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在这里，台阶数“必须”是整数，就是我们的量子化条件。这个条件就限制了每级台阶的高度只能是1米，或者1/2米，或者1/3米……而不能是这其间的任何一个数字。
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原子和电子的故事在道理上基本和这个差不多(9) 。我们还记得，在卢瑟福模型里，电子像行星一样绕着原子核运行。当电子离核最近的时候，它的能量最低，可以看成是在“平地”上的状态。但是，一旦电子获得了特定的能量，它就获得了动力，向上“攀登”一级或几级台阶，到达一个新的轨道。当然，如果没有了能量的补充，它又将从那个高处的轨道上掉落下来，一直回到“平地”状态为止，同时把当初的能量再次以辐射的形式释放出来。
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关键是，我们现在知道，在这一过程中，电子只能释放或吸收特定的能量（由光谱的巴尔末公式给出），而不是连续不断的。玻尔做出了合理的推断：这说明电子所攀登的“台阶”，它们必须符合一定的高度条件，而不能像经典理论所假设的那样，是连续而任意的。连续性被破坏，量子化条件必须成为原子理论的主宰。
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玻尔现在清楚了，氢原子的光谱线代表了电子从一级特定的台阶跳跃到另一级台阶所释放的能量。因为观测到的光谱线是量子化的，所以电子的“台阶”（或者轨道）必定也是量子化的，它不能连续而取任意值，而必须分成“底楼”“一楼”“二楼”等。在两层“楼”之间，是电子的禁区，它不可能出现在那里，正如一个人不能悬在两级台阶之间飘浮一样。如果现在电子在“三楼”，它的能量用W3 表示，那么当这个电子突发奇想，决定跳到“一楼”（能量W1 ）的期间，它便释放出了W3 －W1 的能量。我们要求大家记住的那个公式再一次发挥作用，W3 －W1 ＝hν。所以这一举动的直接结果就是，一条频率为ν的谱线出现在该原子的光谱上。
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玻尔所有这些思想转化成理论推导和数学表达，并以三篇论文的形式最终发表。这三篇论文（或者也可以说，一篇大论文的三个部分），分别题名为“论原子和分子的构造”（On the Constitution of Atoms and Molecules），“单原子核体系”（Systems Containing Only A Single Nucleus）和“多原子核体系”（Systems Containing Several Nuclei），于1913年3月到9月陆续寄给了远在曼彻斯特的卢瑟福，并由后者推荐发表在《哲学杂志》（Philosophical Magazine ）上。这就是在量子物理历史上划时代的文献，亦即伟大的“三部曲”。
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玻尔原子中的电子跃迁
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这确确实实是一个新时代的到来。如果把量子力学的发展史分为三部分，1900年的普朗克宣告了量子的诞生，那么1913年的玻尔则宣告它进入了青年时代。一个完整的关于原子的理论体系第一次被建造起来，虽然我们将会看到，这个体系还留有浓重的旧世界的痕迹，但它的意义却是无论如何不能低估的。量子第一次使全世界震惊于它的力量，虽然它的意识还有一半仍在沉睡中，虽然它自己仍然置身于旧的物理大厦之内，但它的怒吼已经无疑使整个旧世界摇摇欲坠，并动摇了延绵几百年的经典物理根基。神话中的巨人已经开始苏醒，那些藏在古老城堡里的贵族，颤抖吧！
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(1) 如W. Hallwachs、J.J. Thomson、P. Lenard等。
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(2) 很久之后，科学史家们才发现，在汉斯出生之前，其实爱因斯坦和玛利奇还曾生过一个小女儿，名叫丽莎。但由于经济状况捉襟见肘，两人无力抚养这个女儿，不得不把她送了人。寻找丽莎的下落成为科学史界最为关注的话题之一，不过至今我们仍然对她知之甚少。很多人的推测是，丽莎在被送人后不久，就因为热病而去世了。
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(3) 正式写完是17日，杂志社收到论文是18日。
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(4) 第1篇是1901年发表的关于毛细现象的文章，随后1902年有两篇，1903年和1904年各有一篇。
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(5) 对于更严肃的科学史的读者来说，这里需要指出，爱因斯坦的理论和普朗克的理论出发点是非常不同的。爱因斯坦并非从普朗克的黑体公式出发得到他自己的光量子理论，相反，他甚至一度认为普朗克的黑体公式与光量子是不相容的，于是刻意使用了不同于普朗克h常数的表达方法。但是量子的概念则的确是从普朗克那里继承的。
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(6) 不过，牛顿1666年在引力方面的思想进展是有限的。我们在史话的后面会讨论这个问题。
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(7) 当然，许多人会争论说，牛顿在1665年和1666年的成就其实不相上下，所以1665年也是奇迹年。
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(8) 见1911年10月23日致爱因斯坦的信件。德文的Hexensabbat，是指中世纪传说中女巫与妖魔每年一度的大聚会。
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(9) 当然，事实上要复杂得多，在原子里每级“台阶”并不是一样高的。
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上帝掷骰子吗？：量子物理史话（升级版） [:1700958609]
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上帝掷骰子吗？：量子物理史话（升级版） 4 Into the Mist 白云深处
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上帝掷骰子吗？：量子物理史话（升级版） [:1700958610]
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Part. 1
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应该说，玻尔关于原子结构的新理论出台后，是并不怎么受到物理学家们欢迎的。这个理论在某些人眼中居然怀有推翻麦克斯韦体系的狂妄意图，本身就是大逆不道的。瑞利爵士（我们前面提到过的瑞利—金斯公式的发现者之一）对此表现得完全不感兴趣，J.J.汤姆逊、玻尔在剑桥的导师，拒绝对此发表评论。另一些不那么德高望重的人就直白多了，比如一位物理学家在课堂上宣布：“如果这些要用量子力学才能解释的话，那么我情愿不予解释。”另一些人则声称，要是量子模型是真实的话，他们从此退出物理学界。即使是思想开放的人，比如爱因斯坦和波恩，最初也觉得完全接受这一理论太勉强了些。
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但是量子的力量超乎任何人的想象。胜利来得如此之快之迅猛，令玻尔本人都几乎茫然而不知所措。首先，玻尔的推导完全符合巴尔末公式所描述的氢原子谱线，而从W2 －W1 =hν这个公式，我们可以倒过来推算ν的表述，从而和巴尔末的原始公式 对比，计算出里德伯常数R的理论值来。事实上，玻尔的预言和实验值仅相差千分之一，这无疑使得他的理论顿时具有了坚实的基础(1) 。
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不仅如此，玻尔的模型更预测了一些新的谱线的存在，这些预言都很快为实验物理学家们所证实。而在所谓“皮克林线系”（Pickering line series）的争论中，玻尔更是以强有力的证据取得了决定性的胜利。他的原子体系异常精确地说明了一些氦离子的光谱，准确性相比旧的方程，达到了令人惊叹的地步。而亨利·莫塞莱（我们前面提到过的年轻天才，可惜死在战场上的那位）关于X射线的工作，则进一步证实了原子有核模型的正确。人们现在已经知道，原子的化学性质取决于它的核电荷数，而不是传统认为的原子量。基于玻尔理论的电子壳层模型，也一步一步发展起来。只有几个小困难需要解决，比如人们发现，氢原子的光谱并非一根线，而是可以分裂成许多谱线。这些效应在电磁场的参与下又变得更为古怪和明显（关于这些现象，人们用所谓的“斯塔克效应”和“塞曼效应”来描述）。但是玻尔体系很快就予以了强有力的回击，在争取到爱因斯坦相对论的同盟军以及假设电子具有更多的自由度（量子数）的条件下，玻尔和其他科学家如索末菲（Arnold Sommerfeld）证明，所有的这些现象，都可以顺利地包容在玻尔的量子体系之内。虽然残酷的世界大战已经爆发，但是这丝毫也没有阻挡科学在那个时期前进的伟大步伐。