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第一个关于谐振子的量子力学描述，事实上是用表单表达的，它在数学上被称为矩阵（matrix）。这些矩阵随后很快被证明在数学上和波函数等价。既然后者比前者更容易去想象，在本书大多数情况下，我将使用波函数。
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当试图解决量子力学的疑难之时，人们常常忘记了物体和它表示之间的差别，这是大部分人甚至是一些专业的物理学家都会掉入的陷阱。哲学家阿尔弗雷德·柯日布斯基（Alfred Korzybski）明确地表达了两者之间的显著区别，他创造了一个格言“地图非疆域”（The map is not territory.）。这个短语很精练地提醒了一个事实，那就是：一个对客体的描述并不是客体本身。现实并不是和描述现实的模型一样，就像“house”这个单词不是砖和泥灰做的房子。柯日布斯基警示了把地图和疆域混为一体的恶作剧，他的言辞引起了对量子力学的奇怪之处的一些质疑，质疑在于这种奇怪之处并不是自然本身而是来源于波函数。是否只是地图怪异而非疆域诡异？
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当我们是小孩的时候，我们学着通过探索街道地图和它所代表的沥青混凝土的关系，以此学着去读地图。当我们查阅静态的二维图像并试图把它转换成我们周围庞大混乱的三维世界时，或者相反，当我们看周围复杂现实世界的简单示意性的草图时，我们脑中闪过什么？比较疆域和地图的这个过程是如此艰难，以致一些人从没能真正理解。如果再把运动包含进去，如车载GPS（全球定位系统）屏幕，会让一些人更加疑惑。类似的隔阂阻碍了人们对量子力学的理解。在量子的世界，薛定谔的波函数就如同一个理论家笔记本中所构建的演化地图。假如它像地图，那么它到底要描述什么？又如何将它联系到现实的原子世界？
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[1]F=GmM/r2，其中F表示引力的强度，G是引力常数，m和M指相互吸引的两个物体的质量，r是两者之间的距离。
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[2]一个和人的头发丝宽度大小的微小的音叉被《科学》杂志评选为“2010年度科学重大突破”，它能够展现出量子行为。可参考http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_machine。
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964150]
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第5节 “最优美的物理学实验”
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我们通常用波函数来描述量子系统中包含的信息。量子谐振子的波函数预示了该系统只能储存离散的能量，这与我们熟悉的经典系统不同，例如，一个音叉的能量是任意的，这与敲击它的力度有关。同样，氢原子的波函数暗示着它的能量也是分散的，只不过能级图比谐振子更加复杂[1]。
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对于量子系统，波函数不但包含能级的信息，也预言了其他不计其数的实验结果。给定任意实验装置和相关说明，原则上用量子力学精美的数学语言可以构造出该系统的波函数，并且计算出相应的测量或观测结果。这里我将避开这些技术问题，而是通过讨论电子的波粒二象性进而解释波函数的意义。让我们拭目以待，看看波函数是如何处理这个谜题的。
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下面我们将比较物理学家是如何描述子弹和电子这两个不同的抛射物的。
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我们先讨论子弹。为了简单起见，忽略重力和空气阻力的影响。一旦子弹离开枪管将不再受任何力，根据牛顿运动定律，它将一直保持直线匀速运动，直到碰到靶子——我们暂且假设靶子是一块木头[2]。子弹突然受到制动力，同样根据运动定律，它会减速直至停止。停止之后，由于各个方向子弹都承受同样的挤压，因此它不再受力，保持静止。
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射手和他的装备将决定射击的精准度。据说，传奇的神枪手安妮·欧克丽（Annie Oakley）能够精准击中抛向空中的硬币。而如今，如果利用那些精心制作但价格离谱的装备，包括激光、透镜组和计算机等，一些业余的选手都可以轻松击败她。在经典物理学中，枪法的精准度没有任何限制。设想如果在开枪时子弹的速度和位置是限定在特定范围内的，那么它最终撞击的点也会有相应的限制。原则上我们可以无限精准地射击，虽然这并不现实。所以，理论上如果安妮拥有足够好的枪，足够敏锐的视力，并且手完全保持静止，那么她就可以击中硬币上任意一点。
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下面我们来说说电子。电子通常是从一个被称为电子枪的设备中发射出来。过去在美国家庭中这种“武器”比猎枪更为常见。那些老式的电视机中都有电子枪，它们藏在电子成像管的末端，而现在家庭中常用的平板电视则不再包含这样的设备。这里我们考虑电子从电子枪发射出来，然后终止在屏幕上并且留下可见点，和刚才一样，忽略电子在中间运动过程中受的力。
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量子物理学家不能像对待子弹一样追踪电子的轨迹，而只能计算它的波函数。为了得到波函数，他需要知道电子枪的几何形状以及电子离开枪口时的速度。和谐振子与原子中的电子不同，该波函数的示意图实际上与电子枪到屏幕之间的波类似。像石头在水中激起的涟漪一样，波函数从枪口向屏幕扩散开来。而当电子碰到屏幕时，奇迹出现了。之前如水波一样的波函数突然莫名其妙地塌陷到屏幕的某个点上。在碰撞之前，它还在空间中向四面八方散开。而碰撞之后，波函数在空间各处的大小则几乎为零，除了它最终到达的那个点。
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这种现象我们称之为波函数塌缩，它告诉我们波函数的意义，却如此离奇。我们会在下一节中讨论这一解释的缺点。
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我们不断地发射电子枪，最终会在屏幕上绘出一个图案。这个图案由每次碰撞的点组成，它是理解波函数意义的重要线索。每次碰撞的点在图案中是随机分布的。这里随机可理解为不可预测的、没有规律的。而随机这个词则体现了之前提到的经典力学和量子力学之间最关键的差别。
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当然，安妮·欧克丽或许并不觉得太惊讶。如果考虑到空气的影响，枪的某些不确定的特性，甚至她自身脉搏的跳动，那么她击中硬币上的点的位置也将是随机分布的。她或许会想：“我不可能比这更精准了。”然而，经典物理学家则坚持认为，假如给定各种因素的细节，子弹的路径是可以预测的，并且可以达到任何想要的精度。在经典物理中，这只是统计的随机性，往往源于我们对某些微小的细节的忽略或者无知。我称之为安妮·欧克丽随机性。原则上经典力学并没有随机性。例如，硬币抛掷，其结果通常被认为是完全随机的，但是利用力学，每次的结果也是可以被预测的。安妮·欧克丽随机性是可以通过适当的方式消除的，虽然不能完全根除，但是可以无限接近你想要的精度。
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与之截然不同，电子的随机性则是不可避免的。即使我们把电子枪的尺寸和电子的速度都控制在足够的精度范围内，波函数传播仍有不可避免的随机性。在创立量子力学的早期，物理学家很难接受这种量子随机性。其中爱因斯坦一直没有接受这种观念，因为这与他辉煌且硕果累累的一生中所理解的物理完全不同。他察觉到其中的矛盾。虽然他对量子力学做出了非常重要的贡献，而且量子力学以惊人的速度获得了成功，但是他相信自己敏锐的物理直觉并不会欺骗他，因此他毫不忌讳地表达出自己对这个刚出生的量子理论的怀疑。他机智地提出各种异议，有些在他逝世多年之后才被证明是错的。爱因斯坦错了，量子随机性确实存在，但是一批爱因斯坦最忠诚的拥护者仍希望最终可以证明他是正确的。
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量子随机性（也被称为本质的或者固有的随机性）撼动了自亚里士多德以来的物理学的一块基石——因果律。任何一种现象或者事物都必然有其原因。虽然我们很难确定相应的起因，但通常假设它必然存在。如果安妮·欧克丽总是射中硬币上的字母L而不是Y，可以想象，经过足够多的努力我们肯定能够得到其中的原因。另外，电子由于遵循量子法则，则否定了这种可能性。对于一个像爱因斯坦那样的经典物理学家来说，抛弃因果律就等同于破坏了整个物理学。后面我们会讨论量子贝叶斯如何将物理学置于一个新的、更有弹性的基础之上，并使之能与固有的随机性自洽。
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电子枪绘出的图案为理解波函数的意义指明了方向。如果碰撞的点是完全无法预测的，那么这些不规则的点会覆盖整个屏幕，对电子的路径我们便一无所知。但是我们确实对此知道一些——事实上知道很多。波函数精准描绘出圆形的、对称的形状，而且点集中在中心，并且点的密度随着离中心的距离越大而递减。因此，电子枪给我们提供了一个随机却内含部分信息的例子（见图1.10）。
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科学现象往往遵循着类似的规则。通常一些现象很少能完全展示出所包含的信息或者完全不包含任何信息。例如，误差总是和测量形影相随。即使在生活中，绝对的确定性或者完全的随机性也很少出现，天气预报或者交通模式就是最好的例子。这两个例子的共同特点就是我们可以给出很多预测却不能百分之百的准确。数学中的概率便是用来处理类似情况的。概率这个概念在量子力学中与普朗克常数h同等重要。但是引入这个概念的结果则是十分微妙的。
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图1.11
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