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答案当然已包含在量子力学第一个尝试性的假设中，即由普朗克—爱因斯坦方程e=hf给出的能量和频率之间的基本联系。
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受众所周知的音乐设备所产生的声波公式启发，通过e=hf，量子力学创造者所面临的挑战是寻找具有分立频率的波的数学表达式，而这个表达式又和原子能级匹配。这个表达式也许不是用来描述原子本身，但是能够预测原子能级的梯度。埃尔温·薛定谔成功找到了建立一个数学方程的一般步骤，反过来，这个方程的解就是他著名的波函数。
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量子理论可被认为是一门找波函数并从中得到可测量结果预测的科学。随着时间推移，计算上繁杂的技巧也在与时俱进，一开始借助计算尺，现在则利用计算机。用这种方式研究的系统，从单个粒子和原子慢慢演变到大团材料，再到星体内部，甚至到了整个宇宙。到目前为止，量子力学成功地经受住了每一个实验测试。
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第一个用量子力学方式去处理的系统不是原子，甚至都不是电子，而是开创量子力学的装置——谐振子。它的数学描述仅仅涉及它的质量和不变的频率（使振子回复到它的平衡位置的振动强度可以由这两个量得到，所以不需要专门把它的形式包含进去）。不出所料，量子力学的标志普朗克常量h在这个计算过程中扮演着重要角色。它如同比例尺一样在图片边缘显示出来，为照片设定了度量，就像米尺为考古学家新挖开的地沟照片设置了刻度。
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作为理论上的小白鼠，谐振子非常简单，这是它的优势，而它的劣势在于，在20世纪并不存在足够小的、真实的、能用来展示量子力学效应的质量——弹簧谐振子[2]。最多这只能作为进行更复杂项目前的一个热身活动，诸如对氢原子的描述，得到的结果和实验的测量结果一致。尽管这样，即使是机械谐振子也可以揭示经典牛顿力学和量子力学间非同寻常的差别。普朗克在绝望之际猜测谐振子能量为e=hf倍数，这被证实几乎是正确的，但是并不完全。令人惊讶的是，限定（allowed）的能量梯度并非从最低能级开始，相反，最低能级是一个能量量子的一半，限定的能量是它的奇数倍e/2，3e/2，5e/2……普朗克非常幸运，因为不同能级间的差仍然是e的倍数，这个差决定了一个特定的谐振子所能吸收或者释放的能量，而这才是他真正需要假设的地方。一个量子谐振子不能辐射或吸收46.7hf能量，就如同杂货铺老板收到或者找零的现金不能是46.7美分。这是无法做到的！如果你试图吸干一个谐振子的所有能量，使它停下来，那么你注定会失败。就像一个极度活跃的咿呀学语的小孩，你永远无法让他停止手舞足蹈。记住，在剥夺谐振子的所有能量之后，由于h是如此之小，因此剩余的震颤很难被检测到。尽管如此，实验仍证实了量子力学的这个特殊的预测。
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除了能量的量子化，波函数意味着叠加。根据经典物理学理论，物体的位置和速度是被精确定义的。与此相反，谐振子或任何物质的粒子的波函数所包含的位置和速度的值，可以在一定范围内同时以不同的值分布，即叠加。注意，我并没有说位置和速度可以有分布。正确的表述应该是：包含在波函数中的位置和速度可以有分布。这是很重要的一个区别，随后我将更详细地讨论这个。
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波函数有点像地图——最理想的地图，它包含了量子系统所有可以说的东西。在这里需要提醒的是，普通地图所包含的信息并不一定会被完全展示在一张纸的图画或者地球仪上。举个例子说，道路地图册往往包含了表单，其中列出了城市之间的距离以及驾车时间。为了简化问题，设想一下，表单中的距离不是沿着高速路的真实里程，而是两个地点之间的直线距离，就像鸟飞行的路线。想象一下，这个表的扩展版本包含美国数以千计小镇的数据。原则上来说，通过这个表单是可以重建整个传统地图的。下面是如何去重建：圣路易斯（St.Louis）在地图页中间，纽约在右手边的边缘处，查阅电子表单中两地的距离。现在你就知道了比例：在你的地图上，一英寸代表多少英里。然后，从表单中，找到这两个城市到迈阿密的距离并把它转换成英寸。既然三角形三边能够确定一个三角形，现在你就知道了迈阿密的位置。继续这样的步骤，就可以得到整个地图了（见图1.10）。天文学家用这种方法记录地图，即把数以百万计的恒星的坐标列在一个很大的目录中而不是标在图标或球体上。地图、表单和目录可被用于记录同一个数据集，尽管它们看上去是如此不同，可对很多目的来说，它们是等价的。同样地，波函数所包含的信息可以用公式、表单、一系列数字或者一张图去展示。
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图1.10
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第一个关于谐振子的量子力学描述，事实上是用表单表达的，它在数学上被称为矩阵（matrix）。这些矩阵随后很快被证明在数学上和波函数等价。既然后者比前者更容易去想象，在本书大多数情况下，我将使用波函数。
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当试图解决量子力学的疑难之时，人们常常忘记了物体和它表示之间的差别，这是大部分人甚至是一些专业的物理学家都会掉入的陷阱。哲学家阿尔弗雷德·柯日布斯基（Alfred Korzybski）明确地表达了两者之间的显著区别，他创造了一个格言“地图非疆域”（The map is not territory.）。这个短语很精练地提醒了一个事实，那就是：一个对客体的描述并不是客体本身。现实并不是和描述现实的模型一样，就像“house”这个单词不是砖和泥灰做的房子。柯日布斯基警示了把地图和疆域混为一体的恶作剧，他的言辞引起了对量子力学的奇怪之处的一些质疑，质疑在于这种奇怪之处并不是自然本身而是来源于波函数。是否只是地图怪异而非疆域诡异？
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当我们是小孩的时候，我们学着通过探索街道地图和它所代表的沥青混凝土的关系，以此学着去读地图。当我们查阅静态的二维图像并试图把它转换成我们周围庞大混乱的三维世界时，或者相反，当我们看周围复杂现实世界的简单示意性的草图时，我们脑中闪过什么？比较疆域和地图的这个过程是如此艰难，以致一些人从没能真正理解。如果再把运动包含进去，如车载GPS（全球定位系统）屏幕，会让一些人更加疑惑。类似的隔阂阻碍了人们对量子力学的理解。在量子的世界，薛定谔的波函数就如同一个理论家笔记本中所构建的演化地图。假如它像地图，那么它到底要描述什么？又如何将它联系到现实的原子世界？
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[1]F=GmM/r2，其中F表示引力的强度，G是引力常数，m和M指相互吸引的两个物体的质量，r是两者之间的距离。
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[2]一个和人的头发丝宽度大小的微小的音叉被《科学》杂志评选为“2010年度科学重大突破”，它能够展现出量子行为。可参考http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_machine。
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964150]
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第5节 “最优美的物理学实验”
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我们通常用波函数来描述量子系统中包含的信息。量子谐振子的波函数预示了该系统只能储存离散的能量，这与我们熟悉的经典系统不同，例如，一个音叉的能量是任意的，这与敲击它的力度有关。同样，氢原子的波函数暗示着它的能量也是分散的，只不过能级图比谐振子更加复杂[1]。
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对于量子系统，波函数不但包含能级的信息，也预言了其他不计其数的实验结果。给定任意实验装置和相关说明，原则上用量子力学精美的数学语言可以构造出该系统的波函数，并且计算出相应的测量或观测结果。这里我将避开这些技术问题，而是通过讨论电子的波粒二象性进而解释波函数的意义。让我们拭目以待，看看波函数是如何处理这个谜题的。
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下面我们将比较物理学家是如何描述子弹和电子这两个不同的抛射物的。
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我们先讨论子弹。为了简单起见，忽略重力和空气阻力的影响。一旦子弹离开枪管将不再受任何力，根据牛顿运动定律，它将一直保持直线匀速运动，直到碰到靶子——我们暂且假设靶子是一块木头[2]。子弹突然受到制动力，同样根据运动定律，它会减速直至停止。停止之后，由于各个方向子弹都承受同样的挤压，因此它不再受力，保持静止。
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射手和他的装备将决定射击的精准度。据说，传奇的神枪手安妮·欧克丽（Annie Oakley）能够精准击中抛向空中的硬币。而如今，如果利用那些精心制作但价格离谱的装备，包括激光、透镜组和计算机等，一些业余的选手都可以轻松击败她。在经典物理学中，枪法的精准度没有任何限制。设想如果在开枪时子弹的速度和位置是限定在特定范围内的，那么它最终撞击的点也会有相应的限制。原则上我们可以无限精准地射击，虽然这并不现实。所以，理论上如果安妮拥有足够好的枪，足够敏锐的视力，并且手完全保持静止，那么她就可以击中硬币上任意一点。
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下面我们来说说电子。电子通常是从一个被称为电子枪的设备中发射出来。过去在美国家庭中这种“武器”比猎枪更为常见。那些老式的电视机中都有电子枪，它们藏在电子成像管的末端，而现在家庭中常用的平板电视则不再包含这样的设备。这里我们考虑电子从电子枪发射出来，然后终止在屏幕上并且留下可见点，和刚才一样，忽略电子在中间运动过程中受的力。
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量子物理学家不能像对待子弹一样追踪电子的轨迹，而只能计算它的波函数。为了得到波函数，他需要知道电子枪的几何形状以及电子离开枪口时的速度。和谐振子与原子中的电子不同，该波函数的示意图实际上与电子枪到屏幕之间的波类似。像石头在水中激起的涟漪一样，波函数从枪口向屏幕扩散开来。而当电子碰到屏幕时，奇迹出现了。之前如水波一样的波函数突然莫名其妙地塌陷到屏幕的某个点上。在碰撞之前，它还在空间中向四面八方散开。而碰撞之后，波函数在空间各处的大小则几乎为零，除了它最终到达的那个点。
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