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对于一个不稳定的粒子来说，普朗克—爱因斯坦方程e=hf使经典波的持续时间与频率的倒数关系转变为粒子寿命与能量之间的不确定性关系。需要再次强调的是，和推导波函数时一样，普朗克常数仍是连接经典与量子的纽带。
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双缝干涉实验是说明不确定性关系最好的例证。它展现的是电子波长和路径信息之间的不确定性，这里的路径信息指的是电子到底通过了哪一个缝。波长可以很容易地从仪器的尺寸和干涉的图案得到[1]，而路径信息却很难得到，除非利用极端的方法。如果你把其中一个缝遮住，你知道电子只能从另一个缝通过。但是当你这样做时，干涉条纹以及由它产生的波长的证据就消失了（当然它会消失，毕竟，它是由两列波干涉而形成的）。对电子路径信息的测量是如此具有极端破坏性，以至于这种方式完全禁止了另外一条路径。因此这里的不确定性也是极端的，我们能确定的要么是波长，要么是路径，却不能同时将两者定下。
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正当物理学家越发深入地理解不确定性原理时，新的技术使他们找到新的方式来操作单个粒子，正像前面提到的费曼实验一样，以前的许多理想实验也有望在实验室中变为现实。双缝干涉实验中的不确定性分析正是如此，他们可以同时得到波长和路径信息，而不是像以往一样只能在极端的情况下实验。还远不只如此，21世纪初这类实验新版本也明确地证实了海森堡是错误的：量子不确定性并不是观测者效应。
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这个实验的独特创新点是使对路径的观测机制分开足够的距离，以确保观测不会直接干扰到观测粒子——他们实验中用的是光子[2]。光子一旦通过双缝，便会被立刻送入一个特殊的晶体，该晶体可以使光子自发产生两个等同的（或者互补的）新光子。它们两个各有用途，并沿着相反方向传播：一个被称为信号，它将贡献屏幕上缓慢形成的干涉条纹，另一个起到目击者的作用。每一个信号光子都有其对应的目击者。
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目击光子在原来的光子通过双缝之后到达它最终的目的地，这也解释了为什么该实验被称为延迟选择实验。通过不同的标准方式安置的光学“魔法”镜，能够确定原来的光子到底是通过了哪个缝，或者完全不知道从哪个缝过来的。
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通过这样的布置，信号探测器通过广泛的扫描就可以探测到成千上万的光子。这些被探测到的信号光子对应的就是旧式双缝干涉实验中屏幕上的点，只不过这里每一个信号光子都有它相应的目击者。这样，实验者就可以选择性地处理数据。第一种情况，从所有收集到的数据中，他只选出目击光子没有泄露路径信息的信号光子，并画出信号探测器的位置（对应之前的屏幕上的点），他会发现期待中的条纹状图案。事实上，这种情况相当于他重复了一遍1803年托马斯·杨做的实验。第二种情况，他也可以选出那些目击光子透露路径信息的信号光子，这时就不再会有条纹出现。但是这两种情况下，双缝都一直保持敞开。
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实验结果所包含的信息是十分清楚的。作为目击者的探测器离得如此远，以至于它不可能影响双缝附近发生的事情。和把其中一个缝堵住不同，条纹的消失不是因为观测路径引起的力学效应。简而言之，不确定性原理不是观测引起的效应。
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从海森堡的显微镜到将不确定性原理解释为波函数基本的、普遍的历程，使人想起量子力学历史中其他类似的情况。普朗克建立的发光物质的力学模型引出了波粒二象性，进而由波函数解决。一个纯粹数学上的波函数加上相应的概率解释替代了玻尔力学的氢原子模型。两种情况都显示一个力学的、容易想象的描述是不充分的，它们最终都会由抽象的数学描述替代。
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抽象是成熟的标志之一。儿童开始只是通过算账来学习关于钱的知识，但是后来他们的理解扩展到一些抽象概念，例如，成本、价格、贷款等。从社会角度来看，正义的概念从简单的、个人的“以牙还牙”的原则发展到复杂的、抽象的法律系统。在物理中，成熟意味着摆脱切实的力学模型转向数学的抽象概念（拉丁语中的抽象abstrahere，意为使脱离）。但是抽象万不应该与复杂混淆。一个概念可以抽象，但是它无须复杂。
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[1]波长≈xd/L，其中x是干涉条纹的距离，d是两个双缝的距离，L是双缝到屏幕之间的距离。
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[2]Bram Gaasbeek,“Demystifying the Delayed Choice Experiments”,July 22,2010,http
:www.arxiv.org/abs/1007.3977.
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第8节 最简单的波函数
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对大多数人类活动来说，“从简单开始”是一个很好的忠告。即便在科学中也是如此，尼尔斯·玻尔从最简单的氢原子开始研究而不是更复杂的其他原子；量子力学也只是在最简单的谐振子上获取经验。因此，我们这里也从最简单的波函数开始。这个例子不涉及数学方程，而是以栩栩如生的符号出现，并且它将展现出波函数四个基本的特性：叠加、概率、离散和塌缩。在后面我们探讨量子贝叶斯的含义时，这个例子依然很有用。
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即使最简单的原子也拥有错综复杂的结构，这里我们只考虑基本的、不可分割的粒子。之前我们已经遇到过两个：光子和电子。光子不能用简单的语言描述。在真空中它们总是以光速传播，而观测并不能使它减速或者停止。当它们被探测到时，也就意味着它们消失了。波函数和通常的量子力学已无法描述光子幽灵般的行为，物理学家必须用更复杂的方式。而电子却如同弹珠一样，我们可以使它减速、停止，也可以轻易地储存它、检测它，甚至操纵它。因此电子和我们的日常经验更接近。另外，电子不仅是包括我们身体在内的各种物质的必要组成部分，而且作为能量（电线中）和信息（计算机中）的载体使我们的生命得以维持。电子是我们探测微观世界再合适不过的工具了。我们一般用位置、速度、质量或者重量以及电荷等来描述电子。另外还有两个其他相关的特性，其中一个是它围绕自身的转动，称之为自旋，另一个是磁性[1]。电子就像微小的磁棒或者缩小版的指南针一样，拥有稳定的、可精确测量的磁场强度。量子力学准确地预言了这一强度，并且让人难以置信的是精度高达十亿分之一（这大概是你拇指宽度与纽约到夏威夷距离之比）。
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上面所列举的电子特性也适用于球形的、带电的塑料球。当这个球围绕着自身的轴转动时也会像一个磁棒一样。因此我们倾向于把电子想象为缩小版的地球。它比地球要简单得多，因为电子是完美的球形，此外它的自旋轴和磁轴是重合的（和我们生活的地球不同，一个旋转带电的塑料球的磁轴也是穿过它的两极的）。但是量子力学不只是微小物质的经典力学，仔细研究电子会使我们逐渐发现新大陆。
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你是否注意到之前我们列举的电子特性里面包括电子的质量却没有提它的尺寸？电子到底有多大？或者说有多小？令人惊讶的是不管多么精确、复杂、昂贵的实验都不曾测到过电子的尺寸。说的更确切些，一旦理论学家给电子设定一个很小的半径，很多预言都会出现问题，包括我们前面提到的高精度的电子磁场强度。最好的假设就是电子的半径是零，这样理论预言才能和实验测到的结果一致。根据我们现在的知识，电子可以严格当作点粒子。当然也许未来有一天我们发现电子确实有下层构造，相应的也有半径，但是迄今为止，这只是主观猜测。所以我们就干脆把它想象成一个没有大小的粒子吧！
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可是问题来了，一个点粒子怎么可以围绕自身的轴旋转呢？一个点可以围绕着另外一个点转动，但是一个点围绕着自身转动就讲不通了。自旋意味着物体不同的部分绕着穿过该物体的某个轴运动，但是一个点，它根本就没有不同部分，不可能自旋。把电子当作旋转带电的球是一个不可靠的力学模型。自旋这个词如同玻尔的氢原子模型一样，是很有误导性的概念。不幸的是，我们只能被迫接受相互矛盾的结论：电子有自旋和磁场，却没有体积大小。
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在发现波粒二象性时，我们试图将宏观世界的概念强行应用到量子的微观世界出现了很多问题，这里再次出现了同样的情况。我们不得不用更丰富的想象力才能使自己内心得以平静。也许我们可以类比《爱丽丝梦游仙境》中常露齿嬉笑的猫的遭遇。随着它的身体渐渐模糊并最终消失，这只猫只留下了它的露齿笑。这促使爱丽丝察觉到她经常见到一个不露齿笑的猫，但是从来没遇到过露齿笑的猫。电子就像越来越远的转动的球一样，越来越小直到最终消失，但是自旋仍在。
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自旋还有更多的谜题。电子的自旋不像小球一样可以随意减速或者加速。它有一个固定的大小，而且和无处不在的普朗克常数相关。
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为了查明电子内在的指南针（相应的自旋轴）到底指向哪里，你可以把它放到一个普通冰箱磁贴的北极附近。电子会排列好，并且它的磁场的南极将指向磁贴的北极。你可以把电子翻转，使它指向相反的方向，就像你用手指推指南针一样，但是你必须要消耗一定的能量才能做到。
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一个普通磁棒的磁场强度和方向是可以随意变动的，与之不同，电子的磁场强度是固定的，方向也是受限的。尤其是测量电子的自旋（相应的磁性）时，只有两个值可以出现。测量自旋的仪器都包含一个固定的外磁场作为任意选择的参考方向。奇怪的是，电子的自旋总是沿着选定的参考方向，或者与之相反。即使我们将它转向反方向，它也不会沿着与外磁场垂直或者呈45°夹角的方向。电子的磁性（或者自旋）经常用向上或者向下的箭头表示。当测量垂直方向的自旋时，它总是指向上↑或者下↓，而不会出现与垂直方向有一定夹角的情况。同样的，如果参考磁场的方向是水平沿着x轴的，那么电子将只可能指向左边←或者右边→。一个自旋球的自旋方向是任意的，而电子却只有两种。对自旋方向的限制正像对谐振子或者原子能量的限制。这也让我们联想到一个长笛的音高限制。
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如同其他描述原子世界的变量一样，自旋也服从不确定性原理或信息权衡。如果你准备一个自旋指向上的电子↑，然后测量水平x轴方向的自旋，那么结果是随机向左←或者向右→。相反，如果你知道电子自旋是向右的→，沿垂直方向测量，那么最后结果向下↓或者向上↑也是随机的。
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我们已经到达量子力学的核心地带。自旋遵循着特殊的规律，虽然在被费曼称之为“量子力学之谜”的双缝干涉实验中并不起作用，但是它仍是一个不可思议的事情。
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