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费根鲍姆说服了自己，相信歌德的色彩理论是正确的。歌德的思想与心理学家的一个常见做法有点儿相像，后者常常将坚实的物理现实与可变的、对于现实的主观感知区分开来。我们感知到的色彩因时而异，因人而异——这样的话，谁都会说。但按照费根鲍姆的理解，歌德的思想其实有着更多的科学性。它们是坚实的，是有经验支持的。歌德便再三强调了自己实验的可重复性。在歌德看来，对于色彩的感知是普适的、客观的。那么有什么科学证据可以证明，一个像红色这样的现实世界性质是独立于我们的感知而存在的呢？
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费根鲍姆发现自己开始好奇于什么样的数学形式可能对应于人类的感知，尤其是那种梳理日常经验的纷繁复杂而找到其中隐藏的普适性质的感知。红色不一定如牛顿物理学所说的，是一种特定波长的光。它是一个混乱宇宙中的一块领地，而这块领地的边界并不容易描述——但我们的心智仍然能够稳定而可靠地找到红色。这些是一位年轻物理学家的所思所想，而它们看上去与湍流问题根本风马牛不相及。尽管如此，为了理解人类心智如何梳理纷繁复杂的感知，显然我们需要理解无序如何能够生成普适性。
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当费根鲍姆在洛斯阿拉莫斯开始思考非线性时，他意识到自己的教育背景原来没有教给他什么对此有用的东西。除了教科书上那些专门构造的特殊例子，求解一个非线性系统的微分方程组是不可能的。微扰理论（逐级修正一个可求解的问题，从而不断逼近希望是处在它附近某处的实际想求解的问题）看上去是愚蠢的。他通读了各种有关非线性流和振荡的教科书，并发现它们没有提供什么帮助，哪怕对一位要求不高的物理学家来说。费根鲍姆决定利用手头仅有的计算设备——笔和纸，来深入探索罗伯特·梅曾经在种群生物学语境中研究过的那个简单方程。
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那个方程恰巧也是高中生在进行抛物线作图时会遇到的二次函数。它可以被写成 。x 的每个取值会生成一个 y 的值，而由此得到的曲线表达了两个变量在取值范围内的关系。当 x（今年的种群数量）很小时，y（次年的种群数量）也很小，但终究比 x 大；此时曲线在迅猛上升。当 x 来到取值范围的中部时，y 变得很大。然后曲线开始变缓和并下降，使得当 x 很大时，y 会再次变得很小。这相当于在生态建模中的种群崩溃效应，它避免了不符合现实的种群数量无限制增长。
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对于当初的梅以及后来的费根鲍姆来说，这里的要点是进行这个简单计算，但不是一次性的，而是不断重复这个过程，将上一次计算的输出作为下一次计算的输入，从而形成一个反馈环。为了直观地看到这样的迭代过程，这时抛物线就可以发挥巨大功用。在 x 轴上选取一个初值，并通过该点作出一条垂线，与抛物线相交。读取这个交点在 y 轴上相应的取值，并将这个值作为下一次迭代的初值，接下去不断重复这个过程。这样的序列一开始在抛物线上跳来跳去，然后它或许会达到一个定点，届时 x 值与 y 值相等，从而种群数量稳定不变。
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在形式上，没有什么比这与标准物理学的复杂计算更大相径庭的。它不是一个需要一次解决的难题，而是一个需要反复进行的简单计算。数值实验科学家可以观察它的演化历程，就像一位化学家可以盯着烧杯里逐渐停缓下来的化学反应。它的输出只是一连串数，并且它并不总是收敛到一个定点。它也可以最终在两个值之间来回振荡。又或者正如梅已经向种群生物学家解释过的，它还可以进入混沌状态，遍历所有可能取值。它会选择何种可能的行为模式，完全取决于常数参数 r 的取值。
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费根鲍姆一边在进行这种有点儿实验性质的数值计算，一边也在尝试使用更传统的分析非线性方程的理论手段。尽管如此，他仍然无法看出这个方程的行为的整个图景。但他可以看出，已知的可能性已然如此复杂，它们必定难以分析至极。他也了解到，洛斯阿拉莫斯的三位数学家（尼古拉斯·梅特罗波利斯、保罗·斯坦、迈伦·斯坦）已经在 1971 年研究过这个“映射”，其中的保罗·斯坦现在更是现身说教，告诫他那里面的复杂性确实骇人。如果像这样最简单的方程已经被证明难以处理，那么科学家为现实世界中的系统所写出的更为复杂的方程组难道不是更没有希望了吗？费根鲍姆于是把这个问题搁置了起来。
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在混沌的短暂历史中，这个看上去“人畜无害”的方程是最好的例子，展示了来自不同领域的科学家如何可以从许多不同角度看待同一个问题。10 对于生物学家来说，这个方程给人以这样一个启示：简单系统可以表现出复杂行为。而对于梅特罗波利斯和斯坦兄弟来说，他们当时要研究的问题是，如何不考虑每一个点的具体数值，而将逻辑斯谛映射的不同行为模式分门别类。11 他们从一个所谓“超稳定点”开始迭代过程，然后观察后续的一连串数值在抛物线上跳来跳去。根据这些点是在初始点的左侧（L）还是右侧（R），他们写下一个符号序列。模式 1：R（除了超稳定点，另一个定点在其右侧）。模式 2：RLR（周期 4 时的情况）。模式 193：RLLLLLRRLL。这些序列在数学家看来具有一些有趣的特征——它们看上去总是重复同样的特定次序。但在物理学家看来，它们显得晦涩、乏味。
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10早在 20 世纪 40 年代晚期，乌拉姆和冯·诺伊曼就曾经提出，可以借助其混沌性质，从而在有限精度的计算机上生成随机数。
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11他们的论文（可谓上接斯坦尼斯瓦夫· 乌拉姆和约翰· 冯· 诺伊曼，下启詹姆斯· 约克和米切尔· 费根鲍姆）是：“On Finite Limit Sets for Transformations on the Unit Interval,” Journal of Combinatorial Theory 15 (1973), pp. 25–44.
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尽管当时没有人意识到，但其实洛伦茨早在 1964 年就考察过这个方程，并将之类比于一个关于气候的深刻问题。这个问题是如此深刻，以至于以前几乎没有人想到过要发问：所谓的气候存在吗？12 也就是说，地球上的天气是否存在一个长期平均值？大多数气象学家，不论是过去的，还是现在的，都将之视为理所当然。任何可测量的行为，不论其如何波动，显然必定存在一个平均值。但细想之下，这其实并没有那么显而易见。正如洛伦茨所指出的，过去 12 000 年天气的平均值必定显著不同于再之前 12 000 年（当时北美大陆大部分为冰雪所覆盖）的平均值。那么上一个气候是因为某种物理原因而转变成下一个气候吗？或者，是否存在一个更长期的气候，而这两个时期不过是其中的波动而已？又或者，是否有可能一个像天气这样的系统永远不会收敛到一个平均值？
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12Edward N. Lorenz,“The Problem of Deducing the Climate from the Governing Equations,”Tellus 16 (1964), pp. 1–11.
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洛伦茨接着问了第二个问题。设想你可以实际上写出控制天气的整套方程组。换言之，设想你拥有了上帝的代码。那么你能够利用这些方程计算出温度或降雨量的统计平均值吗？要是这些方程是线性的，答案会是简单的“能”。然而，它们其实是非线性的。由于上帝没有透露他的天机，因此洛伦茨只好以这样的二次差分方程为例。
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像梅一样，洛伦茨首先考察了在给定某个参数值的情况下，随着方程迭代，它将如何演化。在参数值较小的时候，他看到方程最终将达到一个稳定的定点。在那里，这个系统无疑将生成一个最平凡无奇的“气候”——其中的“天气”将永远不会改变。在参数值更大的情况下，他看到系统在两个点之间来回振荡，而在那里，系统也将收敛到一个简单的平均值。但在参数值超过一个特定点后，洛伦茨看到混沌出现了。由于他当时考虑的是气候，因此他不仅关注连续的迭代是否会生成不同的周期性行为，也好奇这时的平均输出是多少。他于是注意到，平均值也在不稳定地发生波动。参数值的改变始终如此微小，但平均值的变化却可能相当剧烈。因此，我们通过类比可知，地球上的气候可能永远不会可靠地落入一个具有长期平均值的均衡。
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作为一篇数学论文，洛伦茨的这项气候研究可算是一个失败之作——在公理体系的意义上，他没有证明任何东西。作为一篇物理学论文，它也是具有严重缺陷的，因为他无法论证自己利用这样一个简单方程来类比地球上的气候的合理性。不过，洛伦茨知道自己在说什么。“笔者感到，这样的相似之处不是因为单纯的巧合，而是因为这个差分方程把握到了一种流态到另一种的转捩，以及事实上，整个不稳定现象的大部分数学实质，即便不是其物理学的话。”即便在此二十年后，也没有人能够理解当初是怎样一种直觉让他敢于说出这样一个大胆论断，更别说它最初发表在一份瑞典的气象学期刊《地球》上。（“《地球》！没有人会读《地球》。”一位物理学家不无愤恨地说道。）洛伦茨当时正在慢慢开始更深入地理解到混沌系统的种种怪异可能性——比他利用气象学语言所能表达的更深刻。
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随着他继续探索各式各样的动力系统，洛伦茨意识到那些比逻辑斯谛映射稍微复杂一些的系统还可以生成其他类型的、出人意料的行为模式。一个系统中可以隐藏着超过一个稳定解。一个观察者可能在很长一段时间里只看到一种类型的行为，但这个系统其实还具有一种完全不同类型的行为。这样一个系统被称为非可递的（intransitive）。它可以停留在一个或另一个均衡状态，但不可能同时处于这两个状态。只有在受到一个外部推动的情况下，它才会被迫改变状态。一座标准的摆钟是一个平凡的非可递系统。一股能量源自弹簧或电池，并经由擒纵机构而稳定地流入系统。另一股能量由于摩擦力的耗散而稳定地流出系统。这时一个显而易见的均衡状态是一种规则的左右摆动。如果有人撞上了摆钟，钟摆可能会出现暂时性的加速或减速，但它还是会很快回复到这个均衡状态。然而，摆钟还具有第二个均衡状态（其运动方程组的第二个有效解），那就是钟摆直挺挺地一动不动。一个不那么平凡的非可递系统（在其中，或许不同的区域有着完全不同的行为）则有可能是气候本身。
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那些利用全球天气模型模拟地球上大气和海洋的长期行为的气象学家在多年前就已经知道，他们的模型存在至少另一个非常不一样的均衡。在地球过去的整个历史中，这个可供选择的气候从来没有出现过，但它终究是这些方程的一个非零可能性的有效解。它被有些气象学家称为“白色地球气候”：地球上的大陆全部为冰雪所覆盖，海洋全部冻结成冰。13 这个陷入冰冻的地球会反射七成的太阳光，所以会一直持续极寒气候。大气层最靠近地面的对流层的厚度会变得非常薄，因而在冰面上卷过的风暴也会比我们现在所知的规模小很多。总的来说，这样的气候将不适宜我们所知道的生命生存。计算机模型的模拟结果有着如此强烈的一种倾向——倾向于落入白色地球均衡，这让气象学家不免好奇为什么它始终没有发生。
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13真锅淑郎。
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这可能单纯是因为机缘巧合。毕竟将地球气候推向冰冻状态将需要借助一股巨大的外力。但洛伦茨又描述了另外一种可能的系统，称为“准非可递系统”（almost intransitive）。一个准非可递系统在无限长的时间间隔里是“可递的”，也就是说，尽管它始终起伏不定，但它其实具有一个唯一的长期平均值，而不论其初始条件如何；但在有限长的时间间隔里，它是“非可递的”，也就是说，其长期行为非常仰赖于初始条件。因此，由于初始条件的微小变化，它会看上去没有任何理由地从一种类型的行为转变为另一种，仍然起伏不定但其长期平均值已经不同。那些设计计算机模型的人知道洛伦茨的发现，但他们还是选择极力避免准非可递性。它太过不可预测。他们的天然倾向是，将模型做成具有一种强烈倾向，倾向于回复到我们每天实际上测量到的均衡。然后，为了解释大的气候变化，他们转而从外部环境寻找原因——比如，地球绕日公转轨道上的变化。然而，一位气象学家并不需要多少想象力就能看出来，准非可递性可以很好地解释为什么地球气候以神秘而不规则的间隔进入和退出多次冰河期。如果地球气候确实是准非可递的，那么冰河期的出现时机就不需要寻求外部解释。它们可能单纯是混沌的一个副产品。
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就像一位在自动武器时代深情追忆柯尔特点 45 口径转轮手枪的枪支收藏者，许多现代科学家也对 HP - 65 手持式可编程计算器始终心存一种怀恋之情。在它鼎盛的几年时间里，这部小小的机器彻底改变了许多科学家的工作习惯。对于费根鲍姆来说，它成了过往繁重的纸笔计算与一种当时人们还料想不到的计算机辅助工作方式之间的桥梁。
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当时他还完全没有听说洛伦茨，但在 1975 年夏，在美国科罗拉多州阿斯彭的一次研讨会上，他听到斯蒂芬·斯梅尔讨论这样的二次差分方程的一些数学性质。14 斯梅尔似乎认为，在这个映射从周期性变成混沌的那些具体点中，应当存在一些有趣之处。一如既往地，斯梅尔对于值得探索的问题具有一种敏锐的直觉。费根鲍姆于是决定再试一下。借助计算器，他开始利用解析代数和数值探索来试图拼凑出一种对于逻辑斯谛映射的新理解，这次聚焦在有序与混沌的边界区域上。
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14费根鲍姆。
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在隐喻上（但也只是在隐喻上），他“知道”这个区域有点儿像从平流到湍流的神秘过渡区域。当初罗伯特·梅提醒其他种群生物学家注意的也正是这个区域，这些人之前一直没有意识到，不断变化的种群数量在规则的周期性之外还存在其他可能性。在这个区域里，通向混沌的道路表现为一个倍周期分岔的级联过程：从周期 2 变成周期 4，从周期 4 变成周期 8，如此等等。这些分岔构成了一个迷人的模式。在这些分岔点上，诸如繁殖潜力的一个微小变化就可能导致舞毒蛾种群从一个四年周期改变为一个八年周期。费根鲍姆决定从计算在分岔发生时常数参数的具体值着手。
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最终，是计算器的运算缓慢让他在那年八月得出了一个发现。他需要花费漫长时间（事实上，是几分钟）才能计算出每个分岔点的具体参数值。他在级联过程中的位置越往后，所需的时间也就越漫长。要是他当初使用的是一部快速的计算机和一台打印机，费根鲍姆可能就不会注意到其中的模式。但他当时不得不手工记录下数值，然后在等待下一个计算结果的时候，他不得不盯着它们思考，因为为了节省时间，他不得不猜测下一个分岔点可能会在哪里。
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但他很快就看出来自己其实不用猜测。在这个系统中隐藏着一个出人意料的规则性：这些参数值是几何级数收敛的，跟在一幅透视素描中，一排笔直排列、相同规格的电话线柱收敛到地平线上的方式一样。如果你知道前两根电话线柱要画多高，你也就知道剩下的该如何画了；第二根与第一根的高度之比也将是第三根与第二根的高度之比，如此等等。倍周期分岔不仅发生得越来越快，而且还以一个恒定的速率发生得越来越快。