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6哈伯德；The Beauty of Fractals; Peter H. Richter and Heinz - Otto Peitgen,“Morphology of Complex Boundaries,”Berichte der Bunsengesellschaft für Physikalische Chemie 89 (1985), pp. 575–588.
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© Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter
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具有无穷复杂性的边界
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当一个派被切成三块扇形小块时，它们只在一个点三块相交，而任意两块之间的边界也简单明了。但抽象数学以及现实世界物理学中的许多过程最终被证明可以生成几乎不可想象的复杂性。
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在上面的图中，被用于求 -1 的立方根的牛顿法将复平面分成了三个相等的区域，其中一个用白色标出。所有的白色点都被“吸引”到位于最大的白色区域内的根，所有的黑色点都被吸引到另外两个根之一。这里的边界具有一个奇特性质，即每个边界点都邻接所有三个区域。并且正如局部放大图所显示的，放大后的部分具有一种分形结构，在越来越小的尺度上不断重复原来的基本模式。
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哈伯德就这些复杂形状及其数学意涵展开了研究。他及其同事的工作很快开辟出了动力系统研究的一条新战线。他意识到，牛顿法的作图只是一大类尚未得到探索的、反映了现实世界中的行为模式的图案之一。迈克尔·巴恩斯利也正在研究这个家族的其他成员。而正如这两人很快会了解到的，贝努瓦·曼德尔布罗特则正在研究所有这些形状的“老祖宗”。
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曼德尔布罗特集合 7 是数学中最复杂的对象，其推崇者常常喜欢这样说。8 即便永恒的时间也不足以将它穷尽，看遍其圆盘上参差的凸起（“原子”）、凸起上卷起的螺旋、螺旋上挂着的球状分子——它们就像上帝的私人葡萄藤上结的葡萄，排布变化万千。在计算机屏幕上不断放大其局部，曼德尔布罗特集合看上去要比分形更分形，在每个尺度上都有着如此丰富的复杂性。要想为其中的不同图案进行编目，或者对集合的轮廓给出一个数值描述，无疑需要用到无穷多的信息。但一个悖论出现了：要想传递该集合的一个完整描述，却只需要传输一段数十个字符的代码。一段简短的计算机程序就包含足够的信息来重现整个集合。这种集复杂性和简单性于一身的做法让最早一批意识到这一点的研究者都不禁深感意外——甚至曼德尔布罗特也不例外。曼德尔布罗特集合后来成为混沌的某种公共符号，出现在会议手册和工程季刊的封面上，充当着一个在 1985 年和 1986 年到世界各地展出的计算机艺术展的重头戏。其美丽很容易就从这些图案上感受到，其含义则要更难把握到，数学家也是慢慢才开始理解。
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7一个通俗易懂的入门介绍（连同一个可以自己运行的计算机程序），可参见：A. K. Dewdney,“Computer Recreations,”Scientific American (August 1985), pp. 16–32. 派特根和里希特在《分形之美》中不仅给出了一些令人叹为观止的图案，还给出了一个对于曼德尔布罗特集合的数学的细致综述。
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8比如，哈伯德。
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许多分形形状都可以通过在复平面上进行的迭代过程加以生成，但曼德尔布罗特集合只有一个。它最早开始隐约显露身形，是在曼德尔布罗特试图找到一种方式将一类称为朱利亚集合的形状加以一般化的时候。朱利亚集合由法国数学家加斯东·朱利亚和皮埃尔·法图在第一次世界大战期间最早提出并加以研究（当时，他们可没有这些计算机生成的图案可供参考）。曼德尔布罗特在二十岁的时候曾经见过他们平实的绘图，也读过他们的作品（当时已然少有人问津）。朱利亚集合也正是吸引了巴恩斯利的那些数学对象。它有着多种多样的面目，有些仿佛是将圆形在多处挤压变形，使之具有一个分形结构；有些则破碎形成多个区域，还有些更是支离破碎成星星点点。但不论是欧氏几何的语言，还是其概念，都不足以描述它们。法国数学家阿德里安·杜阿迪就这样描述道：“通过变换参数，你可以得到惊人之多的朱利亚集合：有些是一块臃肿的云彩，有些是一根干枯的灌木枝，有些则看上去像烟火散落的火花。其中一种集合形似一只兔子，其他很多集合则有着海马般的尾巴。”9
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9“Julia Sets and the Mandelbrot Set,”p. 161.
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© Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter
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几种典型的朱利亚集合
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1979 年，曼德尔布罗特发现，他可以在复平面上创造出这样一个图像，它作为朱利亚集合的一个目录，竟然将它们每一个都网罗其中。10 当时他正在探索一些复杂过程（涉及平方根、正弦和余弦的方程）的迭代。尽管曼德尔布罗特自己的学术生涯是围绕着“简单性催生出复杂性”这样一个命题展开的，但他一开始并没有立刻理解这个透过 IBM 和哈佛大学的计算机屏幕只能窥见一斑的对象的非凡之处。他极力催促程序员，想要看到更多细节，程序员们也竭尽全力调配已然捉襟见肘的内存，努力在一部配备简陋的黑白显像管的 IBM 大型机上计算出新的插值点。让事情雪上加霜的是，程序员还得时刻提防计算机探索的一个常见陷阱，避免生成一些“赝像”，也就是那些单纯源自机器的某种机缘巧合、因而在程序稍作调整后就会消失不见的特征。
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10曼德尔布罗特，拉夫，哈伯德。曼德尔布罗特对此的一个自述是：“Fractals and the Rebirth of Iteration Theory,”in The Beauty of Fractals, pp. 151–160.
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然后，曼德尔布罗特将注意力转向了一个尤其容易编程的简单映射。在一个粗略的网格上，程序只消重复其反馈环不多的次数，由几个圆盘构成的初步轮廓就出现了。用铅笔进行的少量验算表明，这些圆盘在数学上是真实存在的，并不是某种计算上的巧合的偶然产物。在主圆盘的左边和右边，还出现了暗示存在更多形状的蛛丝马迹。他后来回忆说，在他的心智中，他看到了更多：一个形状层层嵌套的结构，原子内有更小的原子，直至无穷。并且，在这个集合与实数直线相交的地方，这些越来越小的圆盘的层层嵌套，呈现出一种几何上的规则性，也就是动力学研究者现在所谓的倍周期分岔的费根鲍姆序列。
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这一点尤其鼓励他将计算进一步进行下去，将这些粗略的初步图像更加精细化，而他也很快发现，在圆盘的边缘及其附近区域散落着斑斑点点。随着他试图计算出越来越精细的细节，他突然发觉自己的好运走到了尽头。11 这些图案不是变得越来越清晰，而是变得越来越模糊。他回到 IBM 在纽约州韦斯特切斯特县的研究中心，试图利用那里令哈佛大学望尘莫及的算力。出乎他的意料的是，这种越来越模糊其实是某些真实存在的东西的征象。众多萌芽和卷须从主岛上慵懒地生发出来。曼德尔布罗特看到，一条原本看上去平滑的边界这时自己消解成一条由海马尾巴般的螺旋构成的长串。非理性催生出理性。
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11曼德尔布罗特；The Beauty of Fractals.
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曼德尔布罗特集合是一个点的集合。复平面上的每一个点（也就是每一个复数）要么在这个集合里，要么在集合外。描述这个集合的方式之一是，进行一个涉及某种迭代的简单算术运算的检验。为了检验一个点，取这个复数，取其平方，再加上原来那个复数，然后取这个结果的平方，再加上原来那个复数，如此反复。如果这个和数越变越大，直至无穷大，那么这个点就不在曼德尔布罗特集合里；如果和数始终保持有限（它可以陷入某种循环，或者它可以混沌地游走），那么这个点便在曼德尔布罗特集合里。
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这种无限重复一个过程，然后问结果是否有限的做法，与日常生活中的反馈过程很相像。设想你要在一座礼堂里布设话筒、功放和喇叭，但你担心出现声音反馈导致的啸叫。如果话筒拾取到一个足够响的噪声，那么从喇叭里传出的、经过放大的声音就会再次被话筒拾取到，从而陷入一个无穷无尽、越来越响的循环。反过来，如果噪声足够小，它就会逐渐消散于无形。为了用数为这个反馈过程建模，你可以选取一个初始值，让这个数自己乘以自己，然后让这个结果自己乘以自己，如此等等。你会发现，大的数很快会趋于无穷大：10, 100, 10 000,…。但小的数会趋于 0：。为了给出一个几何图像，你可以定义这样一个点的集合，即其中的所有点在被代入这个过程时最终不会趋于无穷大。试考虑在正数轴上的那些点，如果一个点生成了一个啸叫，将它标记为白色，否则将它标记为黑色。很快，你就会看到一个由一条从 0 到 1 的黑色线段构成的形状。
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