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曼德尔布罗特集合的逐渐浮现
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在贝努瓦·曼德尔布罗特最初的计算机输出图像中，一个粗略的结构浮现了出来，并随着计算质量的改善而呈现出更多细节（上图、对页下图及下图）。但这些像虫渍一样、斑斑点点的“分子”是孤立的小岛屿吗？又或者它们其实是由细到看不出来的游丝连到主岛上的？这在当时并无法判断。
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对于一个一维过程，我们实际上并不需要付诸实验检验。我们很容易就可以确定，比某个数大的所有数都会在经过迭代后趋于无穷大，反之则不然。但在二维的复平面上，要想推断出由某个迭代过程定义的形状的样子，仅仅知道这个方程一般来说是不够的。不像圆、椭圆、抛物线之类的传统几何形状，曼德尔布罗特集合不允许抄捷径。要想看出具体某个方程的图像是什么样子的，唯一的办法是一一试错，而这种试错的工作方式让探索这片数学新天地的探险家更接近于麦哲伦，而非欧几里得。
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以这种方式将形的世界与数的世界连通起来，代表了一种破旧立新。毕竟新的几何学总是起源于有人改变了某条基本规则。一个几何学家突发奇想：设想空间可以不是平直的，而是弯曲的，由此得出的是对于欧氏几何的一个奇怪变体，后者恰好是广义相对论所需的适当框架。设想空间可以是四维的，甚至五维、六维的。设想表示维数的数可以是一个分数。设想形状可以被弯曲、拉伸或打结。又或者在这里，设想形状可以不是由一次性求解某个方程定义的，而是由将它反复迭代定义的。
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朱利亚、法图、哈伯德、巴恩斯利、曼德尔布罗特——这些数学家由此改变了如何绘制几何形状的规则。对于在欧氏空间和直角坐标系中将方程变成曲线的方法，任何学过高中几何学，或知道在地图上利用两个坐标找到一个点的人都不陌生。标准几何学会取一个方程，然后找出满足它的数的集合。然后，这些解构成了一个形状，比如方程 的所有解就构成了一个圆。其他简单方程则会生成其他图形，比如椭圆、抛物线、双曲线之类的圆锥曲线，甚至微分方程在相空间中生成的更复杂的形状。但当一个几何学家反复迭代一个方程，而不是求解它时，这个方程就变成了一个过程，而不是一个描述，变成动态的，而不是静态的。一个数被代入这个方程，得到一个新的数，接着这个新的数又被代入其中，不断反复，得到一系列四处蹦来蹦去的点。但一个点会在图上被标记出来，不是因为它满足了这个方程，而是因为它生成了某种特定行为。这样一种行为可能是趋于一个定态，可能是收敛到一个不同状态的周期性重复，也可能是失去控制，趋于无穷大。
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在计算机出现之前，即便朱利亚和法图理解这种新的函数作图法的可能性，他们也缺乏必要的手段，使之变成一门科学。而有了计算机的帮助，这种试错的几何学最终变得可能。哈伯德通过计算一个个点的行为来探索牛顿法的动力学，曼德尔布罗特也以同样的方式第一次将他的集合可视化，利用计算机遍历复平面上的点，一个接一个。当然，不是所有的点。鉴于时间和算力有限，这样的计算使用的是一个网格。更精细的网格可以给出一个更清晰的图案，但代价是计算时间更长。对于曼德尔布罗特集合来说，这样的计算还算简单，因为迭代过程本身非常简单：在复平面上迭代计算映射 。也就是说，取一个数，让它自己乘以自己，然后加上原来那个数。
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随着哈伯德逐渐熟悉这种利用计算机探索形状的新方式，他也开始应用一种创新的数学研究方式，将复分析的各种方法第一次应用到动力系统上。并且，他感到一切都看上去顺理成章。不同的数学分支交汇到了一个路口。他知道，仅仅看到曼德尔布罗特集合是不够的，他还想要理解它，并且事实上，他最终声称自己也确实做到了。
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如果这里的边界只是朱利亚集合意义上的分形，那么下一个图案会看上去多少跟上一个差不多。不同尺度上的自相似性会使得我们有可能预测出电子显微镜在下一个放大倍数上会看到些什么。但相反，对于曼德尔布罗特集合的每次更深的涉足都带回来了新的惊喜。曼德尔布罗特不免开始担心自己先前给出的分形定义太过狭窄，毕竟他无疑想要让这个词也适用于这个新的对象。12 如果这个集合被放大到一定程度，我们确实可以看到包含它自己的粗略副本，看到游离在主岛之外的、像虫渍一样的斑斑点点；但再进一步放大后，我们可以看到，这些岛屿分子没有两个是完全一样的。总是会出现新的海马品种、新的形态蜷曲的温室植物品种。事实上，没有一个部分是与集合在其他任何放大倍数上的其他任何部分完全一样的。
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12曼德尔布罗特。
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不过，这些游离的岛屿分子的发现也引出了一个相关的问题。曼德尔布罗特集合是连通的，就像一块大陆有着无数狭长的半岛？又或者它是一个点集，就像一个主岛周围散落着无数小岛？这一点并不容易看出来。我们无法从朱利亚集合那里得到任何借鉴，因为朱利亚集合两者兼具，有些是完整形状，有些则是星星点点。一个分形点集具有一个古怪特性：没有哪两个部分是“靠在一起的”，因为每个部分都与其他任何部分间以一段空白；但又没有哪个部分是“孤零零的”，因为只要你找到了一个点集，你就总是能够找到任意靠近的一群点集。13 随着曼德尔布罗特仔细检视自己的图案，他意识到计算机实验无法解决这个基本问题。他进一步放大主岛周围的斑斑点点。有些斑点消失了，但其他斑点则被证明是近乎这个集合的副本。它们看上去是相互独立的，但也有可能其实通过细线连在一起，只是这些线细到无法为这些计算出来的点所构成的网格捕捉到。
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13哈伯德。
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杜阿迪和哈伯德利用一系列巧妙的新数学证明了，每个游离的岛屿分子确实挂在一件串缀它们全体的金缕衣上，挂在一张从主岛的那些细小顶端放射出来的细网上，或者按照曼德尔布罗特的说法，挂在一种“恶魔的聚合物”上。这两位数学家证明了，其中任何一个部分（不论它位于何处，也不论它有多小），当它被计算机的显微镜放大时，都会揭示出一些新的岛屿分子，而其中每一个都与这个集合相似，但又不完全一样。
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每个新的岛屿分子会被自己的螺旋和喷火般的放射物所包围，而这些螺旋和放射物不可避免又会揭示出更小的岛屿分子，总是相似但不完全一样，似乎在响应某个要求无穷变化的命令，它们又可以说是一个微缩化的奇迹，因为其中的每一个新细节都保证是一个具体而微的独立宇宙。
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“曾经，一切都是横平竖直的几何直线风格。”海因茨 - 奥托·派特根如是说。14 他说的是现代艺术。“比如，约瑟夫·阿尔贝斯的作品尝试探索色彩之间的关系，而它们本质上不过是不同颜色的色块上下叠加在一起。这些东西一度非常流行。但看一下现在，它们似乎已经过气了，人们不再喜欢这类作品。在德国，有许多包豪斯风格的大型住宅小区，但现在住户纷纷离开，他们不喜欢住在这种住宅里面。当下社会厌恶我们对于自然的概念的某些层面，在我看来，这当中其实有着深层次的原因。”派特根一边说着，一边帮助一位客人挑选一些五彩缤纷的图案，它们是曼德尔布罗特集合、朱利亚集合及其他复杂迭代过程的局部放大图。在他在加州大学圣克鲁兹分校的小办公室里，他有各式幻灯片、大的透明投影片，甚至一本曼德尔布罗特集合日历可供挑选。“这种深层次的热情源自这样一种看待自然的不同视角。什么是自然对象的真实属性？比方说，树木，下面哪一点更重要？它们是直线，还是分形对象？”与此同时，在美国康奈尔大学，约翰·哈伯德疲于应付商业需求。15 数以百计的信件如雪片般涌进数学系，要求得到曼德尔布罗特集合的图片，约翰·哈伯德意识到自己需要准备一些样片和价目表。数十种图像已经被计算出来，并存储在他的计算机里，在他的一些还记得技术细节的研究生的帮助下，随时可进行展示。但当时最精彩的图案（有着最精细的分辨率以及最生动的着色）还是出自两个德国人——派特根和彼得·H. 里希特，及其在德国不来梅大学的科学家团队之手，他们的此项工作还得到了当地一家银行的热情资助。
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14派特根。
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15哈伯德。
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派特根和里希特，一位数学家和一位物理学家，纷纷将自己的学术兴趣转向了曼德尔布罗特集合。在他们看来，这是一个思想宝藏：一种现代的艺术哲学、一种表明实验在数学中所扮演的新角色的证明、一种向广大公众介绍复杂系统的科普手段。他们出版漂亮的图录和图书，带着自己的计算机图片展在世界各地旅行，随时找机会展出。里希特当初从物理学转向复杂系统，中间途经了化学和生物化学，并经由了研究生物途径中的振荡现象。16 在一系列讨论免疫系统以及糖酵解途径中的此类现象的论文中，他发现，振荡常常决定了一些过去习惯被视为静态的过程（毕竟活体不容易被打开进行实时研究）的动力学。里希特一直在自己办公室的窗台上夹着一部保养良好的双摆，这是他的“宠物动力系统”，由其大学的机工车间专门为他定制。时不时地，他会随手催动双摆做出混沌的、无节律的摆动，而他也可以在一部计算机上模拟出来这样的运动。双摆对初始条件的依赖是如此敏感，以至于一英里 17 外一滴雨的微弱引力会在不到五十或六十个周期，或大约两分钟内就足以影响到其运动。他所模拟的双摆相空间的彩色图案揭示出了相互交错的周期性区域和混沌区域，他也使用相同的图像化技术来展示，比如说，在某种理论下物质的磁相变的各自吸引区域，以及来探索曼德尔布罗特集合。
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16里希特。
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171 英里≈ 1.609 344 千米。——译者注
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对于他的同事派特根来说，复杂性研究提供了一个在科学中开创一些新传统的机会，而不仅仅是解决一些问题的方式。“在一个像这样的全新领域中，你可以从今天着手解决问题，而如果你是一名优秀的科学家，你可能花上几天、一周或一个月就可以找到一些有趣的解答。”派特根如是说。18 该学科是非结构化的。
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18派特根。