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方块工厂给我们强有力的提醒：概率是一种非常尖锐的数学工具，在现实应用它时，需要倍加小心。
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不仅仅在逻辑和数学中，就连自然本身也会产生出惊奇的事情。考虑两个球，被画成白色和黑色，分别被随机地存储在不同的壶中。只有四种方案去分配它们：（白黑，0），（白，黑），（黑，白）和（0，白黑）。发现两个球在一个壶里面的概率显然是2/4或者1/2。这种决定概率的方式是数个世纪以来标准的计算方法，而且看上去非常明显。在划分两个候选人的选区或者计算出扑克牌的胜算时它也是非常有效的方法，但是在量子世界中，它则被证实是错误的。
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光子并不像壶里面的球。它们表现了量子力学的另外一种特性，这种特性在现实中是不曾见到的：相同频率（相同颜色）的光子彼此是完全不可区分的。新的硬币看上去彼此相似，但在微观尺度，它们高低不平的表面很容易被区分。即使在我们当前技术能分辨的层次上硬币是一模一样，不论它们去向何方，它们在穿越时空的时候总可以被追踪到并且以此去区分它们。硬币可以根据它们的历史还有它们的样子去区分，“这是美分A，另一个是美分B”通常是正确、可靠的说法。然而对于光子来说，却无法那样去标记它们。一旦彼此靠近，它们将表现出波的特征，叠加在一起，然后失去原来的特点。与硬币不同的是，它们在根本上就是不可区分的。
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以两种不同极化方式（相当于经典例子中的壶）分布，用两个星号代表光子，分配两个全同光子的可能方案是（**，0），（*，*），（0，**）。现在，发现两个光子在同一个极化态则由1/2上升到2/3。这一变化看上去并不多，但是当我们在现实应用中重复数万亿次时，它从根本上改变了光子的统计。印度物理学家萨特延德拉·纳特·玻色（Satyendra Nath Bose）率先得到这种非同寻常的计数方式，通过研究光子而非假设的谐振子，他成功地重新得到普朗克辐射定律。作为创造光子这一概念的人，爱因斯坦也惊讶于这种计算并对它印象深刻。他确保其他物理学家都知道了玻色的结果，之后他将玻色统计方式推广到有质量粒子。80年后的2001年，诺贝尔物理学奖授予了由若干原子展示的玻色—爱因斯坦统计的实验观测。
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电子同样彼此不可区分，但是它们遵循第三种统计方式，与传统的版本以及玻色的版本也不一样。电磁表现出与光子相反的特性。光子倾向于彼此挤在一起，而电子则尽可能彼此分离。如果两个壶替代为原子中的能态或者两个自旋相反方向，量子力学中一个被称为不相容原理（exclusion principle）的规则禁止两个电子占据同一个状态。因此，态（**，0）和（0，**）是严格被禁止的，只有（*，*）是被允许的。如果这个规则被突然之间神奇地终止了，那么原子中所有的电子将落在最低能态，化学品之间的区别将因此而消失，所有的物质将会塌缩。
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计数方式的两个简单改变，修改了潜在的概率，接下来决定了粒子的量子统计以及导致了物质和辐射行为的深远结果。事实上，这个结果不仅仅深远——它们关乎存在。没有玻色—爱因斯坦凝聚或者不相容原理，我们所熟知的世界将不复存在。
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试图按照你对大理石的分类方法对基本粒子进行分类，同样会引起不恰当的问题，而在之前我们就遇到的波粒二象性以及旋转点的概念，现在再次发生了。基本粒子并不按人类常识期待的那样表现。
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当量子物理学家第一次引用概率时，像方块工厂或者粒子统计这些理论和实验上的惊奇之处应当引起他们足够的注意，但是他们并没有注意。尽管这么去思考事情更加周密，但他们并没有这么做，部分原因在于物理学家对哲学的猜疑，甚至接近于蔑视。事实上，概率不仅是生活常见的、每天都会涉及的概念，甚至小孩子都会用到，而且也是多个世纪以来学者争论不休的学科。在任何情况下，不论是什么原因，当理论和实验最终相匹配的时候，量子物理学家降低了他们的防备，放弃了他们批判性的才能，并且想都不想地附和长盛不衰的概率的定义——“期望的样本除以所有的样本”。
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因为它是基于计算事件出现的次数，在这种解释的情况下，概率的含义被称为频率概率。从19世纪中期到20世纪上半叶，它已经被发展成严格的数学定律，并且在学校中作为一种不证自明的真理去教导。它被定义为数字的比例，并且在观测中也可以做到，频率概率呈现出一种客观的样子。掷硬币中的50%概率展示了硬币真实且内在的属性，如同质量和尺寸一样是可测量的属性。
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但是即使最坚定的频率学家也并没有走得更远。他们宣称客观的特征仅仅是从一系列掷硬币的过程中得到的，而不是来自一次对硬币的检验或者一次投掷行为。他们对概率的定义被发掘出来都类似如此：“在大量掷一个两面平衡的硬币时，正面的概率是50%，所以投掷出正面的概率接近1/2。”但是数学家并不满足于模糊的字眼，如大概、大约、近似于这些词。因此他们假设一个无穷次的掷硬币过程作为替代。相应的，正面出现的概率达到了50%，因此概率是1/2。不幸的是，这种假设同样失去了它的客观性——它是假设且实验上并未验证。
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频率概率所面临的另外一个问题是公平（fair）这个词。有必要做出如下假设：硬币是完美对称且每一次投掷的行为是完全一样的。事实上，这是一桩美事。假如在每一次都非常仔细地完全一样地掷硬币，就像假设的那样，至少在牛顿的经典决定性世界中，结果总会是一模一样的。没有正面和反面的随机序列，那么掷硬币也不会遵从概率论。因此实验处理的是关于硬币和掷硬币的有限信息——有限到允许一些变化但是还不足以阻止如定律般的统计规律的出现。
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正经的数学概率学家面对这些担忧往往选择隔岸观火，并且只是假设概率有些精确的数字（如假设的掷骰子中的1/6）并且把无限次执行当作原始的公理，以此把现实世界中的应用留给了赌徒、民意调查专家、医药统计学家以及物理学家。数学家对凌乱的现实应用避而远之。明知道一个硬币不可能被掷无限次，数学家还是精确定义了它并使之成为一个公理，然后证明他们关于完美的硬币、无偏的掷硬币以及无限耐心的定理。但是物理学家没有这么奢侈。
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概率的频率解释中最有成效的一个原理也是最有效地将数学和现实世界经验分开的一个原理。它声明概率用于多次实验而对单个实验或者事件只字未提。对频率论者来说，“单个事件”概率是毫无意义的，就如同对一个单独的数字讲“差值”或者对一个孤立粒子谈“吸引”。
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无法理解这一限制就会得到赌徒谬论（gambler’s fallacy），这是学校老师最担心被问到的问题。硬币已经出现正面100次之后，出现反面的概率肯定高于50%，因为出现101次正面是极其不可能的事。特别是，赌徒谬论暗示掷硬币、摇骰子、发牌、转轮盘已有的结果（大量的结果可以定义概率）对下一次的结果毫无预测能力。这个规则被灌输进学校孩子的脑中，并被当作广为接受的智慧。
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频率概率对于物理学家在处理精细控制下的多次实验时是有帮助的，但是它排除了概率与我日常所见的单个案例的概率的相关性。在频率概率论的框架下，诸如“今天下午有30%的概率会下雨”“牛奶可能变坏了”和“她也许喜欢我”，是毫无意义的。
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这里有一个故事可以凸显出课本上的概率论和日常经验所用的概率之间存在的巨大鸿沟。在朋友的陪伴下，你进入了一个礼堂，在台上，一个赌徒正在掷硬币并且邀请你加入。“我和你打赌一块钱，结果是正面，”他说道，“正面的话你给我1元钱，反面的话我给你1元钱。就是这么简单！”相信赌徒谬论，并且想体验一把刺激，你觉得有必要试试运气。但当你张嘴准备说话的时候，你的朋友在你耳边耳语说：“前100把他扔出来的都是正面！”
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那么问题来了：下一步你怎么做？请不要把这个故事变成一个枯燥的教科书问题：硬币是否有偏差？你的朋友得到的消息是否有谬误？这个赌徒会不会出千？仅仅让这些流于表面吧，考虑下什么会真实发生。请竭力去把它想象成现实中的含混之处和不确定性。对我来说，答案非常清晰：我将屈服于不足信的赌徒谬误，相信过去的事情会影响现在的概率，拒绝频率概率论，并且相信我的直觉。即使连续出现100次正面理论上是可能出现的，并且不会影响下一次的投掷结果，但是我仍然不会打这么一个赌。
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一个统计学家也许通过如下假设去定义他的理论：如果硬币确实是公平的，而且投掷的行为确实是公正的，并且你的朋友和赌徒都是诚实的，然后我就应该打这个赌。没有更多的证据，我就不愿意冒这个险，即使仅仅1元钱。那么你呢？
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什么会说服我这个硬币是公平的？如果我或者我信任的人掷硬币100次，并且看上去随机出现大约一半的正面，我将同意公道的人说它事实上是公平的，至少对所有的现实目的都是如此。但是我用于得到这个结论的论证似乎并不是如它所看上去那样直接。
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数学物理学家马库斯·阿普尔比（Marcus Appleby）是量子贝叶斯理论的早期支持者之一，他用一个生动的寓言故事阐述了这个观点[1]。如他所述，想象一下，爱丽丝（Alice）在欧洲转动一次有37个数字的轮盘，得到数字11，并且得出结论：轮盘是公平的。她的论证肯定是存在问题的，并且一个正常思考的人应该都不会轻易相信她。一次转动的结果不可能暗示转盘的任何公平性。现在假设不一样的情况，鲍勃（Bob）投掷100次硬币，获得了一个正面和反面的序列，在检查之后，发现是由50个正面和50个反面组成，看上去顺序也是随机的，因此得出结论说硬币是公平的。（见图2.1）
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如果鲍勃仅仅依赖这些观察到的现实而没有做其他事情，他所得到的结论并不比爱丽丝的强。从数学概率论角度去看，100次掷硬币的序列等价于一个2100个扇区的巨大转盘，其中每个扇区由不同序列的100个正面和反面的序列组成（如果它被设计为弹珠大小的球，那么这个庞大的机器在我们可观测的宇宙这么大的体积内都装不下）。其中的一个扇区正好精准地用的是鲍勃得到的序列标记。因此在转动这一巨大的轮盘一次之后，他获得了结果，从这个结果出发，他得到了结论：其他序列是可能的，并且轮盘、硬币都是公平的。尽管在规模上存在巨大鸿沟，但是鲍勃的论证和爱丽丝的论证一样是错的。
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阿普尔比创造这个故事是为了解释概率的频率概念令人不安的不一致性。严格来说，对单个事件，概率的定义是不存在的。期望的结果被所有可能结果否定是大量重复性事件系统的一个性质，不论这个事件的数目是有限的还是无限的。并且，如轮盘故事展示的，用于单个事件的概率论，即所谓的单事件概率，被频率论者默默使用着，尽管他们无法定义它。
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图2.1
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