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不过，系统的行为还是敏感地依赖于函数的陡峭程度——其非线性程度，或者如罗伯特·梅所说的，其“盛衰”参数。一个太过平缓的函数会导致种群灭绝：任何初始种群数量都会最终趋向于零（左中图）。增加陡峭程度会生成传统生态学家预期见到的定态，而那个所有轨迹都趋向于此的点是一个一维“吸引子”（右中图）。
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在超过一个特定值后，分岔发生，导致种群数量在大小年之间来回振荡（左下图）。然后，更多的倍周期分岔发生；最终（右下图），轨迹将拒绝安定下来而遍历所有可能的点。
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这样一些图像是费根鲍姆在尝试构建一个普适理论时所借助的起始点。他开始从递归的角度思考：函数的函数，然后函数的函数的函数，如此等等；拥有两个“驼峰”的映射，然后拥有四个“驼峰”的映射，如此等等。
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但费根鲍姆的研究对象不是介子和夸克，而是数和函数。它们具有轨迹和轨道。而他需要探究它们的行为。他需要（借用一个后来在这门新科学中被用滥了的说法）创造出直觉。他的粒子加速器和云室是计算机。在构建自己的理论的过程中，他也在构建一种方法论。通常情况下，一位计算机使用者会构造出一个问题，输入后等待机器计算出解——一个问题，一个解。但费根鲍姆及后来的混沌研究者想要更多。他们想要做洛伦茨当初所做的——创造出迷你宇宙，并观察其演化。然后他们可以改变这个或那个特征，并观察其改变后的演化路径。毕竟，他们服膺这样一个信念，即特定特征上的微小改变可以导致整体行为上的显著变化。
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费根鲍姆很快就发现，洛斯阿拉莫斯的电子计算机设施是何等难以满足他想要发展的那种计算风格。尽管拥有大量资源，比大多数大学都要多得多，洛斯阿拉莫斯却没有多少能够显示图像和图形的终端，并且仅有的这些终端还都在武器部。费根鲍姆想要取一些数，并将它们绘制成图。这时他不得不求助于最原始的方式：长长的一卷打印纸，上面的一行行空格后面跟着一个星号或一个加号。在洛斯阿拉莫斯，官方所持的政策是，一部大型计算机远比许多小型计算机更有用——这个政策正好契合一个问题一个解的传统。小型计算机并不受待见。此外，任何部门想要新购置一部计算机，都需要符合严格的政府采购指南，并通过一个正式的评审。只是在后来，通过变换理论部的预算名目，费根鲍姆才得以成为一部价值两万美元的“桌面计算器”的使用者。到时，他就可以在进行过程中改变他的方程和图形，不断调校它们，就像摆布乐器那样操弄计算机。但在当时，唯一能够真正显示图像的那些终端都处在高度机密的区域——用当地的说法来说，处在围栏之后。费根鲍姆不得不使用一部终端，后者则通过电话线连接到一部计算机主机。在这样一种安排中工作，使人很难在电话线的另一端直观感受到计算机的纯粹力量。即便最简单的任务也需要花上几分钟时间。编辑程序里的一行代码，意味着按下回车键，然后在终端片刻不停的嗡嗡作响中默默等待，等待主机在轮流处理完实验室里其他用户的任务之后再轮到自己。
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在进行计算的过程中，他也在思考。什么样的新数学才能够生成他现在观察到的多重标度模式？他意识到，有关这些函数的某种东西必定是递归的、自我指涉的，一个函数的行为由隐藏其中的另一个函数的行为所指导。那个曾经带给他灵感的曲折图像也表明，一个函数可以通过尺度变换去匹配另一个函数。他使用了重整化群理论，利用尺度变换将无穷大的量变成可处理的量。在 1976 年春，他进入了一个前所未有的废寝忘食的状态。他会思考得出神，接着疯狂编代码，然后用铅笔写来写去，接着再编代码。他无法向 C 部打电话寻求帮助，因为只有登出主机才能使用电话，而重新连接是有风险的。他无法暂时停下来，哪怕思考个五分钟，因为超过这个时间没有动作，主机就会自动断开连接。时不时地，计算机还是会不由分说地死机，让他气得发抖。他没有停歇地工作了两个月，每天工作二十二小时。他会试着在一种兴奋状态下入睡，然后在两小时后醒来，这时他的思绪仍然停留在他之前中断的地方。他的饮食只有咖啡。（即便在他健康平和的时候，费根鲍姆也只靠最红的红肉、咖啡和红酒维生。他的朋友们不禁猜测，他必定是从香烟中摄取了维生素。18
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18茨维塔诺维奇。
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最终，一位医生终止了这一切。费根鲍姆被要求服用少量安定，并进行一次强制休假。但等到那时，他已经创造出了一个普适理论。19
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19具体来说，这个普适理论是对于各种单峰映射 的一个普适函数 ，它与 的具体形式无关。对此方程还没有解，只有一些关于 的数值计算。——译者注
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普适性让一个理论变得不单好看，还好用。在超过某个点后，数学家已经几乎不在意自己是否给出的是一个可用于计算的方法。在超过某个点后，物理学家则终究需要求解数值。而普适性提供了这样一种希望，即通过求解一个简单问题，物理学家可以求解一个困难得多的问题。因为它们的答案将是一样的。此外，通过将他的理论置于重整化群的框架下，费根鲍姆也给它披上了一层外衣，让物理学家得以一眼认出它是一个可用于计算的工具，并且几乎是某种标准工具。
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但让普适性变得有用的那一点，也让它变得在物理学家看来难以相信。普适性意味着不同的系统会表现出相同的行为。当然，费根鲍姆研究的只是简单的数值方程。但他相信自己的理论揭示了一条有关那些处在从有序变为紊乱的转捩点附近的系统的自然规律。大家都知道，湍流意味着一个由所有可能频率构成的连续统，大家也都一直好奇所有这些不同频率从何而来。突然之间，你可以看见不同的频率序贯出现。20 这里的物理学意涵是，现实世界中的系统也会表现出可看出来相同的行为，并且不仅如此，它也是可算出来相同的。费根鲍姆的普适性不只是定性的，它还是定量的；不只是结构上的，还是度量上的。它达到的程度不只限于模式，还具体到精确数值。而在物理学家看来，这简直难以置信。
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20福特。
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多年以后，费根鲍姆仍然在一个手边的抽屉里保存着他的退稿信。等到那时，他已经得到他所需的所有认可。他在洛斯阿拉莫斯实验室的工作为他赢得了多个奖励和奖项，也给他带来了声望和金钱。21 但想起当初一些顶尖学术期刊在他开始投稿的两年时间里始终认为他的研究不适合发表，他依然感到有点儿愤愤不平。一项科学发现因其原创性和突破性而无法得到发表，这个概念看上去是一个有点儿不体面的迷思。有着海量信息需要处理，又有着公正的同行评议系统可资凭借，现代科学理应不牵涉个人口味。一位给费根鲍姆退过稿的编辑在多年以后承认，自己当初拒绝了一篇后来被证明是该领域转折点的一篇论文，但他仍然坚持认为，这篇论文真的不适合自己期刊的应用数学家读者群。与此同时，即便没有得到发表，费根鲍姆的突破性发现还是成了数学家和物理学家的特定圈子里的热门新闻。理论的核心内容得到扩散，以大多数科学现在所用的传播方式——通过讲座和预印本。费根鲍姆在学术会议上描述自己的研究，而索要论文复印件的请求如雪片般飞来，一开始以十计，然后就以百计。
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211983 年的麦克阿瑟奖以及 1986 年的沃尔夫物理学奖。
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现代经济学的重要基础之一是有效市场假说。在一个有效市场中，知识被认为可以自由流动。当人们在做出重要决策时，他们被认为可以接触到多多少少相同的信息。当然，无知和内部信息仍然不可避免，但整体而言，经济学家假设，一旦知识被公开，它就为所有地方的所有人所了解。科学史家也常常理所当然地接受了一个他们自己的有效市场假说。当一个发现被做出、一个思想被表达时，它就被认为成了科学界的公共财产。每个发现和每个新洞见都建立在前人的基础上。科学大厦正是通过一块块砖层层堆叠而成的。思想史可以是线性发展的。
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当一个定义良好的学科在等待一个定义良好的问题的答案时，这种科学观在常规科学中表现最好。比如，就没有人会不理解 DNA 双螺旋结构的发现的意义。但思想史并不总是如此直截了当的。随着非线性科学从不同学科的一些奇怪角落冒出来，思想的发展不再遵循科学史家的标准逻辑。作为一个独立的学科，有关混沌的涌现的科学不仅关于新理论和新发现，也关于对旧思想的新理解。拼图谜题的许多图块很久以前就被发现了（被庞加莱，被麦克斯韦，甚至被爱因斯坦），然后被人遗忘。许多新的图块一开始只为少数内部人所理解。一个数学发现只为数学家所理解，一个物理学发现只为物理学家所理解，一个气象学发现则不为任何人所理解。思想如何传开来变得与它们如何冒出来同等重要。
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每位科学家都有一个他自己的思想谱系。他们都有各自的思想图景，而每个图景都有各自的局限性。他们的知识是不完美的。科学家常常囿于自己学科的成见，或者自己教育背景的局限。科学的世界可以是出人意料有限的。也没有一个科学委员会来将科学推向一个新方向——实际做这些的是少量个人，并且他们有着各自的认知和目标。
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此后，对于哪个创新、哪个贡献影响最为深远，一个共识开始形成。但这样的共识不可避免会涉及某种修正主义。在研究最热火朝天的时候，尤其是在 20 世纪 70 年代后期，没有哪两位物理学家，也没有哪两位数学家，会以完全相同的方式去理解混沌。一位习惯于忽略摩擦力或耗散的经典系统的科学家会将自己置于一个由包括 A. N. 柯尔莫哥洛夫和 V. I. 阿诺尔德在内的苏联人所开创的传统当中。一位习惯于经典动力系统的数学家则会构建出一个从庞加莱到伯克霍夫，到莱文森，再到斯梅尔的传承。再后来，一位数学家的思想谱系可能以斯梅尔、古肯海默和吕埃勒为中心。或者，这一思想谱系可能侧重于一帮来自洛斯阿拉莫斯的、喜欢进行数值计算的先驱者：乌拉姆、古肯海默和斯坦。一位理论物理学家可能首先想到的是吕埃勒、洛伦茨、勒斯勒尔和约克。而一位生物学家会想到斯梅尔、古肯海默、梅和约克。可能的组合是无穷无尽的。一位研究物质的科学家（比如，一位地质学家或一位地震学家）会承认自己受到曼德尔布罗特的直接影响，而一位理论物理学家可能连听都没有听过这个名字。
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费根鲍姆在这当中的地位日后将成为一个特殊的争议焦点。多年以后，在他受到近乎学术明星般的对待的时候，许多物理学家特地选择引用在差不多同一时期（前后相差几年）研究同一问题的其他人的工作。有些人则指责，在范围广阔的混沌行为中，他只专注于太过狭窄的一块。一位物理学家可能会说，“费根鲍姆学”被过誉了——确实，这是一项漂亮的研究，但它终究不如，比方说，约克的工作那样影响广泛。22 1984 年，费根鲍姆受邀在瑞典举办的第 59 次诺贝尔研讨会上发表讲演，而这次会议也为这个争议所笼罩。贝努瓦·曼德尔布罗特在会上做了一个不怀好意的针对性发言，被在场听众后来形容为他的“反费根鲍姆讲演”。曼德尔布罗特不知怎么翻出了一篇二十年前的论文，一位名叫佩卡·米尔贝里的芬兰数学家在其中讨论了倍周期的概念。他于是一直将费根鲍姆序列称为“米尔贝里序列”。
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22戴森。
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但费根鲍姆发现了普适性，并创造了一个理论来解释它。而这是这门新科学的轴心之所在。由于当时无法发表这样一个出人意料且有违直觉的结果，因此他只得抓住机会，在 1976 年 8 月新罕布什尔的一次学术会议的系列讲座中，在 9 月洛斯阿拉莫斯的一次国际数学会议上，在 11 月布朗大学的系列报告中介绍自己的工作。这个发现和理论收到了不同的反应，有吃惊，有不信，也有兴奋。一位科学家之前对于非线性思考得越多，他就越能体会到费根鲍姆的普适性的威力。有人就这样说：“这是一个非常令人高兴和令人震惊的发现，即不同的非线性系统中存在始终相同的结构，只要你能找到正确的方式看待它们。”23 有些物理学家不只捡起了他的思想，也捡起了他的方法。摆弄那些图表（仅是摆弄）就让他们激动不已。利用他们自己的计算器，他们可以体验到当初让费根鲍姆在洛斯阿拉莫斯夜以继日的那种惊喜和满足，而且他们优化了理论。在听过费根鲍姆在普林斯顿高等研究院所做的报告后，普雷德拉格·茨维塔诺维奇，一位粒子物理学家，帮助费根鲍姆简化了理论，并扩展了其普适性。但在这个过程中，茨维塔诺维奇一直假装这只是一项消遣，他始终无法迫使自己向同事坦白自己在做什么。24
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23吉尔摩。
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24茨维塔诺维奇。