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接下来的问题是放大了多少。肖发现，苏联科学家再次抢在了前面（而肖在不知情的情况下复制了他们的一些工作）。A. N. 柯尔莫哥洛夫和雅科夫·西奈已经就如何从那种牵扯到在相空间中反复拉伸和折叠的表面的几何图景中求得一个系统的“每单位时间的熵”，给出了某种富有启示的数学。21 这种方法的概念核心是，围绕某组初始条件画出某个任意小的格子，就像人们可以在气球表面上画出一个小方格那样，然后计算各种拉伸或折叠对这个格子的影响。比如，它可能在一个方向上拉伸，却在另一个方向上保持不变。其面积的变化就对应于一种关于这个系统的过去的不确定性的引入，以及一种信息量的增加或减少。
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21西奈，个人通信。
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就“信息不过是不可预测性的另一个漂亮说法”而言，这个概念与当时诸如吕埃勒等科学家正在发展的思想并没有太大差别。但信息论的框架使得圣克鲁兹分校的这帮人可以借鉴一整套已经由通信理论研究者加以深入研究的数学推理。比如，在一个原本是决定论式的系统中加入外部噪声的问题，在动力学中是全新的，但它在通信研究领域却不陌生。然而，对于这些年轻科学家来说，其真正的吸引力还不全在数学。当他们谈论生成信息的系统时，他们心里想的是现实世界中模式的自发生成。“处于复杂动力学顶点的是生物演化过程，或思维过程，”帕卡德说道，“从直觉上看，似乎很明确，这些终极复杂的系统是生成信息的。在数十亿年前，有的只是一团团原生质；而现在，在数十亿年后，有了我们。所以信息被创造出来，并被储存在我们的结构中。在个人从幼年起的心智发展中，也很明显，信息不只是积累的，也是生成的——从新建立起来的联系中被创造出来。”22 这样一类谈话无疑会让一个务实的物理学家感到有点儿昏头涨脑。
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22帕卡德。
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不过，他们首先得是修补匠，其次才是哲学家。他们能否修桥补路，从而将自己如此了解的奇怪吸引子与经典物理学的实验联系起来？毕竟，说右–左–右–右–左–右–左–左–左–右是不可预测和生成信息的是一回事，收集一系列真实数据并测量其李雅普诺夫指数、熵和维数则是完全另一回事。尽管如此，比起其他更年长的同事，圣克鲁兹分校的这些物理学家要跟这些思想混得更熟。经过与奇怪吸引子的朝夕相处，他们自信能够在自己日常生活的种种左右摇摆、上下起伏、前后晃荡的现象中认出它们。
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他们有一个会在咖啡店里做的游戏。他们会问：附近最近的奇怪吸引子在哪里？是那块咯咯作响的汽车挡泥板？还是那面迎风飘摆的旗帜？抑或是那片飘来飘去的树叶？“你会认不出某样东西，除非你拥有恰当的隐喻来让你认出它。”肖这样说道，呼应了托马斯·S. 库恩的范式说法。23 没过多久，他们研究相对论的朋友威廉·伯克就很是言之凿凿，称自己车里的速度表是以一种如同奇怪吸引子的非线性方式左右摇摆的。至于肖，他选取了一个物理学家所能想象的最不起眼的动力系统：一个滴水的水龙头（这项实验研究将占用他接下来几年的时间）。在大多数人的想象中，标准的滴水水龙头是稳定周期性的，但稍做实验就可以表明，事情不一定如此。“这是一个其行为从可预测变成不可预测的系统的简单例子，”肖说道，“如果你把它多打开一点点，你就可以见到一个其中滴答的间隔不规则的参数区域。事实证明，在很短的一段时间后，它就不再是一个可预测的模式了。因此，哪怕某样简单如水龙头的东西也可以生成一个具有无穷创造性的模式。”24
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23肖。
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24肖。
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作为一个组织性的生成器，滴水水龙头几乎没有什么好研究的。它生成的只有水滴，并且每一滴都跟上一滴差不多。但对于一个混沌的新手研究者来说，滴水水龙头被证明有着某些优势。每个人对它都已经具有一个心理画面。并且其数据流是不能再简单的一维——由落在不同时间点上的一个个点构成的、有着节奏变化的一串鼓点。这样一些性质都不见于圣克鲁兹的这帮人后来研究的那些系统——比如，人体免疫系统，或者困扰着北边的斯坦福直线加速器中心的、导致相对撞的粒子束性能降低的束–束效应。25 像利布沙贝和斯温尼这样的实验科学家，需要通过在一个稍微更复杂的系统中某处安置一个探针来获取一串一维数据流。而在滴水水龙头中，有的只是这一串数据。并且它甚至不是一种连续变化的速度或温度——而只是一系列前后水滴的时间间隔。
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25法默；一个从动力系统的视角切入免疫系统，并对人体“记住”和识别入侵之敌的能力进行建模的研究是：J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, and Alan S. Perelson,“The Immune System, Adaptation, and Machine Learning,”preprint, Los Alamos National Laboratory, 1986.
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在被要求处理这样一个系统时，一位传统物理学家可能会从建立一个尽可能完备的物理模型着手。控制水滴生成和断裂的过程是可以得到理解的，哪怕它们并不像可能看上去的那样简单。一个重要变量是流速。26（它需要比大多数水动力系统都慢。肖通常面对的情况是每秒 1~10 滴水滴，这相当于 30~300 加仑每十四天的流速。）其他变量还包括流体黏性和表面张力。一滴挂在水龙头上、等着断裂的水滴有着一个复杂的三维形状，而单是这个形状的计算，按照肖的说法，就是“一个需要用到最先进的计算机的计算”。27 此外，这个形状还不是静态的。一滴正在聚拢水的水滴就像一个靠着表面张力盛水的弹性小口袋，一边来回振荡，一边增加质量、膨胀袋壁，直到它越过一个临界点，一落而下。一位试图为滴水问题完全建模的物理学家，在写下一组带有相应边界条件的耦合非线性偏微分方程组，然后试图求解它们的过程中，会发现自己迷失在了越来越复杂的细节中。
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26The Dripping Faucet, p. 4.
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27Ibid.
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另一个思路则是忽略物理学，而只看数据，就仿佛它们出自一个黑箱。给定一连串代表前后水滴的时间间隔的数，一位研究混沌系统的专家能够从中挖出点有用的东西吗？事实证明，人们确实可以设计出一些方法来组织这些数据，并通过它们反推其背后的物理学。这些方法后来也成为利用混沌理论分析现实世界的问题的重要工具。
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但肖的出发点处在这两个极端之间，他建立的是对于一个完备物理模型的某种拙劣模仿。他忽略掉水滴形状，忽略掉复杂的三维运动，而对滴水的物理学做了一个粗略描述。他设想了一个重物挂在一段弹簧上。他设想那个重物随着时间推移而稳步增加重量。随着重量增加，弹簧会拉伸，重物也会越垂越低。当它下垂到某个点时，重物的一部分就会断裂。肖武断地假设，坠落部分的重量会严格取决于下垂的重物在达到断裂点时的速度。
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然后，由于重量的突然变化，剩下的部分自然会随着弹簧上下振荡，这是一种研究生都学过的可用标准方程建模的过程。这个模型的有趣之处（也是唯一的有趣之处，也是使混沌行为变得可能的非线性元素）在于，下一次断裂的时机取决于这样的振荡与稳步增加的重量之间的互动。下落过程可能帮助重物更快达到断裂点，而弹起过程可能略微延缓这个进度。对于一个现实世界的水龙头，其水滴也不都是大小一样的。其大小既取决于流速，也取决于这种振荡的方向。如果一滴水滴在下落过程中开始生成，那么它会更快地断裂坠落。如果它碰巧在弹起过程中开始生成，那么它就将能够在落下之前多装一点儿水。肖的模型足够粗略，描述它只需用到三个微分方程——就像庞加莱和洛伦茨已经表明的，这是生成混沌所需的最少数目。但它会生成现实世界中的水龙头那种程度的复杂性吗？更进一步地，二者会是同一类复杂性吗？
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因此，肖发现自己坐在物理楼的一间实验室里，头上顶着一个巨大的塑料水缸，水流过一根带阀门的水管，钻过一个高质量黄铜喷嘴的 1 毫米喷孔，一滴滴滴落下来。随着水滴落下，它们打断了一束光，隔壁房间里的一部微型计算机于是就记录下每滴水滴经过的时间。与此同时，肖在模拟计算机上运行起自己的那三个微分方程，生成了一系列仿真数据。有一天，他向系里的教员做了某种演示讲解——按照克拉奇菲尔德的说法，这是一次“伪研讨会发言”，因为当时研究生没有资格进行正式的研讨会发言。28 他播放了一段水龙头滴水，水落在一块锡片上滴答作响的录像。然后他让自己的计算机也跑起来，发出不规则的滴滴声，让人听到其中的模式。他一直同时从实验和理论两方面来处理这个问题，此时他的听众可以在这个看上去无序的系统中听到其深层结构。但要想更进一步，这帮人需要找到一种方式，利用从实验中获得的原始数据反推出这些混沌现象背后的方程组和奇怪吸引子。
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28克拉奇菲尔德。
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对于一个更复杂的系统，我们可以设想利用一对变量在图上确定一个点，比如随时间变化的温度或速度。但滴水水龙头给出的只有一个时间间隔序列。于是肖尝试了一种方法，而它可能是圣克鲁兹分校的这帮人对于混沌研究的最聪明、也最影响深远的实践贡献。这是一种为某个不可见的奇怪吸引子重构一个相空间的方法，而且它可适用于任意序列的数据。对于滴水水龙头的数据，肖绘制了一个二维图，其中 x 轴代表两滴水滴之间的时间间隔，y 轴代表下一个时间间隔。因此，如果水滴 1 和水滴 2 之间的间隔是 150 毫秒，水滴 2 和水滴 3 之间的间隔是 150 毫秒，那么肖就会在 150–150 的位置上确定一个点。
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这个方法就是这么简单。如果滴水过程是规则的，就像水的流速缓慢、系统处在其“水钟区域”时的情况，图像相应也会显得乏味。每个点都会落在同一个位置上。整个图像就会只是一个点，或者说，几乎只是一个点。实际上，计算机模拟的滴水水龙头与现实中的滴水水龙头的首要差别是，后者会受到噪声影响，并且极其敏感。“事实证明，它是一个绝佳的地震计，”肖不无反讽地说道，“可以非常有效地拾取到不论是近距离，还是远距离上的噪声。”29 于是肖只好在晚上，在物理楼走廊上脚步最稀少的时候进行他的大部分工作。噪音意味着，他看到的将不是理论所预测的一个点，而是有点儿参差错落的一摊点。
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29肖。
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随着水的流速增加，这个系统会经过一个倍周期分岔。水滴会结对落下。上一个时间间隔可能是 150 毫秒，下一个时间间隔可能就是 80 毫秒。所以图上会出现参差错落的两摊点，一摊以 150–80 为中心，另一摊以 80–150 为中心。真正的考验在这个模式变得混乱时才出现。要是它确实是真正随机的，那么点会散布在图上的各个地方。我们在上一个时间间隔与下一个间隔之间会找不出任何关联。但要是在这些数据中确实隐藏着一个奇怪吸引子，那么它可能就会因为这些参差错落的点形成一些可识别的结构而显露行藏。
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为了看出其中的结构，我们常常需要用到三维图，但这也不成问题。他们的方法可以很容易就扩展到更高维数的作图。我们不只可以以间隔 n 和间隔 n + 1 为坐标，也可以以间隔 n、间隔 n + 1 和间隔 n + 2 为坐标。这是一个把戏，一个花招。通常一个三维图需要用到有关一个系统的三个相互独立变量的知识。而这个把戏则是“买一赠二”。它反映出了这些科学家的这样一个信念，即在表面的无序之下必定深藏着某种秩序，使得它总会找到一个方法，向那些甚至不知道应该测量哪些物理变量，或无法直接测量这些变量的实验科学家透露自己的存在。正如法默所说的：“当你考虑一个变量时，它的演化过程必定受到其他任何与之相互作用的变量的影响。它们的值也必定以某种方式被包含在这个变量的演变历史中，它们的印记必定以某种方式存在其中。”30 在肖的滴水水龙头例子中，这样得到的图像也很好地说明了这一点。尤其是在三维图中，一些模式涌现了出来，它们有点儿像一架在空中写字的飞机在失去控制时所留下的起伏烟迹。肖进而比较了根据实验数据所作的图与根据自己的模拟计算机模型数据所作的图，并发现其中的主要差别在于，真实数据的图像由于受到噪声干扰，总是显得更参差错落。但即便如此，它们的大体结构毫无疑问是相同的。圣克鲁兹分校的这些年轻科学家开始与其他经验丰富的实验科学家（比如哈里·斯温尼，此时他已经来到得克萨斯大学奥斯汀分校担任教职）展开合作，并学会了如何从各式各样的系统中找出其中的奇怪吸引子。这牵扯到将数据嵌入到一个具有足够多维度的相空间中。不久后，弗洛里斯·塔肯斯，这位与达维德·吕埃勒一起最早提出奇怪吸引子概念的数学家，独自为这种从一系列现实数据中重构出一个吸引子的相空间的强大方法奠定了一个数学基础。31 正如无数研究者很快发现的，这种方法从一个新的角度区分了纯粹的噪声与混沌（即通过简单过程生成的有序的无序）。真正随机的数据仍会在这样的相空间中散乱分布，但（决定论式的、暗藏模式的）混沌会把数据聚拢成可见的形状。在所有可能的无序分布中，这时大自然只选中了其中的少数。
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30法默。
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31这些方法经过圣克鲁兹的研究者及其他实验和理论科学家的大幅深化和扩展，已经成为许多不同领域的实验研究方法的支柱之一。来自圣克鲁兹的一个关键提议是：Norman H. Packard, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, and Robert S. Shaw [ 这是论文署名的标准做法，即最重要的放最后 ],“Geometry from a Time Series,”Physical Review Letters 47 (1980), p. 712. 该主题最影响深远的论文是：Floris Takens,“Detecting Strange Attractors in Turbulence,”in Dynamical Systems and Turbulence, Warwick 1980, D.A. Rand and L.S. Young, eds. (Berlin: Springer - Verlag, 1981), pp. 336–381. 对于相空间重构法的一个早期但相当宽泛的综述是：Harold Froehling, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer, Norman H. Packard, and Robert S. Shaw,“On Determining the Dimension of Chaotic Flows,”Physica 3D (1981), pp. 605–617.
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