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“在一个结构化的学科中，大家都清楚什么是已知的、什么是未知的、什么是有人试过但徒劳无功的。这时，你需要研究一个已知是一个问题的问题，否则你会白忙一场。但一个已知是一个问题的问题必定会很难，否则它早就被人解决了。”
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派特根并不像其他数学家那样对使用计算机进行实验的做法多少感到心有疑虑。毫无疑问，每个结论必定最终要通过标准的证明方法变得严谨，不然的话，这就不是数学了。而在显示屏上看到了一个图像并不能保证，即使换成定理和证明的语言，它也确实存在。但现在我们有机会看到这个图像，这一点已经足以改变做数学的方式。派特根相信，计算机探索赋予了数学家自由去采取一种更自然的研究方式。一位数学家可以暂时放下严格证明的要求。就像一位物理学家那样，他可以追随实验的引导，而不论实验可能将他带向何方。数值计算的威力以及有助于直觉的视觉线索会提示一些可能前途光明的大道，而让他避免陷入一些死胡同。然后，在新的道路得到开辟，新的对象得到确认后，或有一位数学家可以重拾起严格证明的重担。“严谨性是数学的力量之所在，”派特根说道，“我们可以做出一个绝对有保证的论证——这是数学家永远不想放弃的志业。但你还是可以去考察那些现在可以得到部分理解，至于严格证明，则或许可以留待后人的状况。是的，严谨性很重要，但也不至于只是因为我现在做不到，我就要对有些东西全然放弃。”19
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19派特根。
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到了 20 世纪 80 年代，家用计算机已经拥有足够的计算精度，能够生成有关曼德尔布罗特集合的缤纷图案，而计算机爱好者们也很快发现，在越来越大的放大倍数上探索这些图案会给人一种生动的尺度变换之感。如果把整个曼德尔布罗特集合想象成一个星球大小的对象，那么一部家用计算机既能够展示其全貌，也能够让人一窥其局部特征，而不论它们是城市大小的、建筑大小的、房间大小的、书本大小的、字母大小的、细菌大小的，乃至原子大小的。看着这样一些图案，人们发现，所有尺度上的景观有着相似的结构，但每个尺度上的景观又不完全一样，而且所有这些微观景观都是通过相同的少量计算机代码生成的。20
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20一个曼德尔布罗特集合生成程序只需几个关键部分。其主发动机是一个循环指令，取其初始复数，并对其应用一定的算术规则。对于曼德尔布罗特集合来说，其规则是这样的：，其中 z 始终从 0 开始，c 则是要检验的那个点所对应的复数。因此，先取 0，让它自己乘以自己，再加上初始复数；取上次计算的结果（即那个初始复数），让它自己乘以自己，再加上初始复数；取新的结果，让它自己乘以自己，再加上初始复数；如此反复。复数的算术其实简单明了。一个复数由两个部分构成：比如，2 + 3i（对应于复平面上位于东 2 北 3 的那个点）。要将两个复数相加，你只需将它们的实部相加，得到一个新的实部，同时将它们的虚部相加，得到一个新的虚部。比如，要将两个复数相乘，你则需要将其中一个复数的各个部分分别乘以另一个复数的各个部分，然后将四个结果加起来。根据复数的原始定义，，所以结果中的平方项可以合并进另一项。比如，为了适时跳出这个循环，程序需要时刻留意这个运行过程中的结果。如果结果趋于无穷，离复平面的原点越来越远，那么要检验的那个点就不属于曼德尔布罗特集合；比如，如果它的实部或虚部变得大于 2 或小于 -2，那么它无疑在趋于无穷，这时程序就可以跳出循环。但如果程序重复循环了许多次，结果都不大于 2，那么那个点就是曼德尔布罗特集合的一部分。至于要迭代多少次，这取决于放大倍数。就个人计算机能够达到的放大倍数而言，100 次或 200 次已经不算少，1000 次则是非常安全的了。程序必须对一个网格中成千上万个点中的每一个都重复这样的迭代过程，而这个网格的尺度还可根据放大倍数加以调整。然后程序展示其结果。属于曼德尔布罗特集合的点可以标记成黑色，否则标记为白色。或者为了得到一个更悦目的图案，这些白点可以用不同颜色进一步加以区分。比如，如果迭代过程在重复 10 次后跳出，这个点可以标记为红色；重复了 20 次的点，标记为橙色；重复了 40 次的点，标记为黄色；如此等等。颜色和区间点的选择可视程序员的喜好而定。这些颜色揭示了曼德尔布罗特集合外的附近区域的等高线。
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边界是一个曼德尔布罗特集合生成程序花费其绝大部分时间，做出其所有妥协退让的地方。在那里，即便在 100 次、1000 次或 10 000 次的迭代过后还未跳出，程序仍无法绝对确定某个点接下来也会一如以往。谁知道在第一百万次迭代时会发生什么呢？所以那些生成了最惊人、最细致入微的曼德尔布罗特集合图案的程序，都跑在大型机或专业用于并行处理的计算机上，借助其中数以千计的个体电“脑”同步进行相同的算术运算。边界也是点最难摆脱曼德尔布罗特集合的吸引的地方。就仿佛它们在相互竞争的两个吸引子之间犹豫不决，一个近在咫尺，另一个则相当于远在天边发出召唤。
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当科学家将关注点从曼德尔布罗特集合本身转向一些代表现实中的物理现象的新问题时，曼德尔布罗特集合边界的种种特性开始走上前台。一个动力系统中的两个或更多个吸引子之间的边界成了某种阈值，它看上去控制了如此多的常见过程，从材料的分解到决策的做出。在这样一个系统中，每个吸引子都有其吸引域，就像河流有其集水的流域。每个吸引域都有其分水的边界。在 20 世纪 80 年代初的一个著名研究团队看来，一个非常有前途的数学和物理学的新研究领域就是分形吸引域边界研究。21
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21约克。一篇有点儿技术性但很好的介绍文章是：Steven W. MacDonald, Celso Grebogi, Edward Ott, and James A. Yorke,“Fractal Basin Boundaries,”Physica 17D (1985), pp. 125–183.
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动力学研究的这个分支关心的不是描述一个系统最终的、稳定的行为，而是一个系统在相互竞争的不同选项之间做出选择的方式。一个像如今已成经典的洛伦茨模型那样的系统只有一个吸引子（当一切尘埃落定时，一种行为占据了主导），并且它是一个混沌吸引子。其他系统则可能最终表现出非混沌的、定态的行为——但有着不止一个可能的定态。分形吸引域边界研究，就是研究那些最终会进入多个非混沌终态之一的系统，并试图预测会是哪一个系统。詹姆斯·约克（他在赋予混沌名字的十年后，又开创了分形吸引域边界研究）就设想了一部假想的弹珠机。22 像大多数弹珠机一样，它有着一根带弹簧的击珠杆。你拉动击珠杆，借力将弹珠击出，送进游戏区。游戏区设有由橡胶内壁和电子反弹器构成的倾斜场景，反弹器的功能是赋予弹珠额外的助力。这种额外的助力很重要：这意味着动能不只是平滑地衰减。为简明起见，这部机器在底部没有挡板，只有两个出口坡道。弹珠必定会经过其中一个坡道落下。
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22约克。
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这是一部决定论式弹珠机——严禁晃动机器。只有一个参数控制了弹珠的最终归宿，那就是击珠杆的初始位置。设想机器被如此设置，使得小幅拉动击珠杆总是意味着弹珠最终会落入右侧坡道，而大幅拉动击珠杆总是意味着弹珠最终会落入左侧坡道。在两者之间，其行为则变得复杂起来，弹珠像往常那样噼里啪啦地在反弹器之间跳来跳去，在持续了各不相同的一段时间后最终落入其中一个坡道。
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现在设想根据击珠杆的每个可能的初始位置及其结果进行绘图。这样得到的只是一条线段。如果某个初始位置导致弹珠从右侧坡道落下，我们就画一个红点，反之则画一个绿点。那么对于这两个作为初始位置的函数的吸引子，我们可以预期发现些什么？
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它们之间的边界被证明是一个分形集合，不一定是自相似的，但有着无穷深度的细节。线段的有些区域会是内部一致的完全红色或绿色，而其他区域，在放大之后，则会是红中有绿，或绿中有红。也就是说，对于击珠杆的某些初始位置，一个微小的改变不会有任何影响。但对于其他位置，哪怕一个任意小的改变也会导致是红还是绿的天差地别。
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加入第二个维度，也就意味着加入第二个参数，第二个自由度。比如，在一部弹珠机中，有人可能会将游戏区的倾斜度也纳入考量。而他会发现自己面对的是某种变幻莫测的复杂性——某种会让负责控制现实世界中多参数系统的稳定性的工程师头疼不已的复杂性，尤其是那些敏感而重要的系统，比如，电网和核电站，这两者因而也成为 20 世纪 80 年代混沌控制相关研究的对象。对于参数 A 的一个值，参数 B 可能会产生某种令人安心的、有序的行为，也就是说，它们处于那些内部一致的稳定区域内。这时工程师就可以做出他们受到的训练所习惯预设的线性研究和图表。不过，有可能不远处的参数 A 的另一个值就会彻底扭转参数 B 的重要性。
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约克会在学术会议上展示了分形吸引域边界的一些图案。有些图案代表了一些会最终落入两个终态之一的受迫单摆的行为——而他的听众都很清楚，受迫单摆是一种以多种面貌常见于我们日常生活的最基本振子。“这样就没有人可以说，我是通过选择单摆而得以投机取巧，”约克会笑着说，“事实上，这是一类你在自然中到处可见的事物。但这里的行为不同于你在文献中见过的任何东西。它是一种超乎想象的分形行为。”23 这些图案由黑、白两个涡旋构成，就像是有人在试着将香草布丁和巧克力布丁在一个厨房搅拌碗中不完全搅拌均匀的过程中停顿过几次。为了生成这样的图案，他的计算机遍历了一个 1000×1000 的网格，其中每个点都代表了单摆的一个不同的初始位置，然后他将结果绘制成图：根据单摆最终落入的定态，将每个点标记为黑色或白色。这两个涡旋是吸引域，它们由于相同的牛顿运动方程而混合、搅拌在一起，而所得的结果是边界占据了大头。通常情况下，超过四分之三的点都属于边界。24
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23约克，见于他在 1986 年 4 月 10 日在马里兰州贝塞斯达的美国国家卫生研究院举办的生物动力学和理论医学研讨会上的发言。
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24约克。
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© James A. Yorke
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分形吸引域边界
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即便一个动力系统的长期行为不是混沌的，混沌也可以出现在其中一类稳定行为与另一类稳定行为之间的边界上。常常是，一个动力系统拥有不止一个均衡状态，比如一个摆锤最终可为置于底座上的两块磁铁之一所吸引的单摆。每个均衡状态都是一个吸引子，而两个吸引子之间的边界可以是复杂但平滑的（左图）。或者，边界也可以是复杂且不平滑的。前述单摆的相空间图便呈现出高度分形的黑白错落分布（右图）。这个系统最终必定会落入两个可能定态之一。对于有些初始条件，其结果是很好预测的——黑是黑，白是白。但在靠近边界的地方，预测则变得不可能。
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对于研究者和工程师而言，从这些图案中可以得到一个提醒——这是一个提醒，也是一个警告。太过经常的情况是，人们不得不根据少量数据猜测复杂系统在更大范围内的可能行为。当一个系统停留在一个窄小的参数范围内，且正常运作时，工程师做出观测，并期望自己能够通过或多或少的线性外推，将这一套应用在较不常见的行为上。但这些研究分形吸引域边界的科学家已经表明，正常与灾难之间的界线可以远比人们料想的复杂。25“美国东海岸的整个电网是一个振荡系统，在大多数时候是稳定的，而你想要知道当你稍微扰动它一下时会发生什么，”约克这样说道，“这时你需要知道边界在哪里。但事实是，人们对于边界到底是什么样子的根本毫无概念。”
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