年（当时北美大陆大部分为冰雪所覆盖）的平均值。那么上一个气候是因为某种物理原因而转变成下一个气候吗？或者，是否存在一个更长期的气候，而这两个时期不过是其中的波动而已？又或者，是否有可能一个像天气这样的系统永远不会收敛到一个平均值？
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12Edward N. Lorenz,“The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations,”Tellus 16 (1964), pp. 1–11.
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洛伦茨接着问了第二个问题。设想你可以实际上写出控制天气的整套方程组。换言之，设想你拥有了上帝的代码。那么你能够利用这些方程计算出温度或降雨量的统计平均值吗？要是这些方程是线性的，答案会是简单的“能”。然而，它们其实是非线性的。由于上帝没有透露他的天机，因此洛伦茨只好以这样的二次差分方程为例。
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像梅一样，洛伦茨首先考察了在给定某个参数值的情况下，随着方程迭代，它将如何演化。在参数值较小的时候，他看到方程最终将达到一个稳定的定点。在那里，这个系统无疑将生成一个最平凡无奇的“气候”——其中的“天气”将永远不会改变。在参数值更大的情况下，他看到系统在两个点之间来回振荡，而在那里，系统也将收敛到一个简单的平均值。但在参数值超过一个特定点后，洛伦茨看到混沌出现了。由于他当时考虑的是气候，因此他不仅关注连续的迭代是否会生成不同的周期性行为，也好奇这时的平均输出是多少。他于是注意到，平均值也在不稳定地发生波动。参数值的改变始终如此微小，但平均值的变化却可能相当剧烈。因此，我们通过类比可知，地球上的气候可能永远不会可靠地落入一个具有长期平均值的均衡。
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作为一篇数学论文，洛伦茨的这项气候研究可算是一个失败之作——在公理体系的意义上，他没有证明任何东西。作为一篇物理学论文，它也是具有严重缺陷的，因为他无法论证自己利用这样一个简单方程来类比地球上的气候的合理性。不过，洛伦茨知道自己在说什么。“笔者感到，这样的相似之处不是因为单纯的巧合，而是因为这个差分方程把握到了一种流态到另一种的转捩，以及事实上，整个不稳定现象的大部分数学实质，即便不是其物理学的话。”即便在此二十年后，也没有人能够理解当初是怎样一种直觉让他敢于说出这样一个大胆论断，更别说它最初发表在一份瑞典的气象学期刊《地球》上。（“《地球》！没有人会读《地球》。”一位物理学家不无愤恨地说道。）洛伦茨当时正在慢慢开始更深入地理解到混沌系统的种种怪异可能性——比他利用气象学语言所能表达的更深刻。
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随着他继续探索各式各样的动力系统，洛伦茨意识到那些比逻辑斯谛映射稍微复杂一些的系统还可以生成其他类型的、出人意料的行为模式。一个系统中可以隐藏着超过一个稳定解。一个观察者可能在很长一段时间里只看到一种类型的行为，但这个系统其实还具有一种完全不同类型的行为。这样一个系统被称为非可递的（intransitive）。它可以停留在一个或另一个均衡状态，但不可能同时处于这两个状态。只有在受到一个外部推动的情况下，它才会被迫改变状态。一座标准的摆钟是一个平凡的非可递系统。一股能量源自弹簧或电池，并经由擒纵机构而稳定地流入系统。另一股能量由于摩擦力的耗散而稳定地流出系统。这时一个显而易见的均衡状态是一种规则的左右摆动。如果有人撞上了摆钟，钟摆可能会出现暂时性的加速或减速，但它还是会很快回复到这个均衡状态。然而，摆钟还具有第二个均衡状态（其运动方程组的第二个有效解），那就是钟摆直挺挺地一动不动。一个不那么平凡的非可递系统（在其中，或许不同的区域有着完全不同的行为）则有可能是气候本身。
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那些利用全球天气模型模拟地球上大气和海洋的长期行为的气象学家在多年前就已经知道，他们的模型存在至少另一个非常不一样的均衡。在地球过去的整个历史中，这个可供选择的气候从来没有出现过，但它终究是这些方程的一个非零可能性的有效解。它被有些气象学家称为“白色地球气候”：地球上的大陆全部为冰雪所覆盖，海洋全部冻结成冰。13 这个陷入冰冻的地球会反射七成的太阳光，所以会一直持续极寒气候。大气层最靠近地面的对流层的厚度会变得非常薄，因而在冰面上卷过的风暴也会比我们现在所知的规模小很多。总的来说，这样的气候将不适宜我们所知道的生命生存。计算机模型的模拟结果有着如此强烈的一种倾向——倾向于落入白色地球均衡，这让气象学家不免好奇为什么它始终没有发生。
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13真锅淑郎。
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这可能单纯是因为机缘巧合。毕竟将地球气候推向冰冻状态将需要借助一股巨大的外力。但洛伦茨又描述了另外一种可能的系统，称为“准非可递系统”（almost intransitive）。一个准非可递系统在无限长的时间间隔里是“可递的”，也就是说，尽管它始终起伏不定，但它其实具有一个唯一的长期平均值，而不论其初始条件如何；但在有限长的时间间隔里，它是“非可递的”，也就是说，其长期行为非常仰赖于初始条件。因此，由于初始条件的微小变化，它会看上去没有任何理由地从一种类型的行为转变为另一种，仍然起伏不定但其长期平均值已经不同。那些设计计算机模型的人知道洛伦茨的发现，但他们还是选择极力避免准非可递性。它太过不可预测。他们的天然倾向是，将模型做成具有一种强烈倾向，倾向于回复到我们每天实际上测量到的均衡。然后，为了解释大的气候变化，他们转而从外部环境寻找原因——比如，地球绕日公转轨道上的变化。然而，一位气象学家并不需要多少想象力就能看出来，准非可递性可以很好地解释为什么地球气候以神秘而不规则的间隔进入和退出多次冰河期。如果地球气候确实是准非可递的，那么冰河期的出现时机就不需要寻求外部解释。它们可能单纯是混沌的一个副产品。
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就像一位在自动武器时代深情追忆柯尔特点 45 口径转轮手枪的枪支收藏者，许多现代科学家也对 HP - 65 手持式可编程计算器始终心存一种怀恋之情。在它鼎盛的几年时间里，这部小小的机器彻底改变了许多科学家的工作习惯。对于费根鲍姆来说，它成了过往繁重的纸笔计算与一种当时人们还料想不到的计算机辅助工作方式之间的桥梁。
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当时他还完全没有听说洛伦茨，但在 1975 年夏，在美国科罗拉多州阿斯彭的一次研讨会上，他听到斯蒂芬·斯梅尔讨论这样的二次差分方程的一些数学性质。14 斯梅尔似乎认为，在这个映射从周期性变成混沌的那些具体点中，应当存在一些有趣之处。一如既往地，斯梅尔对于值得探索的问题具有一种敏锐的直觉。费根鲍姆于是决定再试一下。借助计算器，他开始利用解析代数和数值探索来试图拼凑出一种对于逻辑斯谛映射的新理解，这次聚焦在有序与混沌的边界区域上。
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14费根鲍姆。
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在隐喻上（但也只是在隐喻上），他“知道”这个区域有点儿像从平流到湍流的神秘过渡区域。当初罗伯特·梅提醒其他种群生物学家注意的也正是这个区域，这些人之前一直没有意识到，不断变化的种群数量在规则的周期性之外还存在其他可能性。在这个区域里，通向混沌的道路表现为一个倍周期分岔的级联过程：从周期 2 变成周期 4，从周期 4 变成周期 8，如此等等。这些分岔构成了一个迷人的模式。在这些分岔点上，诸如繁殖潜力的一个微小变化就可能导致舞毒蛾种群从一个四年周期改变为一个八年周期。费根鲍姆决定从计算在分岔发生时常数参数的具体值着手。
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最终，是计算器的运算缓慢让他在那年八月得出了一个发现。他需要花费漫长时间（事实上，是几分钟）才能计算出每个分岔点的具体参数值。他在级联过程中的位置越往后，所需的时间也就越漫长。要是他当初使用的是一部快速的计算机和一台打印机，费根鲍姆可能就不会注意到其中的模式。但他当时不得不手工记录下数值，然后在等待下一个计算结果的时候，他不得不盯着它们思考，因为为了节省时间，他不得不猜测下一个分岔点可能会在哪里。
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但他很快就看出来自己其实不用猜测。在这个系统中隐藏着一个出人意料的规则性：这些参数值是几何级数收敛的，跟在一幅透视素描中，一排笔直排列、相同规格的电话线柱收敛到地平线上的方式一样。如果你知道前两根电话线柱要画多高，你也就知道剩下的该如何画了；第二根与第一根的高度之比也将是第三根与第二根的高度之比，如此等等。倍周期分岔不仅发生得越来越快，而且还以一个恒定的速率发生得越来越快。
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为什么会这样？通常而言，几何级数收敛的存在表明，某个地方的某样东西在不同尺度上不断重复自己。但即便在这个方程中确实存在一个标度模式，那么也从来没有人见过它。费根鲍姆在他的机器上以可能的最高精度（三位小数）计算出收敛速率，并得到了一个数：4.669。这个比率有什么特殊意义吗？费根鲍姆接下去做了任何对数感兴趣的人都会做的事情。他在当天剩下的时间里试着将这个数与所有标准常数（π、e 等）联系起来。但它不是任何已知常数的变体。
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不无奇怪的是，罗伯特·梅后来意识到，他当初也见到过这个几何级数收敛。15 但他转眼就忘了。从梅的生态学视角看来，它是一个数值上的奇怪之处，但也仅此而已。在他所考虑的现实世界系统中——不论是动物种群的系统，或甚至是经济模型中，不可避免的噪声将淹没任何精确至此的细节。那种表面上的无序之前引领他走过那么远，却在这个关键时刻阻止他进一步升堂入室。梅激动于这个简单方程生成了如此复杂的行为，但他怎么也料想不到，这些数值细节将被证明是至关重要的。
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15梅。
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费根鲍姆知道自己发现了什么，因为几何级数收敛意味着这个方程里的某样东西具有标度性质，并且他也知道标度很重要。整个重整化理论都仰赖于此。在一个看上去变化莫测的系统中，标度性质意味着在其他量都发生改变的情况下，某个量始终保持不变。在这个方程的紊乱表面之下意外隐藏着某种规则性。但它藏身何处？费根鲍姆想不出接下来要怎么办才好。
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夏去秋来，在那年十月临近结束的时候，费根鲍姆突然灵机一动。他知道梅特罗波利斯和斯坦兄弟之前考察过其他方程，并发现一些特定模式在不同类型的函数中都可以看到。相同的 R 和 L 组合在不同类型的函数中出现，并且它们出现的次序也相同。16其中一个函数涉及求解一个数的正弦值，这一变化使得费根鲍姆之前费劲做出来的抛物线方程计算方法变得没有用了。他将不得不重新再来。所以他再次取出他的 HP - 65 计算器，并开始计算 的倍周期分岔点。这里需要计算一个三角函数，这让整个计算过程变得缓慢许多，而费根鲍姆也好奇自己能否像在之前更简单的方程中那样找到一条捷径。果不其然，通过检视这些参数值，他意识到它们也是几何级数收敛的。接下去就是计算这个新方程的收敛速率的问题了。再一次地，尽管精度有限，但他算得了一个有着三位小数的结果：4.669。
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16“On Finite Limit Sets,”pp. 30–31. 关键提示：“这些模式是四个看上去不相关的变换的一个共同属性，这一事实表明，这样的模式序列是一大类映射的一个一般属性。因此，我们将这个模式序列称为 U 序列，其中的‘U’代表（有点儿夸大的）‘universal’——‘普适的’。”但这些数学家当时从未设想过，这种普适性会具体到某个实际的数值。他们制作了一张包含 84 个不同参数值的表格，每个精确到小数点后七位，但他们没有想过要去寻找隐藏其中的几何关系。
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得到的数是一样的。简直不可思议，这个三角函数不只是表现出一种一致的几何规则性。它表现出的是一种与另一个更简单得多的函数在数值上都相同的规则性。没有任何数学或物理学理论可以解释，为什么在形式和含义上如此不同的两个方程应该得出相同的结果。
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费根鲍姆打电话给保罗·斯坦告知此事。但斯坦没有立即相信这样基于如此不充分证据的巧合。毕竟，精度太低了。尽管如此，费根鲍姆还是打电话给在新泽西州的父母，告诉他们自己偶然发现了某种非常深刻的东西。他告诉母亲自己会因此一举成名。接下来他开始尝试其他函数，任何他能够想到的、会经由倍周期分岔通向混沌的函数。而每一个函数都给出了同一个数。
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费根鲍姆跟数字打交道由来已久。在他还是十多岁的时候，他就知道如何计算对数和正弦值，对此大多数人大概会直接查数表。但他之前从未学过使用比他的手持式计算器更大的计算机——在这一点上，他有着典型的物理学家和数学家心态，即倾向于鄙弃计算机所代表的那种机械式思维。不过，现在是时候了。他请了一位同事教授自己 Fortran 语言，然后经过一天努力，对于一众函数，他将他的常数算到了小数点后五位——4.669 20。当天晚上，他在操作手册上读到了双精度浮点数，于是第二天，他进一步将它精确到了 4.669 201 609 0——这个精度足以说服斯坦。但费根鲍姆还不是很确定是否已经说服了自己。他试图寻找其规则性（这是所谓理解其数学的题中之义），并且当他这样做时，他知道这些特定类型的方程，就像一些特定物理系统，会以其特有的方式行事。毕竟，这些方程是简单的。费根鲍姆理解二次函数，他也理解正弦函数——它们的数学是平凡的。然而，隐藏在这些大相径庭的方程中的某样东西，一而再，再而三地生成了同一个数。他偶然发现了某种东西：它或许只是一个数学上的奇怪之处，又或许是一条新的自然定律。
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试想一位史前时代的动物学家认为，一些东西比另一些东西更重（它们都有着某种被他称为“重量”的抽象物理量），并且他想要科学地探究自己的这个概念。他从来没有实际称量过各种东西的重量，但他认为自己对这个概念有所理解。他观察大蛇和小蛇、大熊和小熊，并猜想这些动物的重量可能与它们的大小存在某种关系。他搭起一架天平，并开始称量大小不同的蛇。出乎他的意料，每条蛇都一样重。并且每只熊也一样重。而更让他惊讶的是，蛇和熊也一样重。它们都重 4.669 201 609 0。显然重量并不是他当初设想的那样。整个概念需要加以反思。