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为什么会这样？通常而言，几何级数收敛的存在表明，某个地方的某样东西在不同尺度上不断重复自己。但即便在这个方程中确实存在一个标度模式，那么也从来没有人见过它。费根鲍姆在他的机器上以可能的最高精度（三位小数）计算出收敛速率，并得到了一个数：4.669。这个比率有什么特殊意义吗？费根鲍姆接下去做了任何对数感兴趣的人都会做的事情。他在当天剩下的时间里试着将这个数与所有标准常数（π、e 等）联系起来。但它不是任何已知常数的变体。
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不无奇怪的是，罗伯特·梅后来意识到，他当初也见到过这个几何级数收敛。15 但他转眼就忘了。从梅的生态学视角看来，它是一个数值上的奇怪之处，但也仅此而已。在他所考虑的现实世界系统中——不论是动物种群的系统，或甚至是经济模型中，不可避免的噪声将淹没任何精确至此的细节。那种表面上的无序之前引领他走过那么远，却在这个关键时刻阻止他进一步升堂入室。梅激动于这个简单方程生成了如此复杂的行为，但他怎么也料想不到，这些数值细节将被证明是至关重要的。
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15梅。
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费根鲍姆知道自己发现了什么，因为几何级数收敛意味着这个方程里的某样东西具有标度性质，并且他也知道标度很重要。整个重整化理论都仰赖于此。在一个看上去变化莫测的系统中，标度性质意味着在其他量都发生改变的情况下，某个量始终保持不变。在这个方程的紊乱表面之下意外隐藏着某种规则性。但它藏身何处？费根鲍姆想不出接下来要怎么办才好。
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夏去秋来，在那年十月临近结束的时候，费根鲍姆突然灵机一动。他知道梅特罗波利斯和斯坦兄弟之前考察过其他方程，并发现一些特定模式在不同类型的函数中都可以看到。相同的 R 和 L 组合在不同类型的函数中出现，并且它们出现的次序也相同。16其中一个函数涉及求解一个数的正弦值，这一变化使得费根鲍姆之前费劲做出来的抛物线方程计算方法变得没有用了。他将不得不重新再来。所以他再次取出他的 HP - 65 计算器，并开始计算 的倍周期分岔点。这里需要计算一个三角函数，这让整个计算过程变得缓慢许多，而费根鲍姆也好奇自己能否像在之前更简单的方程中那样找到一条捷径。果不其然，通过检视这些参数值，他意识到它们也是几何级数收敛的。接下去就是计算这个新方程的收敛速率的问题了。再一次地，尽管精度有限，但他算得了一个有着三位小数的结果：4.669。
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16“On Finite Limit Sets,”pp. 30–31. 关键提示：“这些模式是四个看上去不相关的变换的一个共同属性，这一事实表明，这样的模式序列是一大类映射的一个一般属性。因此，我们将这个模式序列称为 U 序列，其中的‘U’代表（有点儿夸大的）‘universal’——‘普适的’。”但这些数学家当时从未设想过，这种普适性会具体到某个实际的数值。他们制作了一张包含 84 个不同参数值的表格，每个精确到小数点后七位，但他们没有想过要去寻找隐藏其中的几何关系。
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得到的数是一样的。简直不可思议，这个三角函数不只是表现出一种一致的几何规则性。它表现出的是一种与另一个更简单得多的函数在数值上都相同的规则性。没有任何数学或物理学理论可以解释，为什么在形式和含义上如此不同的两个方程应该得出相同的结果。
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费根鲍姆打电话给保罗·斯坦告知此事。但斯坦没有立即相信这样基于如此不充分证据的巧合。毕竟，精度太低了。尽管如此，费根鲍姆还是打电话给在新泽西州的父母，告诉他们自己偶然发现了某种非常深刻的东西。他告诉母亲自己会因此一举成名。接下来他开始尝试其他函数，任何他能够想到的、会经由倍周期分岔通向混沌的函数。而每一个函数都给出了同一个数。
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费根鲍姆跟数字打交道由来已久。在他还是十多岁的时候，他就知道如何计算对数和正弦值，对此大多数人大概会直接查数表。但他之前从未学过使用比他的手持式计算器更大的计算机——在这一点上，他有着典型的物理学家和数学家心态，即倾向于鄙弃计算机所代表的那种机械式思维。不过，现在是时候了。他请了一位同事教授自己 Fortran 语言，然后经过一天努力，对于一众函数，他将他的常数算到了小数点后五位——4.669 20。当天晚上，他在操作手册上读到了双精度浮点数，于是第二天，他进一步将它精确到了 4.669 201 609 0——这个精度足以说服斯坦。但费根鲍姆还不是很确定是否已经说服了自己。他试图寻找其规则性（这是所谓理解其数学的题中之义），并且当他这样做时，他知道这些特定类型的方程，就像一些特定物理系统，会以其特有的方式行事。毕竟，这些方程是简单的。费根鲍姆理解二次函数，他也理解正弦函数——它们的数学是平凡的。然而，隐藏在这些大相径庭的方程中的某样东西，一而再，再而三地生成了同一个数。他偶然发现了某种东西：它或许只是一个数学上的奇怪之处，又或许是一条新的自然定律。
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试想一位史前时代的动物学家认为，一些东西比另一些东西更重（它们都有着某种被他称为“重量”的抽象物理量），并且他想要科学地探究自己的这个概念。他从来没有实际称量过各种东西的重量，但他认为自己对这个概念有所理解。他观察大蛇和小蛇、大熊和小熊，并猜想这些动物的重量可能与它们的大小存在某种关系。他搭起一架天平，并开始称量大小不同的蛇。出乎他的意料，每条蛇都一样重。并且每只熊也一样重。而更让他惊讶的是，蛇和熊也一样重。它们都重 4.669 201 609 0。显然重量并不是他当初设想的那样。整个概念需要加以反思。
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湍流的溪水、晃动的单摆、振荡的电路——许多物理系统都在通向混沌的过程中经历过一个转变，而这些转变始终太过复杂而难以分析。这是一些运作机制看上去已经得到透彻理解的系统。物理学家已经知道描述它们的方程，但透过方程理解它们全局的、长期的行为似乎是一件不可能的任务。更不幸的是，描述流体，或甚至单摆的方程要远比简单的一维逻辑斯谛映射更具挑战性。但费根鲍姆的发现意味着，这些方程其实无关紧要。它们是不相关的。当秩序涌现出来的时候，它似乎就突然忘记了自己原本出自哪个方程。不论是二次函数，还是三角函数，结果都是一样的。“物理学的整个传统是，你将运作机制提取出来，然后剩下的就水到渠成了，”他说道，“这样的做法现在完全不行了。你知道正确的方程，但它们就是无法提供什么帮助。你把所有的微观碎片拼凑起来，然后你发现你无法将它们外推到长期的情况。它们已经不是问题的重点所在。这彻底改变了我们对于‘知道什么’或‘不知道什么’的认知。”17
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17费根鲍姆。
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尽管数值计算与物理学之间的关联还是模糊的，但费根鲍姆已经找到证据，表明他需要找出一种计算非线性复杂问题的新方法。到目前为止，所有的现有技术都取决于函数的细节。如果函数是一个正弦函数，费根鲍姆费劲做出来的计算就是正弦函数计算。但他发现的普适性意味着所有这些技术将不得不被抛弃。这里的规则性与正弦函数无关。它与抛物线方程无关。它与任何特定函数无关。但这究竟是为什么？想来不免让人沮丧。大自然短暂拉开了一道窗帘，让人得以一窥某种意想不到的秩序。在那道窗帘后面还隐藏着什么迷人的东西？
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当灵感到来的时候，它以一个图案的形式出现——一幅心智图像，其中包括两个小的曲折形状以及一个大的形状。仅此而已——浮现在他脑海中的一幅明亮、清晰的图像，或许不过是他的潜意识心理过程的冰山一角。它与标度有关，并且它为费根鲍姆指明了他所需的前路。
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他当时正在钻研吸引子。逻辑斯谛映射最终达到的定态是一个定点——不论初始“种群数量”是多少，所有轨线都将稳定地趋向这个吸引子。然后，随着第一次倍周期分岔发生，这个吸引子一分而二，就像细胞分裂。一开始，这两个点间不容发；慢慢地，随着参数值增大，它们开始分开。然后，另一次倍周期分岔发生：吸引子的每个点同时再次一分而二。费根鲍姆常数可以让他预测出下一次倍周期分岔在何时发生。此时，他发现自己还可以预测出这个越来越复杂（两个点、四个点、八个点……）的吸引子的每个分岔点的精确数值。也就是说，他可以预测出，在不断的年际振荡中，种群数量最终将达到的数值。这里存在另一个几何级数收敛。这些数也遵循一个标度律。
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费根鲍姆正在探索的是一块数学与物理学之间的被遗忘的中间地带。他的工作难以归类。它不是数学，毕竟他没有在证明任何东西。确实，他在研究数，但数之于数学家就如同钱之于投资银行家；在名义上，它们是他的专业所研究的对象，但实际上，它们太过实在，不值得在上面浪费时间。思想才是数学家真正的“通货”。费根鲍姆正在进行的其实是一个物理学研究，并且可能听来奇怪，它几乎可以说是一种实验物理学。
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© H. Bruce Stewart, J. M. Thompson/Nancy Sterngold
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目标指向混沌
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一个简单的方程，经过反复迭代：米切尔·费根鲍姆关注的是一些直截了当的函数，取一个数作为输入，然后生成另一个数作为输出。对于动物种群数量，这样一个函数可能表达的是今年的种群数量与次年的种群数量之间的关系。
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将这样一些函数可视化的方式之一是作图，将输入放在横轴上而将输出放在纵轴上。对于每个可能的输入 x，对应只有一个输出 y，并且它们构成了一个由粗线表示的图形。
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然后，为了表现系统的长期行为，费根鲍姆画出了一条轨迹，它从某个任意选取的 x 出发。由于每个 y 接着会作为新的输入代入同一个方程，因此他使用了某种辅助线：这条轨迹将在函数图形与分角线之间来回反射，因为在分角线上，x 等于 y。
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对于生态学家来说，描述种群增长最显而易见的一类方程是线性的——马尔萨斯式增长，每年以一个固定速率不受限制地增长（左上图）。更贴近现实的函数则会形成一个拱形，让种群数量在达到最大值后掉头往下。这里所举的例子是所谓的“逻辑斯谛映射”，它是一条完美的抛物线，由函数 所定义，其中常数参数 决定了抛物线的陡峭程度。但费根鲍姆发现，自己选取哪种拱形其实无关紧要。方程的细节不重要，重要的是函数应该有一个“驼峰”（单峰映射）。