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恭喜你，你已经证明了这个宇宙中最为神秘和深刻的定理之一。现在放在你眼前的，就是名垂千古的“贝尔不等式”（Bell’s inequality）。它被人称为“科学中最深刻的发现”，它即将对我们这个宇宙的终极命运作出最后的判决(8) 。
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(1) 最简单的理解方式，如果你还记得中学数学，应该知道对于两个2维矢量（a1 ,b1 ）和（a2 ,b2 ）来说，它们互相垂直的条件是a1 a2 +b1 b2 =0。同样，对于高维的两个矢量（a1 ,b1 ,……n1 ）和（a2 ,b2 ,……n2 ）来说，a1 a2 +b1 b2 +……+n1 n2 的绝对值越小，则两者“垂直”的程度越高。显然，n越大，这个式子的组成部分越多，就越容易“互相抵消”。这跟你抛硬币的次数越多，所得到的正面和反面就越接近是一个道理。
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(2) 当然，随着各人对“计算机”这个概念的定义不同，人们也经常提到德国人Konrad Zuse在1941年建造的Z3，依阿华州立大学在“二战”时建造的ABC（Atanasoff-Berry Computer），或者图灵小组为了破解德国密码而建造的Collosus。
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(3) “通用机”（universal machine）的概念是相当费脑筋的事情，虽然其中的数学并不复杂。有兴趣的读者可以参阅一些介绍图灵工作的文章（比如彭罗斯的《皇帝新脑》）。
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(4) 数字取自Deutsch 1997。
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(5) 所谓多项式的复杂性，指的是当处理数字的位数n增大时，算法所费时间按照多项式的形式，也就是nk 的速度增长。多项式增长对于一种破解算法来说是可以接受的。
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(6) 唯一的办法就是把密钥长度设置得比最大的量子计算机能处理的量子比特位数还要长，这至少在可预见的将来还是容易做到的。
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(7) 其他4个公设是：1．可以在任意两点间画一直线。2．可以延长一线段做一直线。3．圆心和半径决定一个圆。4．所有的直角都相等。
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(8) 我们的证明当然是简化了的，隐变量不一定是离散的，而可以定义为区间 λ上的一个连续函数。即使如此，只要稍懂一点积分知识也不难推出贝尔不等式来，各位有兴趣的可以动手一试。
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上帝掷骰子吗？：量子物理史话（升级版） [:1700958651]
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上帝掷骰子吗？：量子物理史话（升级版） 11 Judgement of the Inequality 不等式的判决
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上帝掷骰子吗？：量子物理史话（升级版） [:1700958652]
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Part. 1
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嗯，这个不等式看上去普普通通，似乎不见得有什么神奇的魔力，更不用说对我们宇宙的本质作出终极的裁决。它真的有这样的威力吗？
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我们还是先来看看，贝尔不等式究竟意味着什么。我们在上一章已经描述过了，Pxy代表了A粒子在x方向上是自旋为＋，而同时B粒子在y方向上自旋亦为＋这两个事件的相关性。相关性是一种合作程度的体现（不管是双方出奇地一致还是出奇地不一致都意味着合作程度很高），而合作则需要双方都了解对方的情况，这样才能够有效地协调。在隐变量理论中，我们对两个粒子的描述是符合常识的：无论观察与否，两个粒子始终存在于客观现实之内，它们的状态从分裂的一刹那起就都是确定无疑的。假如我们禁止宇宙中有超越光速的信号传播，那么理论上，当我们同时观察两个粒子的时候，它们之间无法交换任何信息，它们所能达到的最大协作程度仅仅限于经典世界所给出的极限。这个极限，也就是我们用经典方法推导出来的贝尔不等式。
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如果世界的本质是经典的，具体地说，如果我们的世界同时满足：1.定域的，也就是没有超光速信号的传播。2.实在的，也就是说，存在着一个独立于我们观察的外部世界。那么我们任意取3个方向观测A和B的自旋，它们所表现出来的协作程度必定要受限于贝尔不等式之内。换句话说，假如上帝是爱因斯坦所想象的那个不掷骰子的慈祥的“老头子”，那么贝尔不等式就是他给这个宇宙所定下的神圣的束缚。不管我们的观测方向是怎么取的，在EPR实验中的两个粒子绝不可能冒犯他老人家的尊严，而胆敢突破这一禁区。事实上，这不是敢不敢的问题，而是两个经典粒子在逻辑上根本不具有这样的能力，它们之间既然无法交换信号，就绝不能表现得亲密无间。
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但是，量子论的预言就不同了！贝尔证明，在量子论中，只要我们把x和y之间的夹角θ取得足够小，则贝尔不等式是可以被突破的！具体的证明需要用到略微复杂一点的物理和数学知识，我在这里略过不谈了。但请诸位相信我，在一个量子主宰的世界里，A和B两粒子在相隔非常遥远的情况下，在不同方向上仍然可以表现出很高的协作程度，以致贝尔不等式不成立。这在经典图景中是绝不可能发生的。
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我们这样来想象EPR实验：有两个罪犯抢劫了银行之后从犯罪现场飞也似的逃命，但他们慌不择路，两个人沿着相反的方向逃跑，结果于同一时刻在马路的两头被守候的警察抓获。现在我们来录取他们的口供，假设警察甲问罪犯A：“你是这次抢劫的主谋吗？”A的回答无非是“是”或者“不是”。在马路的另一头，如果警察乙问罪犯B同样的问题：“你是这次抢劫的主谋吗？”那么B的回答必定与A相反，因为主谋只能有一个，不是A先出的主意就是B先出的主意。两个警察问的问题在“同一方向”上，知道了A的答案，就等于知道了B的答案，他们的答案，100%地不同，协作率100%。在这点上，无论是经典世界还是量子世界都是一样的。
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但是，回到经典世界里，假如两个警察问的是不同角度的问题，比如说问A：“你需要自己聘请律师吗？”问B：“你现在要喝水吗？”这是两个彼此无关的问题（在不同的方向上），A可能回答“要”或者“不要”，但这应该对B怎样回答问题毫无关系，因为B和A在理论上已经失去了联系，B不可能按照A的行动来斟酌自己的答案。
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不过，这只是经典世界里的罪犯，要是我们有两个“量子罪犯”，那可就不同了。我们会从口供记录中惊奇地发现，每当A决定聘请律师的时候，B就会有更大的可能性想要喝水，反之亦然！看起来，似乎是A和B之间有一种神秘的心灵感应，使得他们即使面临不同的质询时，其回答仍然有一种奇特的默契联系！量子世界的Bonnie和Clyde(1) ，即使它们相隔万里，仍然合作无间。按照哥本哈根的解释，这是因为在具体地回答问题（观测）前，两个人（粒子）合为一体，处在一种“纠缠”（entanglement）的状态，他们是一个整体，具有一种“不可分离性”（inseparability）！
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EPR佯谬的罪犯版本
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这样说当然是简单化的，具体的条件还是我们的贝尔不等式。总而言之，如果世界是经典的，那么在EPR中贝尔不等式就必须得到满足，反之则可以突破。我们手中的这个神秘的不等式成了判定宇宙最基本性质的试金石，它仿佛就是那把开启奥秘之门的钥匙，可以带领我们领悟到自然的终极奥义。