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当科学家将关注点从曼德尔布罗特集合本身转向一些代表现实中的物理现象的新问题时，曼德尔布罗特集合边界的种种特性开始走上前台。一个动力系统中的两个或更多个吸引子之间的边界成了某种阈值，它看上去控制了如此多的常见过程，从材料的分解到决策的做出。在这样一个系统中，每个吸引子都有其吸引域，就像河流有其集水的流域。每个吸引域都有其分水的边界。在 20 世纪 80 年代初的一个著名研究团队看来，一个非常有前途的数学和物理学的新研究领域就是分形吸引域边界研究。21
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21约克。一篇有点儿技术性但很好的介绍文章是：Steven W. MacDonald, Celso Grebogi, Edward Ott, and James A. Yorke,“Fractal Basin Boundaries,”Physica 17D (1985), pp. 125–183.
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动力学研究的这个分支关心的不是描述一个系统最终的、稳定的行为，而是一个系统在相互竞争的不同选项之间做出选择的方式。一个像如今已成经典的洛伦茨模型那样的系统只有一个吸引子（当一切尘埃落定时，一种行为占据了主导），并且它是一个混沌吸引子。其他系统则可能最终表现出非混沌的、定态的行为——但有着不止一个可能的定态。分形吸引域边界研究，就是研究那些最终会进入多个非混沌终态之一的系统，并试图预测会是哪一个系统。詹姆斯·约克（他在赋予混沌名字的十年后，又开创了分形吸引域边界研究）就设想了一部假想的弹珠机。22 像大多数弹珠机一样，它有着一根带弹簧的击珠杆。你拉动击珠杆，借力将弹珠击出，送进游戏区。游戏区设有由橡胶内壁和电子反弹器构成的倾斜场景，反弹器的功能是赋予弹珠额外的助力。这种额外的助力很重要：这意味着动能不只是平滑地衰减。为简明起见，这部机器在底部没有挡板，只有两个出口坡道。弹珠必定会经过其中一个坡道落下。
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22约克。
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这是一部决定论式弹珠机——严禁晃动机器。只有一个参数控制了弹珠的最终归宿，那就是击珠杆的初始位置。设想机器被如此设置，使得小幅拉动击珠杆总是意味着弹珠最终会落入右侧坡道，而大幅拉动击珠杆总是意味着弹珠最终会落入左侧坡道。在两者之间，其行为则变得复杂起来，弹珠像往常那样噼里啪啦地在反弹器之间跳来跳去，在持续了各不相同的一段时间后最终落入其中一个坡道。
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现在设想根据击珠杆的每个可能的初始位置及其结果进行绘图。这样得到的只是一条线段。如果某个初始位置导致弹珠从右侧坡道落下，我们就画一个红点，反之则画一个绿点。那么对于这两个作为初始位置的函数的吸引子，我们可以预期发现些什么？
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它们之间的边界被证明是一个分形集合，不一定是自相似的，但有着无穷深度的细节。线段的有些区域会是内部一致的完全红色或绿色，而其他区域，在放大之后，则会是红中有绿，或绿中有红。也就是说，对于击珠杆的某些初始位置，一个微小的改变不会有任何影响。但对于其他位置，哪怕一个任意小的改变也会导致是红还是绿的天差地别。
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加入第二个维度，也就意味着加入第二个参数，第二个自由度。比如，在一部弹珠机中，有人可能会将游戏区的倾斜度也纳入考量。而他会发现自己面对的是某种变幻莫测的复杂性——某种会让负责控制现实世界中多参数系统的稳定性的工程师头疼不已的复杂性，尤其是那些敏感而重要的系统，比如，电网和核电站，这两者因而也成为 20 世纪 80 年代混沌控制相关研究的对象。对于参数 A 的一个值，参数 B 可能会产生某种令人安心的、有序的行为，也就是说，它们处于那些内部一致的稳定区域内。这时工程师就可以做出他们受到的训练所习惯预设的线性研究和图表。不过，有可能不远处的参数 A 的另一个值就会彻底扭转参数 B 的重要性。
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约克会在学术会议上展示了分形吸引域边界的一些图案。有些图案代表了一些会最终落入两个终态之一的受迫单摆的行为——而他的听众都很清楚，受迫单摆是一种以多种面貌常见于我们日常生活的最基本振子。“这样就没有人可以说，我是通过选择单摆而得以投机取巧，”约克会笑着说，“事实上，这是一类你在自然中到处可见的事物。但这里的行为不同于你在文献中见过的任何东西。它是一种超乎想象的分形行为。”23 这些图案由黑、白两个涡旋构成，就像是有人在试着将香草布丁和巧克力布丁在一个厨房搅拌碗中不完全搅拌均匀的过程中停顿过几次。为了生成这样的图案，他的计算机遍历了一个 1000×1000 的网格，其中每个点都代表了单摆的一个不同的初始位置，然后他将结果绘制成图：根据单摆最终落入的定态，将每个点标记为黑色或白色。这两个涡旋是吸引域，它们由于相同的牛顿运动方程而混合、搅拌在一起，而所得的结果是边界占据了大头。通常情况下，超过四分之三的点都属于边界。24
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23约克，见于他在 1986 年 4 月 10 日在马里兰州贝塞斯达的美国国家卫生研究院举办的生物动力学和理论医学研讨会上的发言。
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24约克。
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© James A. Yorke
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分形吸引域边界
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即便一个动力系统的长期行为不是混沌的，混沌也可以出现在其中一类稳定行为与另一类稳定行为之间的边界上。常常是，一个动力系统拥有不止一个均衡状态，比如一个摆锤最终可为置于底座上的两块磁铁之一所吸引的单摆。每个均衡状态都是一个吸引子，而两个吸引子之间的边界可以是复杂但平滑的（左图）。或者，边界也可以是复杂且不平滑的。前述单摆的相空间图便呈现出高度分形的黑白错落分布（右图）。这个系统最终必定会落入两个可能定态之一。对于有些初始条件，其结果是很好预测的——黑是黑，白是白。但在靠近边界的地方，预测则变得不可能。
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对于研究者和工程师而言，从这些图案中可以得到一个提醒——这是一个提醒，也是一个警告。太过经常的情况是，人们不得不根据少量数据猜测复杂系统在更大范围内的可能行为。当一个系统停留在一个窄小的参数范围内，且正常运作时，工程师做出观测，并期望自己能够通过或多或少的线性外推，将这一套应用在较不常见的行为上。但这些研究分形吸引域边界的科学家已经表明，正常与灾难之间的界线可以远比人们料想的复杂。25“美国东海岸的整个电网是一个振荡系统，在大多数时候是稳定的，而你想要知道当你稍微扰动它一下时会发生什么，”约克这样说道，“这时你需要知道边界在哪里。但事实是，人们对于边界到底是什么样子的根本毫无概念。”
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25类似地，在一部旨在向工程师介绍混沌的教科书中，H. B. 斯图尔特和 J. M. 汤普森也警告说：“囿于自己所熟悉的、一个线性系统所给出的那种独特回应所带来的虚假的安全感，忙碌的分析师或实验科学家一看到一次模拟最终进入了一个稳定的周期性循环，就高呼‘尤里卡，这就是解，没错了’，而没有耐心再从其他不同的初始条件探索其结果。为了避免潜在的危险错误和灾难，产业工程师必须准备好将更大比例的努力放在探索自己的系统在所有范围内的动力学回应上。”H. B. Stewart and J. M. Thompson, Nonlinear Dynamics and Chaos (Chichester: Wiley, 1986), p. xiii.
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分形吸引域边界也触及了理论物理学中的一些深层次问题。相变最重要的是阈值，而派特根和里希特考察了一种得到最深入研究的相变——物质的非磁体–磁体相变。他们所给出的这两个吸引子之间的边界的图案展现出了尤其美丽的复杂性，看上去如此自然，“花菜”形状上长着越来越缠结在一起的花球和纹路。随着他们变化参数值，并放大细节，其中一幅图看上去变得越来越随机，然后突然之间，出乎人们的意料，在一个错乱无章的区域的中心出现了一个熟悉的扁圆形状，上面还长着一个个凸起：那正是曼德尔布罗特集合，周身上下，分毫不差。这是普适性的另一个标志。“或许我们真的应该相信魔法。”他们不禁这样写道。26
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26The Beauty of Fractals, p. 136.
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迈克尔·巴恩斯利则选取了一条不同的道路。他思考的是大自然自己的图像，尤其是生物体所生成的图样。他进行实验，尝试朱利亚集合及其他过程，试图找出生成越来越多变化的方法。最终，他选择将随机性作为一种为自然界的形状建模的新方法的基础。在写论文时，他将这种方法称为“借助迭代函数系统的分形建构通用方法”。27 不过，在日常谈论它时，他则称之为“混沌游戏”。
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27例见：“Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals,”Proceedings of the Royal Society of London A 399 (1985), pp. 243–275.
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要想快速地玩这个混沌游戏，你需要一部带图形显示器的计算机以及一个随机数生成器，但在原则上，一张纸和一枚硬币便堪使用。你在纸上某处选取一个初始点，随便哪里都可以。你设定两条规则，一条正面规则和一条反面规则。这样的规则将告诉你如何在一个点旁边做出另一个点：比如，“往东北方移动两英寸”，否则“缩短距中心 25% 的距离”。现在你开始掷硬币，并在硬币正面朝上时应用正面规则，在反面朝上时应用反面规则，如此这般做出新的点。如果你舍弃头五十个点，就像玩二十一点的庄家在新的一局开始时盖掉头几张牌一样，你就会发现混沌游戏生成的不是一片随机的点，而是一个形状，并且随着游戏深入进行，它会变得越来越清晰。
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巴恩斯利的核心洞见是这样的：朱利亚集合及其他分形形状被视为一个决定论式过程的结果自然没错，但它们其实有着另一个同样成立的身份，即作为一个随机过程的极限。他提出，作为类比，我们不妨想象一幅用铅笔画在房间地板上的英国地图。一位测量员会发现，利用平常的工具，他将难以测量这些怪异形状的面积，毕竟它们有着分形的海岸线。但设想你朝空中一粒接一粒地扔米粒，让它们随机落在地板上，然后统计落在地图之内的米粒数量。随着时间推进，其结果开始逼近这些形状的面积，也就是作为一个随机过程的极限。换用动力学的语言，巴恩斯利的这些形状被证明其实是吸引子。
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混沌游戏利用了某些图案的这样一种分形性质，即它们是由主图案的缩小副本在不同尺度上层层拼凑而成的。设定一套随机迭代的规则，这个行为便把握到了关于一个形状的某种全局信息，而反复地、随机地应用它们，则是将这一信息一再复述出来，而不顾及尺度。在这个意义上，一个形状越分形，相应的规则就越简单。巴恩斯利很快发现，自己可以生成曼德尔布罗特书中所有如今已成经典的分形。曼德尔布罗特当初所用的方法属于一种无穷渐进的构造和精细化。比如，对于科赫雪花或谢尔平斯基地毯，你需要移除部分线段而代之以特定形状。相反，巴恩斯利借助混沌游戏生成的图案，一开始只是隐隐约约的影子，后来才变得越来越清晰。这里不再需要精细化过程，所需的只是一套以某种方式编码了最终形状的规则。
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巴恩斯利及其同事此时开始了一个看上去没有尽头的项目，用这种方法复制各种图案，乃至现实中的卷心菜、霉斑和泥点。这里的关键问题是如何进行逆向破解：给定一个具体形状，如何选择相应的一套规则？而答案，即他所谓的“拼贴画定理”，描述起来是如此简单，以至于有时候人们在听到后还认为这必定是在开玩笑。事实上，你首先需要将自己想要复制的形状描画出来。巴恩斯利当初就选择了一片夹在书中很久、颜色已经发黑的铁角蕨叶片作为自己第一批实验的对象。然后利用计算机终端和鼠标作为控制设备，你将这个形状的缩小副本叠加到原始形状上面，如有必要，旋转其角度，使之刚好与其局部相吻合。一个高度分形的形状的缩小副本可以很容易就与原始形状相吻合，分形程度越低，则越不容易做到这一点，但如果允许某种程度的近似，那么所有形状都可以做到这一点。而这个变换过程正是你需要的一套规则。