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电子枪绘出的图案暗示着波函数并不是用来描述电子本身而是反映概率的。尤其是电子即将碰撞屏幕时的波函数决定了电子最终到达屏幕上任意点的概率。
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通过概率来解释波函数是量子力学带给物理学的重大改变[3]。
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在第3节我们讨论了光的双缝干涉实验，实验结果向我们展示了随机和规则是如何交融在一起的。两个分离的源发射出的光波干涉之后形成条纹状的图案，而每个光子则被记录为那些随机分散在照片底板上的点。
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1965年我刚刚开始教物理，同年，理查德·费曼（Richard Feynman）出版了他著名的教科书《费曼物理学讲义》。在书中他详细阐述了电子双缝干涉的理想实验进而讨论量子力学。设想左边是一个电子枪，中间是两个极小的双缝，而右边放置着荧光屏，当电子击中荧光屏时会产生一个斑点。2002年，该实验被一个英国的杂志《物理世界》评为“最优美的物理学实验”。
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在费曼的书出版之前，物理学家就已经做过该实验的简化版。但是直到2013年，技术上才足够成熟，费曼在半个世纪之前描述过的实验才能真正付诸实践。除了创造和探测单个电子的困难之外，另一个让人却步的现实阻碍就是双缝的尺度。用现在的说法，这些缝是纳米（nm）量级的（1nm=10-9m=十亿分之一米=百万分之一毫米），这么一个精密的工程是不可能在家中通过电线和绝缘胶带完成的。看到那些随机出现的点逐渐绘出条纹状的图案，我们犹如正在看量子力学是如何工作的，这一定是一种让人着迷的体验[4]。
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除了演示波粒二象性和量子随机性，这个实验也毫无疑问地展示了波函数的传播。每一个细缝仅有60纳米左右的宽度。这个数字说明我们可以忽略电子在发射点横向的具体位置，而屏幕上显示的条纹的宽度大概有300毫米。为了让波函数的两部分发生干涉，必须把双缝到屏幕之间的宽度增加5000倍。这显然说明了波函数扩散得非常开。
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仔细思考这个实验，我们很容易误入歧途！思考一束光从激光发射器到双缝，向前传播、干涉，最终产生条纹图案。当我们把光换成电子之后，似乎就变得不那么自然。这是因为我们知道电子只能一个接一个地通过双缝。更进一步，如果考虑在2013年那个实验中将双缝板和屏幕移开，将电子枪指向窗户，那么电子将会像蹒跚学步的小鸭子一样排成一排向前传播，但是在传播大约2000千米之后，它们就会分离开来。每一个电子都独立传播。双缝只是将波函数而不是电子本身分成两个可干涉的部分。而对于每个电子来说，在没有其他电子干扰的情况下，却莫名其妙地设法避免碰撞到那些条纹的暗区，就像有一股神秘的力量在操纵它一样。
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做双缝干涉的那个实验组基于他们的测量仪器、相关误差等仔细地计算了电子的波函数。实际的运算要比费曼书中考虑的理想化计算要复杂、冗长。测量成千上万个电子在屏幕上的位置之后，他们将结果与量子力学的预言比较。屏幕上展示的正是前面我们说到的条纹图案而不是随机的点。实验组最后简洁地评论道：“我们看到的结果正是量子力学所预言的。”他们艰辛的努力是值得的。
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[1]马克斯·普朗克得到的谐振子的能级稍微有点差别，与之不同，尼尔斯·玻尔用他自己的力学模型得到的氢原子能级是完全正确的，大约12年之后才有波函数的概念。
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[2]F=ma，其中m是物体的质量，a是它的加速度，F是引起物体加速的净外力的大小。
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[3]数学上描述波通常包括正值和负值，分别代表波的高度在x轴的上方或者下方。但是概率却不能为负值：它们是0和1之间的实数。更糟糕的是波函数通常包含虚数，如-1的根号。因此波函数的数值不能等价于概率。正确的数学描述是这样的：“概率密度等于波函数和它的复数共轭相乘。”我会简化为一些惯用语，例如，“波函数得出概率”。
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[4]关于这个实验可参考《费曼双缝干涉实验取得重大突破》（“Feynman’s Double-Slit Experiment Gets a Make over”）这篇文章，Physicsworld.com,March 14,2013,其中还有相关的视频，参考网址：http://physicsworld.com/cws/article/news/2013/mar/14/feynmans-double-slit-experiment-gets-a-makeover。
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964151]
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第6节 见证奇迹的时刻
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如果见证单独的电子逐渐在屏幕上绘出条纹图案是一段让你不安的经历，那么将其解释为波函数塌缩会让你更加困惑。为了帮助理解，我们仍将电子枪类比于一杆真正的枪。子弹从枪膛发射出之后以不变的速度运动，最终击中目标并且停下来。同样地，电子的波函数也根据量子力学的规则向前传播，最终突然改变它的特性转变为屏幕上的一个斑点。虽然这两种情况有相似的地方，但是它们的不同之处也是显著的，只是现在还不能明显看出来。
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子弹在任意时刻都是严格遵循牛顿运动定律的。
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而电子则表现得有些反叛。在电子碰撞到屏幕之前，它的波函数随时间演化，像平静湖面上的涟漪一样扩散。它的演化由量子力学的运动定律决定。相应地，在某特定点找到电子的概率也在空间中迅速扩展开。但是，当电子在屏幕上停止的时候，描述它的波函数也会立刻、彻底地改变它的特性。波函数塌缩了，同时概率也转变为（几乎完全）确定的信息——电子的位置。塌缩的过程没有任何规则、规律。它确实发生了。波函数塌缩的原因及方式自从90年前量子力学诞生开始就一直是物理学家争论的话题。
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量子力学的创造者在试图解决波粒二象性的谜题时，被迫采取折中的方式。通过引入波函数，同时将它与概率联系到一起，他们成功地把波动行为和粒子行为统一起来，但是他们不得不为此付出代价。他们必须要放弃一个从牛顿到爱因斯坦一直根植于经典物理中的信念，即任何物质的粒子都遵循同样的运动定律。事实证明，一个电子的波函数并不服从子弹所遵循的运动定律。相反，波函数遵守下面两个不同的定律：
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（1）只要电子离开电子枪并且没有被观察到，那么它的波函数将是光滑的、连续的，且是可以被预测的。它就像飞行中的子弹或者湖面上的涟漪一样遵循着特定的数学方程演化。
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（2）当电子在屏幕上留下斑点时，这就暴露了它的行踪，那么波函数将立刻“塌缩”到一个新的、集中在碰撞点附近更紧凑的形式。
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图1.12
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无与伦比的科学漫画家西德尼·哈里斯（Sidney Harris）[1]在他的卡通画“奇迹”中恰巧准确地描述了类似的情况。我倾向于想象着图中两个物理学家正在讨论量子力学。
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波函数的塌缩不仅是空间上“塌陷”到有限区域，而且更一般地指可能性到确定性的转化。不仅是位置，就连能量、速度、运动方向以及其他量子粒子的属性都是概率性的，而且随着波函数的传播而变化，直到我们做了测量之后，相应的量才会固定在特定的值。你要知道，在经典物理中这些物理量是确定且唯一的。量子力学中可以找到很多例子并不是这样。例如，电线中描述电流的波函数可以在向前的同时也向后流；一个分子可以同时有不同的几何结构；放射性粒子可以同时地衰变和稳定。我们或许会问，在这些可能的状态中，它们到底处在什么状态？实际上，只有我们问了并且知道了这个问题的答案之后，它们才真正处在某个特定的状态。