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1925年4月27日，海森堡结束哥本哈根的访问回到哥廷根，并开始重新着手研究氢原子的谱线问题―从中应该能找出量子体系的基本原理吧？海森堡打算仍然采取虚振子的方法，虽然BKS倒台了，但这在色散理论中已被证明是卓有成效的。海森堡相信这个思路应该可以解决玻尔体系所解决不了的一些问题，譬如谱线的强度。但是当他兴致勃勃地展开计算后，他的乐观态度很快就无影无踪了。事实上，如果把电子辐射按照虚振子的代数方法展开，他所遇到的数学困难几乎是不可克服的，这使得海森堡不得不放弃了原先的计划。泡利在同样的问题上也被难住了，障碍实在太大，几乎无法前进，这位脾气急躁的物理学家是如此暴跳如雷，几乎准备放弃物理学。“物理学出了大问题，”他叫嚷道，“对我来说什么都太难了，我宁愿自己是一个电影喜剧演员，从来也没听说过物理是什么东西！”（插一句，泡利说宁愿自己是喜剧演员，这是因为他是卓别林的粉丝。）
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无奈之下，海森堡决定换一种办法，暂时不考虑谱线强度，而从电子在原子中的运动出发，先建立基本的运动模型。事实证明他这条路走对了，新的量子力学很快就要被建立起来，但那却是一种人们闻所未闻，之前连想都不敢想象的形式―Matrix。
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Matrix，这无疑是一个本身便带有几分神秘色彩，充满象征意味的词语。不论是从它在数学上的意义，还是电影（包括电影续集）里的意义来说，它都那样扑朔迷离，叫人难以把握，望而生畏。事实上直到今天，还有很多人几乎不敢相信，我们的宇宙就是建立在这些怪物之上。不过不情愿也好，不相信也罢，Matrix已经成为我们生活中不可缺少的概念。理科的大学生逃不了线性代数的课，工程师离不开MatLab软件，漂亮MM也会常常挂念基诺·里维斯，有什么法子呢。
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从数学的意义上来翻译，Matrix在中文里译作“矩阵”，它本质上是一种二维的表格。比如像下面这个3×3的矩阵，其实就是一种3×3的方块表格：
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读者可能已经在犯糊涂了，大家都早已习惯了普通的以字母和符号代表的物理公式，这种古怪的表格形式又能表示什么物理意义呢？更让人不能理解的是，这种“表格”难道也能像普通的物理变量一样进行运算吗？你怎么把两个表格加起来，或乘起来呢？海森堡准是发疯了。
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但是，我已经提醒过大家，我们即将进入的是一个不可思议的光怪陆离的量子世界。在这个世界里，一切看起来是那样地古怪不合常理，甚至有一些疯狂的意味。我们日常的经验在这里完全失效，甚至常常是靠不住的。物理世界沿用了千百年的概念和习惯在量子世界里轰然崩坍，曾经被认为是天经地义的事情必须被无情地抛弃，而代之以一些奇形怪状的，但却更接近真理的原则。是的，世界就是由这些表格构筑的。它们不但能乘能除，而且还有着令人瞠目结舌的运算规则，从而导致一些更为惊世骇俗的结论。而且，这一切都不是臆想，是从事实―而且是唯一能被观测和检验到的事实―推论出来的。海森堡说，现在已经到了物理学该发生改变的时候了。
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我们这就出发开始这趟奇幻之旅。
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上帝掷骰子吗？：量子物理史话（升级版） [:1700958617]
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Part. 2
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物理学，海森堡坚定地想，应当有一个坚固的基础，它只能够从一些直接可以被实验观察和检验的东西出发。一个物理学家应当始终坚持严格的经验主义，而不是想象一些图像来作为理论的基础。玻尔理论的毛病恰恰就出在这上面。
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我们再来回顾一下玻尔理论说了些什么。它说，原子中的电子绕着某些特定的轨道以一定的频率运行，并时不时地从一个轨道跃迁到另一个轨道上去。每个电子轨道都代表一个特定的能级，因此当这种跃迁发生的时候，电子就按照量子化的方式吸收或者发射能量，其大小等于两个轨道之间的能量差。
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嗯，听起来不错，而且这个模型在许多情况下的确管用。但是，海森堡开始问自己。一个电子的“轨道”，它究竟是什么东西？有任何实验能够让我们看到电子的确绕着某个轨道运转吗？有任何实验可以确实地测出一个轨道的能量，或者它离开原子核的实际距离吗？诚然，轨道的图景生动而鲜明，为人们所熟悉，可以类比行星的运行轨道，但是和行星不同，有没有任何方法让人们真正地看到电子的这么一个“轨道”，并实际测量一个轨道所代表的“能量”呢？没有方法，电子的轨道，还有它绕着轨道的运转频率，都不是能够实际观察到的，那么人们是怎么得出这些概念并在此之上建立起原子模型的呢？
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我们回想一下前面史话的有关部分，玻尔模型的建立有着氢原子光谱的支持。每一条光谱线都有一种特定的频率，而由量子公式E2 —E1 =hν，我们知道这是电子在两个能级之间跃迁的结果。但是，海森堡争辩道，这还是没有解决他的疑问，没有实际的观测可以证明某一个轨道所代表的“能级”是什么。每一条频率为ν的光谱线，只代表两个“能级”之间的“能量差”。我们直接观察到的，既不是E1 ，也不是E2 ，而是E1 —E2 ！换句话说，只有“能级差”或者“轨道差”是可以被直接观察到的，而“能级”和“轨道”却不是。
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现在，我们必须从头审视一下传统的模型，看看问题究竟出在何处。在经典力学中，一个周期性的振动可以用数学方法分解成为一系列简谐振动的叠加，这个方法叫作傅里叶级数展开（Fourier series），它在工程上有着极为重要的应用。无论怎样奇形怪状的函数，只要它的频率为ν，我们便可以把它写成一系列的频率为nν的正弦波的叠加。这就好比用天平称重量，只要我们有一套量度非常齐备的砝码，就可以用它们称出任意重量来，精确度达到无限。好比说，假设我们的工具箱里有n种砝码，每种对应的重量单位是10n 克，那么显然有：
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123.456……克 ＝1个100克+2个10克+3个1克+4个0.1克+5个0.01克+6个0.001克……的砝码
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我们的傅里叶级数展开和这是一个意思，只不过把那n个重量为10n 克的标准砝码理解为频率为nν的标准正弦波而已。这样一来，任何振动也都可以表示为若干个强度为Fn ，频率为nν的“砝码”的叠加(1) ：
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回到玻尔模型中来。一个电子的运动方程是怎样的呢？它应该是所谓的“能级”和时间的函数，在一个特定的能级X上，电子以频率νx 作周期运动，这使得我们刚学到的傅里叶分析有了用武之地，可以将其展开为无限个频率为nνx 的简谐振动的叠加。玻尔的理论正是用这种经典手法来处理的，简单而言，一个能级对应一个特定的频率ν。
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傅里叶级数展开
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但是，海森堡现在开始对此表示怀疑。一个绝对的“能级”或者“频率”，有谁曾经观察到过这些物理量吗？没有，我们唯一可以观察的只有电子在能级之间跃迁时的“能级差”。如果说一种物理量无论如何也观察不到，那么我们凭什么把它高高供奉，当作理论的基础呢？玻尔的原子大厦就是建筑在这种流沙之上，所以终于摇摇欲坠。要拯救物理学，现在只有彻底抛弃那些幻想和臆猜，重新一步一个脚印地去寻找一块坚实的地基才行。
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一种不可言说的神秘氛围正在四周不断升温蔓延，让我们虔心地祈祷，看看将会发生些什么怪事。如果单独的能级X无法观测，只有“能级差”可以，那么频率必然要表示为两个能级X和Y的函数。我们用傅里叶级数展开的，不再是nνx ，而必须写成nνx,y 。可是，等等，νx,y 是个什么东西呢？它竟然有两个坐标，这是一张二维的表格！突然之间，Matrix这个怪物在我们的宇宙里妖诡地铺展开来，像一张无边无际的网，把整个时间和空间都网罗在其中。
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各位可能有点不知所措。为了进一步让大家明白问题所在，我们还是来打个简单的比方：如今大城市的巴士大多都是无人售票的统一收费，上车就付2块钱。不过在以前，许多车费都是分段计价的（所以才需要售票员），也就是说，不管你从哪个站上车，乘坐的距离越远，车票就相对越贵。比如说在上海，我从徐家汇上车，那么坐到淮海路可能只要3分钱，而到人民广场大概就要5分钱，到外滩就要7分钱，如果一直坐到虹口体育场，也许就得花上1毛钱。那真是一段令人怀念的美好时光。