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即使最简单的原子也拥有错综复杂的结构，这里我们只考虑基本的、不可分割的粒子。之前我们已经遇到过两个：光子和电子。光子不能用简单的语言描述。在真空中它们总是以光速传播，而观测并不能使它减速或者停止。当它们被探测到时，也就意味着它们消失了。波函数和通常的量子力学已无法描述光子幽灵般的行为，物理学家必须用更复杂的方式。而电子却如同弹珠一样，我们可以使它减速、停止，也可以轻易地储存它、检测它，甚至操纵它。因此电子和我们的日常经验更接近。另外，电子不仅是包括我们身体在内的各种物质的必要组成部分，而且作为能量（电线中）和信息（计算机中）的载体使我们的生命得以维持。电子是我们探测微观世界再合适不过的工具了。我们一般用位置、速度、质量或者重量以及电荷等来描述电子。另外还有两个其他相关的特性，其中一个是它围绕自身的转动，称之为自旋，另一个是磁性[1]。电子就像微小的磁棒或者缩小版的指南针一样，拥有稳定的、可精确测量的磁场强度。量子力学准确地预言了这一强度，并且让人难以置信的是精度高达十亿分之一（这大概是你拇指宽度与纽约到夏威夷距离之比）。
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上面所列举的电子特性也适用于球形的、带电的塑料球。当这个球围绕着自身的轴转动时也会像一个磁棒一样。因此我们倾向于把电子想象为缩小版的地球。它比地球要简单得多，因为电子是完美的球形，此外它的自旋轴和磁轴是重合的（和我们生活的地球不同，一个旋转带电的塑料球的磁轴也是穿过它的两极的）。但是量子力学不只是微小物质的经典力学，仔细研究电子会使我们逐渐发现新大陆。
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你是否注意到之前我们列举的电子特性里面包括电子的质量却没有提它的尺寸？电子到底有多大？或者说有多小？令人惊讶的是不管多么精确、复杂、昂贵的实验都不曾测到过电子的尺寸。说的更确切些，一旦理论学家给电子设定一个很小的半径，很多预言都会出现问题，包括我们前面提到的高精度的电子磁场强度。最好的假设就是电子的半径是零，这样理论预言才能和实验测到的结果一致。根据我们现在的知识，电子可以严格当作点粒子。当然也许未来有一天我们发现电子确实有下层构造，相应的也有半径，但是迄今为止，这只是主观猜测。所以我们就干脆把它想象成一个没有大小的粒子吧！
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可是问题来了，一个点粒子怎么可以围绕自身的轴旋转呢？一个点可以围绕着另外一个点转动，但是一个点围绕着自身转动就讲不通了。自旋意味着物体不同的部分绕着穿过该物体的某个轴运动，但是一个点，它根本就没有不同部分，不可能自旋。把电子当作旋转带电的球是一个不可靠的力学模型。自旋这个词如同玻尔的氢原子模型一样，是很有误导性的概念。不幸的是，我们只能被迫接受相互矛盾的结论：电子有自旋和磁场，却没有体积大小。
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在发现波粒二象性时，我们试图将宏观世界的概念强行应用到量子的微观世界出现了很多问题，这里再次出现了同样的情况。我们不得不用更丰富的想象力才能使自己内心得以平静。也许我们可以类比《爱丽丝梦游仙境》中常露齿嬉笑的猫的遭遇。随着它的身体渐渐模糊并最终消失，这只猫只留下了它的露齿笑。这促使爱丽丝察觉到她经常见到一个不露齿笑的猫，但是从来没遇到过露齿笑的猫。电子就像越来越远的转动的球一样，越来越小直到最终消失，但是自旋仍在。
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自旋还有更多的谜题。电子的自旋不像小球一样可以随意减速或者加速。它有一个固定的大小，而且和无处不在的普朗克常数相关。
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为了查明电子内在的指南针（相应的自旋轴）到底指向哪里，你可以把它放到一个普通冰箱磁贴的北极附近。电子会排列好，并且它的磁场的南极将指向磁贴的北极。你可以把电子翻转，使它指向相反的方向，就像你用手指推指南针一样，但是你必须要消耗一定的能量才能做到。
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一个普通磁棒的磁场强度和方向是可以随意变动的，与之不同，电子的磁场强度是固定的，方向也是受限的。尤其是测量电子的自旋（相应的磁性）时，只有两个值可以出现。测量自旋的仪器都包含一个固定的外磁场作为任意选择的参考方向。奇怪的是，电子的自旋总是沿着选定的参考方向，或者与之相反。即使我们将它转向反方向，它也不会沿着与外磁场垂直或者呈45°夹角的方向。电子的磁性（或者自旋）经常用向上或者向下的箭头表示。当测量垂直方向的自旋时，它总是指向上↑或者下↓，而不会出现与垂直方向有一定夹角的情况。同样的，如果参考磁场的方向是水平沿着x轴的，那么电子将只可能指向左边←或者右边→。一个自旋球的自旋方向是任意的，而电子却只有两种。对自旋方向的限制正像对谐振子或者原子能量的限制。这也让我们联想到一个长笛的音高限制。
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如同其他描述原子世界的变量一样，自旋也服从不确定性原理或信息权衡。如果你准备一个自旋指向上的电子↑，然后测量水平x轴方向的自旋，那么结果是随机向左←或者向右→。相反，如果你知道电子自旋是向右的→，沿垂直方向测量，那么最后结果向下↓或者向上↑也是随机的。
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我们已经到达量子力学的核心地带。自旋遵循着特殊的规律，虽然在被费曼称之为“量子力学之谜”的双缝干涉实验中并不起作用，但是它仍是一个不可思议的事情。
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实验中所涉及的电子的波函数通常包含两部分。“外部”波函数主要涉及电子在空间的运动，例如，我们之前遇到过的在原子中的电子，或者从电子枪到屏幕，通过双缝的电子都属于这一类。另外，电子还有“内部”波函数，它只处理电子自旋。一般在计算中，这两部分波函数总是交织在一起。但是我们可以将两部分区分开，忽略外部波函数，而只关注内部波函数。这样我们就达到了我们本节开始提到的目的：最简单的波函数。
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外部波函数可以在三维空间中散布开，在空间任意点的值都对应着在该点发现电子的概率。与之不同，自旋波函数并不生活在真实空间中。自旋波函数的发明是量子力学早期历史中里程碑式的事件，它是纯抽象的量子力学的构造物，与我们日常生活没有相似的地方。这意味着每一个电子拥有“双重性格”，只有在它的磁场或者自旋方向被观测时，它才会展现真实的自己。否则，它的双重性格就会一直隐藏在另一维度，和我们生活的空间没有什么联系。
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我们往往无法看到量子力学所展现的神奇世界，并不是因为它们通常很小，而是因为它们中的一部分我们只能通过想象而不能通过常识来理解，电子自旋正是我们窥视这个神奇世界的锁孔。在众多爱因斯坦的名言警句中，其中最鼓舞我们的一个是：“上帝难以捉摸，但并不心怀恶意。[2]”暂且不管上帝，这句话告诉我们，虽然自然的秘密总是隐藏得很深，而且很难梳理清楚，但是最终都是可以用理性和想象力理解。每当自然呈现给我们一个明显的悖论时，它总是同时亲切地悄声告知我们解决它的线索。电子自旋就是它给予我们的线索：它让我们窥视到了量子世界的种种秘密。
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自旋这个词很容易让我们联想到棒球或者溜冰者，在量子力学中是不恰当的用词，自旋波函数的两个可观测的态也不是必须被标记为顺时针或者逆时针。事实上，它们也可以被称为上/下、左/右、+/-、是/否、正面/反面、开/关或者黑/白，但是为了与计算机编码联系到一起，它们按照惯例被记为0和1。这两个数字就像页码一样只是方便的记号。
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除了用于描述电子自旋或者磁场，自旋波函数在其他方面也大有用武之地，它可以用来描述任何具有两个组态的量子系统。这样的例子有很多，比如，分子两种不同的结构之间的转换，线圈中顺时针或者逆时针的电流，原子中两能级系统，光子水平或垂直方向的极化，放射性的原子核的状态，等等。最简单的波函数都能够恰当描述类似的系统。由于自旋波函数十分简单，在大学开设的量子力学初级课程中，它逐渐取代了费曼的双缝干涉波函数。
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用表格的形式，电子自旋是用2×2的矩阵来描述的，这是最小的方阵（一个1×1的矩阵不应该被称为矩阵，它只是一个数字，而且并不能展示出量子叠加）。
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和电子自旋相似的系统无所不在，因此它们获得了专有的名字。任何只有两种可能态的量子系统被称为一个量子位（qubit，英文发音为cubit）。英文单词qubit是quantum bit（量子比特）的缩写，而bit（比特）这个英文单词是binary digit（二进制码）的缩写。经典的比特（bit）表示一个可以取值0或1的量，是从拨动开关开和关的状态抽象出来的符号。而一个量子位是一个真实的量子力学的物体或者系统，它指代具体的事物而非一个符号。
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但是要注意的是，量子位这个词与本书的主题量子贝叶斯理论（QBism）没有关系。有趣的是，英文单词qubit和QBism都有一个同音异意词cubit（腕尺）和Cubism（立体主义），它们分别指古时候一种测量长度的方式和20世纪初艺术的一个流派。不仅这两个同音异意词完全没有关系，而且qubit和QBsim也是毫不相关。qubit和QBsim的第一个字母q意义是一样的，都是指quantum（量子），但是qubit的小写字母b指的是binary（二进制的），而QBsim的大写字母B则指的是Thomas Bayes（托马斯·贝叶斯），他是18世纪的一个牧师。有时候混乱的科学术语会产生一些奇怪的组合。
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一个量子位的数学表达方式被称为量子位波函数（qubit wavefunction）。为了区分量子位和量子位波函数，本书中我将用斜体的量子位来表示量子位波函数。这种字体是为了强调两者的区别，因为在学术文献中柯日布斯基的警告经常被忽略[3]。
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对于特定的实验系统，通常可以用球面上的一个点来代表量子位。球面上的任意点都对应着一个概率。不管实验测量的结果是什么，在球面的两个极点分别被记为0和1，在这些极端点之间则表示这两个值的混合或者叠加。例如，在球面赤道上的点对应的量子位表示结果为0的概率为50%，就像抛硬币时正面向上的情况。在北半球的纬线代表着实验结果是0的概率要大于1，在南半球则相反（见图1.13）。
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图1.13
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和纬线不同，球面上点的经线并没有经典对应。这完全是量子力学的变量，代表着相位，对应着想象的抽象空间的角度。球面上两个相邻的量子位更倾向于干涉加强（两个波函数波峰遇波峰，波谷遇波谷），然而球体相互对立的两个点则干涉减弱（波峰遇波谷）。相位是效仿经典波，它最显著的一个特性就是叠加，量子力学最初就是由此受到启发，并在波函数中沿用了“波”字。
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因此，这个量子位球面直观展现了叠加现象，以及相应的概率解释。除了两个极点，球面其他地方的点并不能预言出单次测量的结果。重复进行一模一样的实验将得到一串随机的0和1组成的数字。点所在的纬度则预示着0和1在这一串数字中出现的概率。
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比较特殊的是两个极点，它们不是叠加的状态，没有相位，这反映了量子力学的不连续性。就像量子谐振子或者一个原子的能级是分立的、可数的，而非连续的，其他的很多测量结果的个数也都是可数的。电子的自旋就是如此，量子位有两种可能的结果，极点代表确定的状态。总之，这两个极点组成一个比特（bit）。