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约克会在学术会议上展示了分形吸引域边界的一些图案。有些图案代表了一些会最终落入两个终态之一的受迫单摆的行为——而他的听众都很清楚，受迫单摆是一种以多种面貌常见于我们日常生活的最基本振子。“这样就没有人可以说，我是通过选择单摆而得以投机取巧，”约克会笑着说，“事实上，这是一类你在自然中到处可见的事物。但这里的行为不同于你在文献中见过的任何东西。它是一种超乎想象的分形行为。”23 这些图案由黑、白两个涡旋构成，就像是有人在试着将香草布丁和巧克力布丁在一个厨房搅拌碗中不完全搅拌均匀的过程中停顿过几次。为了生成这样的图案，他的计算机遍历了一个 1000×1000 的网格，其中每个点都代表了单摆的一个不同的初始位置，然后他将结果绘制成图：根据单摆最终落入的定态，将每个点标记为黑色或白色。这两个涡旋是吸引域，它们由于相同的牛顿运动方程而混合、搅拌在一起，而所得的结果是边界占据了大头。通常情况下，超过四分之三的点都属于边界。24
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23约克，见于他在 1986 年 4 月 10 日在马里兰州贝塞斯达的美国国家卫生研究院举办的生物动力学和理论医学研讨会上的发言。
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24约克。
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© James A. Yorke
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分形吸引域边界
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即便一个动力系统的长期行为不是混沌的，混沌也可以出现在其中一类稳定行为与另一类稳定行为之间的边界上。常常是，一个动力系统拥有不止一个均衡状态，比如一个摆锤最终可为置于底座上的两块磁铁之一所吸引的单摆。每个均衡状态都是一个吸引子，而两个吸引子之间的边界可以是复杂但平滑的（左图）。或者，边界也可以是复杂且不平滑的。前述单摆的相空间图便呈现出高度分形的黑白错落分布（右图）。这个系统最终必定会落入两个可能定态之一。对于有些初始条件，其结果是很好预测的——黑是黑，白是白。但在靠近边界的地方，预测则变得不可能。
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对于研究者和工程师而言，从这些图案中可以得到一个提醒——这是一个提醒，也是一个警告。太过经常的情况是，人们不得不根据少量数据猜测复杂系统在更大范围内的可能行为。当一个系统停留在一个窄小的参数范围内，且正常运作时，工程师做出观测，并期望自己能够通过或多或少的线性外推，将这一套应用在较不常见的行为上。但这些研究分形吸引域边界的科学家已经表明，正常与灾难之间的界线可以远比人们料想的复杂。25“美国东海岸的整个电网是一个振荡系统，在大多数时候是稳定的，而你想要知道当你稍微扰动它一下时会发生什么，”约克这样说道，“这时你需要知道边界在哪里。但事实是，人们对于边界到底是什么样子的根本毫无概念。”
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25类似地，在一部旨在向工程师介绍混沌的教科书中，H. B. 斯图尔特和 J. M. 汤普森也警告说：“囿于自己所熟悉的、一个线性系统所给出的那种独特回应所带来的虚假的安全感，忙碌的分析师或实验科学家一看到一次模拟最终进入了一个稳定的周期性循环，就高呼‘尤里卡，这就是解，没错了’，而没有耐心再从其他不同的初始条件探索其结果。为了避免潜在的危险错误和灾难，产业工程师必须准备好将更大比例的努力放在探索自己的系统在所有范围内的动力学回应上。”H. B. Stewart and J. M. Thompson, Nonlinear Dynamics and Chaos (Chichester: Wiley, 1986), p. xiii.
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分形吸引域边界也触及了理论物理学中的一些深层次问题。相变最重要的是阈值，而派特根和里希特考察了一种得到最深入研究的相变——物质的非磁体–磁体相变。他们所给出的这两个吸引子之间的边界的图案展现出了尤其美丽的复杂性，看上去如此自然，“花菜”形状上长着越来越缠结在一起的花球和纹路。随着他们变化参数值，并放大细节，其中一幅图看上去变得越来越随机，然后突然之间，出乎人们的意料，在一个错乱无章的区域的中心出现了一个熟悉的扁圆形状，上面还长着一个个凸起：那正是曼德尔布罗特集合，周身上下，分毫不差。这是普适性的另一个标志。“或许我们真的应该相信魔法。”他们不禁这样写道。26
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26The Beauty of Fractals, p. 136.
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迈克尔·巴恩斯利则选取了一条不同的道路。他思考的是大自然自己的图像，尤其是生物体所生成的图样。他进行实验，尝试朱利亚集合及其他过程，试图找出生成越来越多变化的方法。最终，他选择将随机性作为一种为自然界的形状建模的新方法的基础。在写论文时，他将这种方法称为“借助迭代函数系统的分形建构通用方法”。27 不过，在日常谈论它时，他则称之为“混沌游戏”。
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27例见：“Iterated Function Systems and the Global Construction of Fractals,”Proceedings of the Royal Society of London A 399 (1985), pp. 243–275.
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要想快速地玩这个混沌游戏，你需要一部带图形显示器的计算机以及一个随机数生成器，但在原则上，一张纸和一枚硬币便堪使用。你在纸上某处选取一个初始点，随便哪里都可以。你设定两条规则，一条正面规则和一条反面规则。这样的规则将告诉你如何在一个点旁边做出另一个点：比如，“往东北方移动两英寸”，否则“缩短距中心 25% 的距离”。现在你开始掷硬币，并在硬币正面朝上时应用正面规则，在反面朝上时应用反面规则，如此这般做出新的点。如果你舍弃头五十个点，就像玩二十一点的庄家在新的一局开始时盖掉头几张牌一样，你就会发现混沌游戏生成的不是一片随机的点，而是一个形状，并且随着游戏深入进行，它会变得越来越清晰。
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巴恩斯利的核心洞见是这样的：朱利亚集合及其他分形形状被视为一个决定论式过程的结果自然没错，但它们其实有着另一个同样成立的身份，即作为一个随机过程的极限。他提出，作为类比，我们不妨想象一幅用铅笔画在房间地板上的英国地图。一位测量员会发现，利用平常的工具，他将难以测量这些怪异形状的面积，毕竟它们有着分形的海岸线。但设想你朝空中一粒接一粒地扔米粒，让它们随机落在地板上，然后统计落在地图之内的米粒数量。随着时间推进，其结果开始逼近这些形状的面积，也就是作为一个随机过程的极限。换用动力学的语言，巴恩斯利的这些形状被证明其实是吸引子。
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混沌游戏利用了某些图案的这样一种分形性质，即它们是由主图案的缩小副本在不同尺度上层层拼凑而成的。设定一套随机迭代的规则，这个行为便把握到了关于一个形状的某种全局信息，而反复地、随机地应用它们，则是将这一信息一再复述出来，而不顾及尺度。在这个意义上，一个形状越分形，相应的规则就越简单。巴恩斯利很快发现，自己可以生成曼德尔布罗特书中所有如今已成经典的分形。曼德尔布罗特当初所用的方法属于一种无穷渐进的构造和精细化。比如，对于科赫雪花或谢尔平斯基地毯，你需要移除部分线段而代之以特定形状。相反，巴恩斯利借助混沌游戏生成的图案，一开始只是隐隐约约的影子，后来才变得越来越清晰。这里不再需要精细化过程，所需的只是一套以某种方式编码了最终形状的规则。
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巴恩斯利及其同事此时开始了一个看上去没有尽头的项目，用这种方法复制各种图案，乃至现实中的卷心菜、霉斑和泥点。这里的关键问题是如何进行逆向破解：给定一个具体形状，如何选择相应的一套规则？而答案，即他所谓的“拼贴画定理”，描述起来是如此简单，以至于有时候人们在听到后还认为这必定是在开玩笑。事实上，你首先需要将自己想要复制的形状描画出来。巴恩斯利当初就选择了一片夹在书中很久、颜色已经发黑的铁角蕨叶片作为自己第一批实验的对象。然后利用计算机终端和鼠标作为控制设备，你将这个形状的缩小副本叠加到原始形状上面，如有必要，旋转其角度，使之刚好与其局部相吻合。一个高度分形的形状的缩小副本可以很容易就与原始形状相吻合，分形程度越低，则越不容易做到这一点，但如果允许某种程度的近似，那么所有形状都可以做到这一点。而这个变换过程正是你需要的一套规则。
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“一方面，如果图像很复杂，那么规则也会很复杂，”巴恩斯利说道，“但另一方面，如果对象有着一种隐藏的分形秩序（而贝努瓦的核心洞见之一是，自然界的大多数东西并没有这样一种隐藏秩序），那么我们就有可能利用少量规则来编码它。这样的模型因而比一个利用欧氏几何构造的模型更为有趣，因为我们都知道，当你观察一片树叶的边缘时，你是不会看到直线的。”28 他利用一部小型台式计算机生成的第一片蕨叶，与他小时候读过的那本蕨类图书中的图像几乎一般不二。“那是一个令人惊愕的图像，方方面面都没有问题。随便哪位生物学家都可以很容易就辨认出它是什么。”
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28巴恩斯利。
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巴恩斯利进而主张，在某种意义上，大自然必定也在进行着她自己的混沌游戏。“编码了一种蕨类植物的孢子只带有这么多信息，”他说道，“因而这种蕨类植物所能长到的精细程度也有一个限度。我们能够找到用来描述它的简明扼要的对应信息，这事并不奇怪。不这样才奇怪呢。”
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© Michael Barnsley
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混沌游戏
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每一个新的点都是随机做出的，但慢慢地，一片蕨叶的图像浮现了出来。所有的必要信息都蕴含在一套简单规则中。
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