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他们受限于当时科学中学术传播零星破碎的倾向，尤其是在一个横跨众多现有领域的新学科中。常常是，他们根本不知道自己究竟是身处新领域，还是旧领域。而对于他们的茫然失措，约瑟夫·福特，一位来自美国佐治亚理工学院的混沌研究倡导者，提供了尤为宝贵的指引。福特很早就认定非线性动力学是物理学的未来（并且是其整个未来），并长久以来致力于充当相关论文信息的交换中心的角色。12 他自己的研究兴趣是非耗散系统的混沌，也就是天体系统或粒子物理所涉及的混沌。他对于苏联学者正在进行的研究有着非同寻常的密切了解，并积极跟任何与这个新事业在哲学精神上哪怕有一丝共通之处的人建立联系。他到处都有朋友。其他科学家只要将自己有关非线性科学的论文寄给福特，就是让自己的工作在经过他的总结之后加入其日益增长的摘要库中。圣克鲁兹的这些学生听说了福特的摘要库，并制作了一种索要论文预印本复件的固定格式明信片。很快，预印本如潮水般涌来。
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12福特。
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他们意识到，对于奇怪吸引子，可以提出许多类型的问题。13 它们的特征性形状是什么？它们的拓扑结构是什么？对于相关动力系统的物理学，这样的几何学又能揭示出些什么？这样一种直接探索的思路也是肖在一开始时所采取的。当时的大多数数学文献都在直接讨论结构，但数学家的研究方式在肖看来太过枝节——仍然太多只见树木而不见森林。随着他广泛阅读文献，他觉得数学家由于失于他们自己此时借助新计算工具的传统，已经陷入轨线结构的那些具体复杂性当中，诸如这里的无穷多轨线，那里的不连续点。数学家一直以来并不特别关心模拟计算机的那种模糊性——而在物理学家看来，无疑正是这种模糊性控制着现实世界中的真实系统。肖在他的示波器上看到的不是一条条单个的轨线，而是一条规定着这些轨线的包络线。正是这条包络线随着他缓缓转动旋钮而发生改变。他无法用数学拓扑的语言就这里的折叠和弯曲给出一个严格的解释。但他开始感到自己有点儿理解它们了。
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13肖，法默。
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物理学家想做的是测量。那么他们要在这些变幻不定的动态图像中测量些什么呢？肖及其他人试着看向那些使得奇怪吸引子如此吸引人的特殊性质，比如，对初始条件的敏感依赖——那种使原本相邻的轨道相互分离的倾向。当初正是这个性质让洛伦茨意识到，决定论式的长期天气预报是件不可能之事。但上哪儿去找能测量这样一种性质的卡尺？不可预测性本身是可测量的吗？
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这个问题的答案在于一个出自俄国人的概念——李雅普诺夫指数。这个数给出了一种测量与诸如不可预测性之类的概念刚好对应的拓扑性质的方法。一个系统的李雅普诺夫指数给出了一种测量在一个吸引子的相空间中，那些相互冲突的拉伸、收缩和折叠效应的方法。它们就所有那些导致一个系统趋向稳定或不稳定的属性给出了一个综合图景。一个大于零的指数意味着拉伸——原本相邻的点会分开。一个小于零的指数意味着收缩。对于一个定点吸引子，所有不同方向上的李雅普诺夫指数都是负数，因为任意方向上的点都要最终收敛到这个定态。一个体现为周期性轨道（极限环）的吸引子则有刚好一个方向上的指数为零，其他方向上的指数为负数。而事实证明，一个奇怪吸引子需要至少一个正的李雅普诺夫指数。
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原来他们自己并没有发明这个概念，这不免让圣克鲁兹分校的这些学生感到有点儿失落，但在学习如何测量李雅普诺夫指数，并将它与其他重要属性联系起来的过程中，他们以一些最贴近实践的方式发展了它。他们利用计算机动画来制作影片，形象表明秩序和混沌在动力系统中并行不悖。他们的分析生动展示了有些系统如何能在一个方向上制造出无序，同时在另一个方向上保持有条不紊。其中一段影片就展示了，随着系统随时间演进，一个奇怪吸引子上的一小撮紧密相邻的点（代表有着微小不同的初始条件）会如何变化。这一小撮点开始失去焦点，分散开来。它们起先挤在一起，仿佛就是一个点，然后散布成不大的一团。对于某些吸引子，这一团很快会四散开来。这样的吸引子在流体混合上就很有效。而对于其他吸引子，分散只会在特定方向上发生。这一团就会拉伸成带状——在一个轴上表现出混沌，在另一个轴上则表现出秩序。就仿佛在这个系统中，一种有序的冲动和一种无序的冲动原本纠缠在一起，而现在它们解开了。一种冲动带来了随机的不可预测性，而另一种冲动则像精准的钟表一般在计时。这两种冲动都可以得到定义和测量。
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这些圣克鲁兹人在混沌研究中留下的最具标志性的印记还牵扯到一个数学兼哲学理论，它被称为信息论，由美国贝尔电话实验室的一位研究员克劳德·香农在 20 世纪 40 年代晚期首先提出。14 香农将他的论文称为“通信的一个数学理论”，但它其实关心的是一个非常特殊的量，称为信息，由此“信息论”的名字固定了下来。这个理论是电子时代的产物。电话线路和无线电波长久以来一直在传递着某种东西，将来的计算机也会将这种东西存储在穿孔卡片或磁带上，并且这种东西既不是知识，也不是意义。其基本单位不是思想或概念，或甚至用以表达它们的字词或数字。这种东西可以是有意义或无意义的，但工程师和数学家可以测量它、传递它，并测试传递的精度。“信息”一词的选择后来被证明无所谓好坏，但当时的人们还是需要提醒自己，他们所使用的是一个专门用语，不含价值判断，不带平常诸如事实、学识、智慧、理解、启蒙之类的意涵。
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14对此（即便在今天看来，仍然相当具有可读性）的经典文本是：Claude E. Shannon and Warren Weaver, The Mathematical Theory of Communication (Urbana: University of Illinois, 1963), with a helpful introduction by Weaver.
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© Julio M.Ottino, University of Massachusetts ast Amherst
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混沌混合
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随着方形混合室的上下室壁开始相对运动，注入流体的一团示踪剂开始快速混合，而更靠近中心一点儿的另一团则根本没怎么混合。在胡利奥·M. 奥蒂诺等人利用真实流体所做的一系列实验中，流体混合（这样的过程广泛见于自然界和产业界，但一直没有得到很好的理解）被证明与混沌的数学密切相关。混合所形成的图样揭示了一种拉伸和折叠，而这可以追溯至斯梅尔的马蹄映射。
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当时的硬件决定了这个理论的模样。由于信息存储在近来被用作二进制数字（binary digit）的电子开关中，比特（bit）于是成为信息的基本度量单位。从一个技术角度看，信息论变成了一个帮助人们理解噪声（体现为随机错误）如何干扰比特流的工具。它给出了一种方式来预测通信线路、CD 光盘或任何编码了语言、声音或图像的技术，以便可靠地传递信息所需的必要传递容量。它提供了一种理论手段来检视不同的纠错方法（比如，利用某些比特作为纠错码）的有效性。它赋予了“冗余”这个关键概念用武之地。用香农信息论的话来说，日常语言拥有超过 50% 的冗余度，也就是说，一半以上的语音或字母严格来说不是传递一条讯息所必需的。我们对这个现象并不陌生，毕竟在一个满是口齿不清者和拼写错误的世界中，日常沟通有赖于冗余。那个著名的速记培训广告（if u cn rd ths msg…）就很好地说明了这一点，而现在信息论让冗余可以得到测量。冗余是一种可预测的偏离随机。日常语言中的冗余一部分在于其语义，而这一部分是难以量化的，取决于人们对于他们的语言和世界的共同知识。正是这一部分使得人们破解填字游戏，把比如以“a”开头的单词补充完整。但其他类型的冗余就要更容易量化了。从统计上看，字母“e”在一个英语单词中出现的可能性要远大于二十六分之一。此外，字母也不是一定要一个个分开来看。知道一个英语单词中的一个字母是“t”，可以让人猜想下一个字母可能是“h”或“o”，而知道两个字母就可以让人猜想第三个字母，如此等等。不同的双字母组和三字母组在一种语言中出现的这种统计倾向性，有助于人们把握这种语言的某种标志性特征。只是借助不同的三字母组的相对出现可能性，计算机就可以生成一段能让人认出来这是一段英语胡话的随机字符串。密码学家长久以来就在利用这样的统计模式来破解简单密码。通信工程师现在则利用它们设计数据压缩方法，通过移除冗余来节省传递或存储所需的空间。在香农看来，诠释这些模式的正确方式应该是这样的：一段日常语言的数据流不全是随机的，其中每个新的比特都部分受制于之前的比特，因而每个新的比特所承载的信息量要小于随机情况下平均每比特所承载的信息量。我们在这样的论述中可以闻到一丝悖论的味道。一段数据流越随机，每个新的比特所承载的信息量就越大。
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除了在技术上可谓顺应这个刚发端的计算机时代而生，香农的信息论也获得了一定的哲学分量，而这个理论对于该领域外人士的一部分意外吸引力可以归功于一个词的选择：熵。正如沃伦·韦弗在一篇对于信息论的经典导读中所说的：“当一个人在通信理论中碰见熵的概念时，他有理由感到相当兴奋——有理由怀疑自己已经把握到了某种可能被证明基础且重要的东西。”15 熵的概念来自热力学，与热力学第二定律有关；这条定律揭示了宇宙及其中的任何孤立系统都在不可逆地滑向一个无序水平不断增加的状态。设想将一个游泳池用某种障碍隔成两半，一半装满水，另一半装满墨；等到游泳池的两半各自静止下来，然后撤去障碍；而单纯通过分子的随机运动，墨和水最终会混合为一体。这样的混合是不可逆的，即便你等到天荒地老、宇宙终结，这也是为什么热力学第二定律如此经常地被用来部分解释时间一去不返。熵描述的正是系统中那种因为热力学第二定律而不断增加的量——混合程度、无序水平、随机性。这个概念在直觉上好把握，但要在现实系统中对它加以测量就不那么容易了。什么样的测试能够可靠地检验两种物质的混合程度？一个容易想到的方式是数出每种物质在某份采样中的分子数量。但要是它们的分布为是–否–是–否–是–否–是–否呢？这样算得的熵再高不过了。我们可以同样数得相同的分子数量，但如果它们的分布为是–否–否–是–是–否–否–是呢？在这里，次序是重要的，而它无法为任何直截了当的计数算法所涵盖。在信息论中，意义及其呈现的问题又使事情变得更加复杂。一个像 01 0100 0100 0010 111 010 11 00 000 0010 111 010 11 0100 0 000 000…这样的序列可能只有在一个既熟悉莫尔斯码又熟悉莎士比亚的人看来才是有序的。16 那么一个奇怪吸引子中那些保持拓扑不变的模式，是不是也是如此呢？
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15Ibid., p. 13.
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16帕卡德。
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在罗伯特·肖看来，奇怪吸引子是一些信息发动机。在他最初、也最宏大的构想中，混沌提供了一种很自然的方式，让信息论当初从热力学借用的那些概念，以新的姿态重新回归了物理科学。对于测量一个系统的熵的问题，集有序和无序于一身的奇怪吸引子引出了一个具有挑战性的新走向。奇怪吸引子成了高效的混合器。它们创造出了不可预测性。它们增加了系统的熵。并且在肖看来，它们无中生有地创造出了信息。
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一天，诺尔曼·帕卡德在阅读《科学美国人》的时候留意到了一则为一项名为路易·雅科奖的论文比赛征文的广告。17 它看上去有点儿不靠谱儿——其出手大方的出资者是一位法国金融家，一直以来在自己钻研一个关于宇宙结构的个人理论（他认为宇宙由层层嵌套的涡旋构成）。这个论文比赛就雅科的研究主题公开征文，内容不限。（“它听上去给人感觉就像一封恐吓信。”法默这样说道。）但比赛的评委令人眼前一亮，个个是法国科学界有头有脸的人物，并且奖金的金额也令人眼睛发光。帕卡德把这则广告拿给肖看。征文的截止日期是 1978 年元旦。
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17这是二进制形式的莫尔斯码，其中 0 代表点，1 代表划，所以翻译过来就是 ALL FORM IS FORMLESS——语出莎士比亚《约翰王》第三幕第一场。——译者注
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当时，这帮人会在圣克鲁兹距离海滩不远的一栋宽敞的老房子里定期聚会。房子里摆放着二手家具和计算机设备，后者大多数是用于解决轮盘赌问题的。肖在那里放了一部钢琴，他会用它演奏巴洛克音乐，或即兴将古典与现代音乐混搭起来。在聚会上，这些物理学家发展出了一套工作方式，先抛出各种想法并基于可行性筛选它们，然后阅读文献，并开始构思自己的论文。最终，他们学会了以一种还算有效率的方式来合作撰写期刊文章，但第一篇成形论文是肖的（也是他日后为数不多的论文之一），并且一如以往地，他一直坚持自己写论文；也同样一如以往地，文章一拖再拖。
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1977 年 12 月，肖离开圣克鲁兹，前往参加纽约科学院第一次为专题讨论混沌举办的学术会议。18 他的超导研究导师负担了他的参会费用，而肖不请自来，得以亲耳聆听这些他原本只是通过他们的作品认识的科学家。达维德·吕埃勒。罗伯特·梅。詹姆斯·约克。这些人让他大开眼界，同样让他大开眼界的还有巴比松酒店的每晚 35 美元的天价房费。聆听他们的发言，肖时而觉得自己有如井底之蛙，一直不过是在重新发明这些人已经考虑得相当深入的思想，时而又觉得自己还是有一个重要的新观点，可以有所贡献。他把自己的信息论论文的未完成初稿带了过来，它们手写在一叠纸上，夹在一个文件夹里，而他试着到处寻找打字机而不得，不论是酒店，还是当地修理店都帮不上忙。最后他又带着文件夹回去了。后来，当他的朋友们恳请他再多说点细节时，他告诉他们，活动的高潮是一场为爱德华·洛伦茨举行的庆祝晚宴，后者此时最终得到了迟到多年的应有的认可。当洛伦茨羞涩地牵着他妻子的手，走进宴会厅时，在场的科学家都起立鼓掌欢迎他。19 肖惊讶地看到这位气象学家脸上满是惶恐。
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18肖。
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19肖，法默。
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