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波粒二象性的麻烦也是显而易见的。波和粒子是我们从日常的、宏观的牛顿世界中获得的不同分类，这对于原子领域是不够的。光子并不像海波或者子弹，电子也不是。它们和日常的波和粒子在一些特点上具有共同之处，可并不是每一个特征都是一样的。那么它们该是怎样的呢？我们无法如《爱丽丝梦游仙境》中的爱丽丝那样将自己缩小到原子的尺度，然后自己去看基本粒子在其所处的环境中的行为是怎样的。我们所能做的，就是用我们的想象力帮助我们去画出一幅与人类尺度的实验室中所观察到的现象一致的图像。
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为了调和不相容的波和粒子的类别，“波粒”（wavicle）这个术语曾被建议来描述电子，但不幸的是，这个丑陋而且非正式的词从来都没有流行起来。我的朋友罗尔夫·温特（Rolf Winter）受J.J.汤姆森用动物做类比的鼓舞，更加生动地把电子比作鸭嘴兽。18世纪时，当探险者第一次把鸭嘴兽从澳大利亚带到欧洲时，大学里知识渊博的博物学家宣称这种动物是伪造的，只不过是把其他动物的身体拼凑在一起。“爬行类动物不会哺乳。”“同时是哺乳类和爬行类的动物是不存在的，因此它不过是一个恶作剧。”他们信誓旦旦地说道。然而，他们所创造的分类是通过自身有限的观察所得到的，这最终被证明是不足以描述地球生物的丰富多样。同样地，光子和电子是可以表现为波的粒子以及可以表现为粒子的波。就像鸭嘴兽一样，他们忽略了这个分类是从不恰当的前例得到的。
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为了继续向前发展，而不是停留在发明无用的诸如“波粒”这样的新词以及将它和外来的生物做比较，则需要更激进的方法。1909年，爱因斯坦倡议波和粒子的理论融合并没有得到响应，直到1925年量子力学诞生。然而，量子力学在它诞生之前很久就已经冲击着物理世界。
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1913年，丹麦物理学家尼尔斯·玻尔（Niels Bohr，1885—1962）构建了第一个成功的原子内部模型。遵照物理学家从简单开始的习惯，玻尔将他的注意力集中在氢上，氢是元素周期表上第一个也是最轻的元素。他大胆地将氢原子系统类比成太阳系，并把氢原子描述成一个孤独的电子如同地球绕太阳那样围绕中心核子转动，且只在特定分立的轨道，即半径是固定的若干普朗克常量h的数倍。当电子向上（或向下）跳跃一个级别时，相应地会有光子被吸收（或释放），而光子的能量由普朗克—爱因斯坦方程e=hf给定。这个图像很快被逐步改善成包含了椭圆形和圆形轨道，也遵循相对论，并可以用来描述比氢原子更加复杂的原子。最终，著名的原子“玻尔模型”成为科学中最常见的漫画，即那幅无处不在的一个点在中间、三个椭圆形代表三个电子轨迹的图片（见图1.9）。据推测，那幅图描述的是元素周期表中的第三个元素——锂。
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图1.9
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这个小图标产生了无数的变体，已经被广泛地认为代表着原子，而且被改编用于高科技公司、政府机构以及消费品的标志。它在情景喜剧《生活大爆炸》（The Big Bang Theory）不同场景的荧幕上飞快闪过，并且在全球范围内，它意味着力量。因为这个标志所传达的信息如此简单且令人信服，在高中教学中也占据着优势。对大部分普通人来说，它代表着他们对原子结构的理解。
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不幸的是，本质上它是错误的。
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1919年，刚刚引入这个理论6年之后，玻尔被迫否认了这个理论，因为它歪曲了之前盛传的对原子内部电子行为的理解。玻尔模型将氢原子内部单电子的轨迹描述为绕核子（已知为质子）的轨道，最终得到的氢原子结构就如同煎饼一样平。但是我们知道的是，在观察它与其他原子相互作用的时候，从外部来看，它就像是一个模糊的棉花球而不是煎饼，至少在常态、静态的时候是这样的。
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更糟糕的是，这个原子图暗示着电子在远离核子的地方保持在特定轨道上一直运动，这个轨道半径被称为玻尔半径（Bohr Radius）。但是实验显示，当探测原子的时候，电子不仅仅在原子表面被探测到，在这个棉花球的内部也能探测到。
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玻尔模型最过分且让人不可原谅的瑕疵远远大于技术上的缺陷。通过假设急剧又确定的轨迹，这个模型忽略了波粒二象性，而更青睐于它的粒子本性。玻尔模型也可以说是一种倒退，退回到了牛顿物理：其中一个粒子具有精确且连续的轨迹，并且在轨迹每一点都具有定义明确的位置和确定的速度。以行星轨道的方式描述原子中电子的行为，在一个世纪前就已经从物理学词典中删除了。
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玻尔模型能够让人在头脑中产生生动的图像，它占据了大众对科学的想象，甚至到了一种令人担忧的程度。它是阻碍发展的一个历史遗址，它暗示着原子物理学在100年间没有任何改变。没有其他的基础科学会给人留下这种印象：宇宙学不是这样，它产生了一系列令人窒息的发现，如宇宙加速膨胀和谜一样的暗物质（dark matter）以及暗能量（dark energy）；天文学也不是这样，它每天都会得到遥远彩色发光物体的炫目图片；生物学也并非如此，我们对大脑的结构、人类基因的微妙之处以及令人震惊的演化结果有日趋增长的理解。那个广泛存在的原子图标是如此过时，就像用马或者马车的画像作为停车场的标志或者是用莱特兄弟的卡通图作为到机场的指路牌一样。
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尽管玻尔模型之前是量子力学发展中重要的一步，但是它却早早不适用了。尽管波粒二象性会使原子真实的图像变得更复杂，但是我认为应该尝试着把玻尔模型老图标更新成更符合21世纪的新图标。也许在1925年诞生的量子力学百年诞辰庆祝之际，会有人对这个图标公开质疑。
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964149]
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第4节 波函数
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物理学家的目标是解释非生命世界的运作方式。首先，哲学家按照如下方式描述一个客观物体：划过夜空的行星、冰雪的形成、七弦琴的声音。当关注不能被直接看到或者不那么容易测量的时候，物理学家创造了机械模型替代对客观事物的直观描述。希腊原子论用看不到的粒子穿过虚空描述连续物质，马克斯·普朗克看到了发热气球中数不尽的小振子，而尼尔斯·玻尔在他思考氢原子的时候把它想象成微型的太阳系。
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最终，机械模型失败了。它们被适时地抛弃了，取而代之的是更加抽象的数学模型。相比它们的先行者，数学模型如同斯巴达一般冷峻。它们由一系列方程和公式组成，不含修饰、色彩、可见的细节——没有机械模型那样丰富的外观（谁不为玩偶之家、模型船和模型火车着迷），但是数学模型之所以缺少吸引力，只不过是为了补偿它的一般性和预测能力。牛顿广泛适用的引力定律则是数个世纪以来对自然现象的纯数学描述最具说服力的例子[1]，它阻止了一代代专业和业余的物理学家的无效努力。他们曾试图将引力产生描述为由不可见粒子的机械推动和一些宇宙的流体的旋涡而引起的。然而，那些无穷无尽的天体和地球的信息都可以被压缩在8个符号之中，知道如何解读的人就能发掘其中的信息。
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到发展原子理论时，我们渐渐发现传统的分类是远远不够的。原子外壳中电子的运行轨道和速度似乎是无法获得的，原子释放光波看上去像粒子，电子表现得像波。原子物理颠覆了原来的观念。
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一小部分有杰出创造才能的物理学家意识到没有哪个机械模型能够令人信服地揭示波粒二象性，他们转而研究数学模型，最终引领了量子革命。他们志在用数学语言描述原子物理实验所展现出来的奇怪事实，而不是美丽如画般地描述潜在的现实。这是大胆的一步，他们的许多同行很难理解。但是量子现象的数学模型却硕果累累。
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重大飞跃在于将客体和它的描述分离开。“我们先不去看电子本身。”量子力学的创造者提醒道。偶尔他们会详尽地说，而更多的时候则是含蓄地表达出来。“甚至不要试图去想象一个设备表现得像电子，相反，让我们先去寻找一系列数学方程，这些方程可以预测实验室中电子的行为。数学并不会在意事物是否看上去像波或是粒子还是鸭嘴兽。”令他们喜悦的是，他们做到了。
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做到这个技巧的方案是一个公式，波函数（wavefunction，一开始是短语wave function，后来也用过连字符连接的wave-function，最终标称一个合成词wavefunction，这模仿了原始的德语构造方式）。它的创造者是埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger，1887—1961）。波函数不仅揭示了特定量子系统的属性，也包含了在这个系统上进行特定实验时的必要细节。因此，波函数不只是有一个，对于每个独特的实验室设定，都有一个特定的波函数。在大多数情况下，用图像表示的波函数一点都不像波，只有它的名字还在提醒我们，量子系统共有的一个重要的性质是叠加以及建设性或者破坏性干涉的可能性，即两列波占据同一个点，甚至可能彼此加强或者消除。
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通常来说，波函数的数学形式相当复杂——远比方程式E=mc2或e=hf复杂得多。因此，在这里我不讨论任何实际系统波函数的例子。但是这并不意味着我们不谈论它们，这就如同你在享受音乐的时候并不需要真正理解音乐。
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玻尔将氢原子类比成微缩的太阳系，比这更大胆的类比启发了波函数的构建。对经典物理学家来说，原子物理最令人费解的问题是原子能级的分立问题。不像地球卫星能够绕地球任意高度转动，且可以携带任意能量，束缚在原子中的电子只有确定的、分立的能量。这种限制来自哪里？
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连续性中出现（就像魔术意义上）分立值最好的例子就是音乐了。自远古时代以来，音乐设备，如七弦琴、鼓、长笛等，就能产生独立的基本音调，还有泛音。把波限制在一个有约束的空间，如固定长度的弦、圆形的鼓面、笛子中空的内部，你或许以为它们只会产生噪声，然而产生的却是纯音高。音高对应着带音符的声波的频率，而音乐则由组合不同分立频率得到。问题在于，原子限制电子，笛子限制振动的空气，除此之外两者没有任何相似之处，从这个角度来看，音乐设备中众所周知的频率分立如何帮助我们解释原子中神秘的能级分立？