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每个新的岛屿分子会被自己的螺旋和喷火般的放射物所包围，而这些螺旋和放射物不可避免又会揭示出更小的岛屿分子，总是相似但不完全一样，似乎在响应某个要求无穷变化的命令，它们又可以说是一个微缩化的奇迹，因为其中的每一个新细节都保证是一个具体而微的独立宇宙。
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“曾经，一切都是横平竖直的几何直线风格。”海因茨 - 奥托·派特根如是说。14 他说的是现代艺术。“比如，约瑟夫·阿尔贝斯的作品尝试探索色彩之间的关系，而它们本质上不过是不同颜色的色块上下叠加在一起。这些东西一度非常流行。但看一下现在，它们似乎已经过气了，人们不再喜欢这类作品。在德国，有许多包豪斯风格的大型住宅小区，但现在住户纷纷离开，他们不喜欢住在这种住宅里面。当下社会厌恶我们对于自然的概念的某些层面，在我看来，这当中其实有着深层次的原因。”派特根一边说着，一边帮助一位客人挑选一些五彩缤纷的图案，它们是曼德尔布罗特集合、朱利亚集合及其他复杂迭代过程的局部放大图。在他在加州大学圣克鲁兹分校的小办公室里，他有各式幻灯片、大的透明投影片，甚至一本曼德尔布罗特集合日历可供挑选。“这种深层次的热情源自这样一种看待自然的不同视角。什么是自然对象的真实属性？比方说，树木，下面哪一点更重要？它们是直线，还是分形对象？”与此同时，在美国康奈尔大学，约翰·哈伯德疲于应付商业需求。15 数以百计的信件如雪片般涌进数学系，要求得到曼德尔布罗特集合的图片，约翰·哈伯德意识到自己需要准备一些样片和价目表。数十种图像已经被计算出来，并存储在他的计算机里，在他的一些还记得技术细节的研究生的帮助下，随时可进行展示。但当时最精彩的图案（有着最精细的分辨率以及最生动的着色）还是出自两个德国人——派特根和彼得·H. 里希特，及其在德国不来梅大学的科学家团队之手，他们的此项工作还得到了当地一家银行的热情资助。
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14派特根。
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15哈伯德。
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派特根和里希特，一位数学家和一位物理学家，纷纷将自己的学术兴趣转向了曼德尔布罗特集合。在他们看来，这是一个思想宝藏：一种现代的艺术哲学、一种表明实验在数学中所扮演的新角色的证明、一种向广大公众介绍复杂系统的科普手段。他们出版漂亮的图录和图书，带着自己的计算机图片展在世界各地旅行，随时找机会展出。里希特当初从物理学转向复杂系统，中间途经了化学和生物化学，并经由了研究生物途径中的振荡现象。16 在一系列讨论免疫系统以及糖酵解途径中的此类现象的论文中，他发现，振荡常常决定了一些过去习惯被视为静态的过程（毕竟活体不容易被打开进行实时研究）的动力学。里希特一直在自己办公室的窗台上夹着一部保养良好的双摆，这是他的“宠物动力系统”，由其大学的机工车间专门为他定制。时不时地，他会随手催动双摆做出混沌的、无节律的摆动，而他也可以在一部计算机上模拟出来这样的运动。双摆对初始条件的依赖是如此敏感，以至于一英里 17 外一滴雨的微弱引力会在不到五十或六十个周期，或大约两分钟内就足以影响到其运动。他所模拟的双摆相空间的彩色图案揭示出了相互交错的周期性区域和混沌区域，他也使用相同的图像化技术来展示，比如说，在某种理论下物质的磁相变的各自吸引区域，以及来探索曼德尔布罗特集合。
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16里希特。
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171 英里≈ 1.609 344 千米。——译者注
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对于他的同事派特根来说，复杂性研究提供了一个在科学中开创一些新传统的机会，而不仅仅是解决一些问题的方式。“在一个像这样的全新领域中，你可以从今天着手解决问题，而如果你是一名优秀的科学家，你可能花上几天、一周或一个月就可以找到一些有趣的解答。”派特根如是说。18 该学科是非结构化的。
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18派特根。
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“在一个结构化的学科中，大家都清楚什么是已知的、什么是未知的、什么是有人试过但徒劳无功的。这时，你需要研究一个已知是一个问题的问题，否则你会白忙一场。但一个已知是一个问题的问题必定会很难，否则它早就被人解决了。”
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派特根并不像其他数学家那样对使用计算机进行实验的做法多少感到心有疑虑。毫无疑问，每个结论必定最终要通过标准的证明方法变得严谨，不然的话，这就不是数学了。而在显示屏上看到了一个图像并不能保证，即使换成定理和证明的语言，它也确实存在。但现在我们有机会看到这个图像，这一点已经足以改变做数学的方式。派特根相信，计算机探索赋予了数学家自由去采取一种更自然的研究方式。一位数学家可以暂时放下严格证明的要求。就像一位物理学家那样，他可以追随实验的引导，而不论实验可能将他带向何方。数值计算的威力以及有助于直觉的视觉线索会提示一些可能前途光明的大道，而让他避免陷入一些死胡同。然后，在新的道路得到开辟，新的对象得到确认后，或有一位数学家可以重拾起严格证明的重担。“严谨性是数学的力量之所在，”派特根说道，“我们可以做出一个绝对有保证的论证——这是数学家永远不想放弃的志业。但你还是可以去考察那些现在可以得到部分理解，至于严格证明，则或许可以留待后人的状况。是的，严谨性很重要，但也不至于只是因为我现在做不到，我就要对有些东西全然放弃。”19
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19派特根。
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到了 20 世纪 80 年代，家用计算机已经拥有足够的计算精度，能够生成有关曼德尔布罗特集合的缤纷图案，而计算机爱好者们也很快发现，在越来越大的放大倍数上探索这些图案会给人一种生动的尺度变换之感。如果把整个曼德尔布罗特集合想象成一个星球大小的对象，那么一部家用计算机既能够展示其全貌，也能够让人一窥其局部特征，而不论它们是城市大小的、建筑大小的、房间大小的、书本大小的、字母大小的、细菌大小的，乃至原子大小的。看着这样一些图案，人们发现，所有尺度上的景观有着相似的结构，但每个尺度上的景观又不完全一样，而且所有这些微观景观都是通过相同的少量计算机代码生成的。20
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20一个曼德尔布罗特集合生成程序只需几个关键部分。其主发动机是一个循环指令，取其初始复数，并对其应用一定的算术规则。对于曼德尔布罗特集合来说，其规则是这样的：，其中 z 始终从 0 开始，c 则是要检验的那个点所对应的复数。因此，先取 0，让它自己乘以自己，再加上初始复数；取上次计算的结果（即那个初始复数），让它自己乘以自己，再加上初始复数；取新的结果，让它自己乘以自己，再加上初始复数；如此反复。复数的算术其实简单明了。一个复数由两个部分构成：比如，2 + 3i（对应于复平面上位于东 2 北 3 的那个点）。要将两个复数相加，你只需将它们的实部相加，得到一个新的实部，同时将它们的虚部相加，得到一个新的虚部。比如，要将两个复数相乘，你则需要将其中一个复数的各个部分分别乘以另一个复数的各个部分，然后将四个结果加起来。根据复数的原始定义，，所以结果中的平方项可以合并进另一项。比如，为了适时跳出这个循环，程序需要时刻留意这个运行过程中的结果。如果结果趋于无穷，离复平面的原点越来越远，那么要检验的那个点就不属于曼德尔布罗特集合；比如，如果它的实部或虚部变得大于 2 或小于 -2，那么它无疑在趋于无穷，这时程序就可以跳出循环。但如果程序重复循环了许多次，结果都不大于 2，那么那个点就是曼德尔布罗特集合的一部分。至于要迭代多少次，这取决于放大倍数。就个人计算机能够达到的放大倍数而言，100 次或 200 次已经不算少，1000 次则是非常安全的了。程序必须对一个网格中成千上万个点中的每一个都重复这样的迭代过程，而这个网格的尺度还可根据放大倍数加以调整。然后程序展示其结果。属于曼德尔布罗特集合的点可以标记成黑色，否则标记为白色。或者为了得到一个更悦目的图案，这些白点可以用不同颜色进一步加以区分。比如，如果迭代过程在重复 10 次后跳出，这个点可以标记为红色；重复了 20 次的点，标记为橙色；重复了 40 次的点，标记为黄色；如此等等。颜色和区间点的选择可视程序员的喜好而定。这些颜色揭示了曼德尔布罗特集合外的附近区域的等高线。
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边界是一个曼德尔布罗特集合生成程序花费其绝大部分时间，做出其所有妥协退让的地方。在那里，即便在 100 次、1000 次或 10 000 次的迭代过后还未跳出，程序仍无法绝对确定某个点接下来也会一如以往。谁知道在第一百万次迭代时会发生什么呢？所以那些生成了最惊人、最细致入微的曼德尔布罗特集合图案的程序，都跑在大型机或专业用于并行处理的计算机上，借助其中数以千计的个体电“脑”同步进行相同的算术运算。边界也是点最难摆脱曼德尔布罗特集合的吸引的地方。就仿佛它们在相互竞争的两个吸引子之间犹豫不决，一个近在咫尺，另一个则相当于远在天边发出召唤。
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当科学家将关注点从曼德尔布罗特集合本身转向一些代表现实中的物理现象的新问题时，曼德尔布罗特集合边界的种种特性开始走上前台。一个动力系统中的两个或更多个吸引子之间的边界成了某种阈值，它看上去控制了如此多的常见过程，从材料的分解到决策的做出。在这样一个系统中，每个吸引子都有其吸引域，就像河流有其集水的流域。每个吸引域都有其分水的边界。在 20 世纪 80 年代初的一个著名研究团队看来，一个非常有前途的数学和物理学的新研究领域就是分形吸引域边界研究。21
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21约克。一篇有点儿技术性但很好的介绍文章是：Steven W. MacDonald, Celso Grebogi, Edward Ott, and James A. Yorke,“Fractal Basin Boundaries,”Physica 17D (1985), pp. 125–183.
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动力学研究的这个分支关心的不是描述一个系统最终的、稳定的行为，而是一个系统在相互竞争的不同选项之间做出选择的方式。一个像如今已成经典的洛伦茨模型那样的系统只有一个吸引子（当一切尘埃落定时，一种行为占据了主导），并且它是一个混沌吸引子。其他系统则可能最终表现出非混沌的、定态的行为——但有着不止一个可能的定态。分形吸引域边界研究，就是研究那些最终会进入多个非混沌终态之一的系统，并试图预测会是哪一个系统。詹姆斯·约克（他在赋予混沌名字的十年后，又开创了分形吸引域边界研究）就设想了一部假想的弹珠机。22 像大多数弹珠机一样，它有着一根带弹簧的击珠杆。你拉动击珠杆，借力将弹珠击出，送进游戏区。游戏区设有由橡胶内壁和电子反弹器构成的倾斜场景，反弹器的功能是赋予弹珠额外的助力。这种额外的助力很重要：这意味着动能不只是平滑地衰减。为简明起见，这部机器在底部没有挡板，只有两个出口坡道。弹珠必定会经过其中一个坡道落下。
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22约克。
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这是一部决定论式弹珠机——严禁晃动机器。只有一个参数控制了弹珠的最终归宿，那就是击珠杆的初始位置。设想机器被如此设置，使得小幅拉动击珠杆总是意味着弹珠最终会落入右侧坡道，而大幅拉动击珠杆总是意味着弹珠最终会落入左侧坡道。在两者之间，其行为则变得复杂起来，弹珠像往常那样噼里啪啦地在反弹器之间跳来跳去，在持续了各不相同的一段时间后最终落入其中一个坡道。
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现在设想根据击珠杆的每个可能的初始位置及其结果进行绘图。这样得到的只是一条线段。如果某个初始位置导致弹珠从右侧坡道落下，我们就画一个红点，反之则画一个绿点。那么对于这两个作为初始位置的函数的吸引子，我们可以预期发现些什么？
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它们之间的边界被证明是一个分形集合，不一定是自相似的，但有着无穷深度的细节。线段的有些区域会是内部一致的完全红色或绿色，而其他区域，在放大之后，则会是红中有绿，或绿中有红。也就是说，对于击珠杆的某些初始位置，一个微小的改变不会有任何影响。但对于其他位置，哪怕一个任意小的改变也会导致是红还是绿的天差地别。
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加入第二个维度，也就意味着加入第二个参数，第二个自由度。比如，在一部弹珠机中，有人可能会将游戏区的倾斜度也纳入考量。而他会发现自己面对的是某种变幻莫测的复杂性——某种会让负责控制现实世界中多参数系统的稳定性的工程师头疼不已的复杂性，尤其是那些敏感而重要的系统，比如，电网和核电站，这两者因而也成为 20 世纪 80 年代混沌控制相关研究的对象。对于参数 A 的一个值，参数 B 可能会产生某种令人安心的、有序的行为，也就是说，它们处于那些内部一致的稳定区域内。这时工程师就可以做出他们受到的训练所习惯预设的线性研究和图表。不过，有可能不远处的参数 A 的另一个值就会彻底扭转参数 B 的重要性。
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