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为了宣称他的硬币是公平的，事实上鲍勃必须拒绝轮盘类比并且做出依赖于一些不言而喻的假设的论证。他必须假设100次投掷硬币是彼此独立的，且出现正面的概率对每一次投掷都是一样的。但是，即使是这样也远远不够。如果他做出这些假设并且用1/2作为出现正面的概率的数值，他得到所观察的序列的概率是极小的，为［数字（小得令人难以想象，它代表着把米尺对半切100次，并且非常巧合的是，在米制单位中，它仅仅比普朗克常数大一点点］。不幸的是，鲍勃对这个无穷小的概率无能为力。就像爱丽丝获得11这个数字的1/37概率，并无助于公平性一样。特别是，即使非公平的硬币可以产生鲍勃所观察到的正反面的序列。鲍勃必须深究这个理论，不再假设投掷硬币正面概率是1/2这一假设，而是考虑其他的概率。假设值是0.7或0.2，则分别意味着偏向或者偏离正面，他必须对特定的序列的概率进行重复计算。只有在这个时候，他才能得到一个有益的结果：他计算所观察到的概率，尽管很小，当假设概率是0.5的时候远比假设硬币有偏差的时候大。这里，我们最终得到这个问题的数学答案：硬币是公平的吗？是的，因为概率1/2是在数量上最可能的假设。
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注意到鲍勃是被迫那么做的。他一遍又一遍地涉及单个、孤立的投掷硬币的概率，即单事件概率。首先他必须假设每一次投掷的概率都是一样的，这个声明只在概率是定义在单次投掷的情况下才有意义。其次，为了找到在整个序列中概率最大的序列，他将每个真实的数值分配给单事件概率。只有当特殊值最终出现在0.5附近，才能够宣称这个硬币是公平的。
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马库斯·阿普尔比得出结论，频率概率并不仅仅基于大量的实验，无论是有限还是无限。为了保持一致，它必须承认单事件概率作为最基本的元素，如同概率论中的“原子”一样。简而言之，频率论并不自洽。
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在他的文章最后，阿普尔比感谢了量子贝叶斯理论的共同创始人克里斯，因为他让阿普尔比“看到了问题的重要性”。这个感谢暗示了量子贝叶斯者所面临的艰难战役。物理圈中我的大部分同事并没有意识到频率论的观念所存在的问题，他们也领会不到这个问题的重要性。
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[1]D.M.Appleby,“Probabilities Are Single-Case,or Nothing”,Optics and Spectroscopy,99(2005):447–462,http://arxiv.org/abs/quant-ph/0408058.
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 [:1700964156]
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概率的烦恼：量子贝叶斯拯救薛定谔的猫 第10节 贝叶斯牧师的概率
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量子贝叶斯理论（QBism）建立在贝叶斯统计的基础之上。贝叶斯统计是概率解释一个流派，以托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes，1701—1761）牧师命名。他是长老会的一名牧师，同时也是非常有才能的数学家和统计学家。他因一篇死后才发表的论文出名，在这篇论文中他提出了现在被称为贝叶斯定律（Bayes’law[1]，也称为贝叶斯定理、规则、公式、方程）的定律。贝叶斯概率理论最初由著名的天文学家和数学家皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（1749—1827）开创，经过随后几代学者的努力，现在正在蓬勃发展。其中贝叶斯定理是贝叶斯概率理论的核心。
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拉普拉斯之后的一个世纪，概率和统计理论在贝叶斯定理的传统中平稳发展。为了使概率更加“客观化”，一些数学家在重复试验中引入频率的定义。约翰·维恩（1834—1923）就是其中著名的一个，说起他，我们首先想起的就是以他名字命名的维恩图。我们耳熟能详的简单的公式“事件发生次数除以总试验次数”已是学校概率课程中的基本内容。物理学家也采用了这种频率论，因为物理实验通常是简单的、可重复、可量化的。而其他的科学则往往没有这么简单，尤其是生物学、心理学、经济学、医学。这些学科实验中的不确定性通常相当大，很难实现毫不含糊的实验。但是学者仍试图将它们联系到假想的可无穷次重复的实验。20世纪中期，情况有所转变，人们开始考虑更古老的贝叶斯理论作为取代频率论者的一个选择。天文学家和物理学家也面临着大量的数据，需要统计分析处理，他们也开始重新发掘贝叶斯理论[2]。最终，在千禧年之际，量子物理学家也赶上了这个潮流，量子贝叶斯理论诞生了。
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经过数学家、统计学家以及数学哲学家对贝叶斯概率概念更深入地分析和重新组装，最终使最初的贝叶斯理论更加丰富，并产生了大量的变种。量子贝叶斯理论正是基于贝叶斯理论其中一个版本，被称为“个人的”（personalist）或者“主观的”（subjective）贝叶斯概率。本书中，我只考虑这一版本。
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概率就是测量事件发生的可能性。在我们日常对话中，可能性通常被表达为下面这些语句，例如不可能、不太可能、也许、不好说、可能、很有可能、十拿九稳、必然的、毫无疑问等，但是在科学中最好是将概率赋予对应的值。对于理想简单的情况下，例如，抛硬币或者发射电子，频率概率论仍是可行的，因为这类情况可以在可控的条件下试验。但是为了做到逻辑自洽，也出于实际应用的角度，我们需要定义可用于单独事件的概率。频率论做不到这一点。
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贝叶斯理论认为概率并不是寄存于外在物质世界，而在一个被称之为代理人（agent）的意识中。在这一方面代理人（agent来自拉丁语agens，意思为“做”）并不是其他人的代表，而是指能够做决定和执行行动的人。贝叶斯概率测量的是代理人对某一事件是否发生或者命题是否正确的置信程度（degree of belief）。代理人这个词使相关定义与真实结果的可能性关联在一起——科学对那些不会影响真实世界的个人的沉思并不感兴趣。“置信”（belief）意味着人和主观。它是由多种多样的影响确定的——只有问题中的代理人完全确定它。贝叶斯理论者并不试图深究或者评判代理人的“置信”的起源。
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但是贝叶斯理论想要量化置信的“程度”。那么该如何测量相信的强度呢？除非它导致某种外界可辨识的行为，否则你不可能测量到。将定性的估计转化为数字等同于将赌博形式化。这样看来代理人的身份很像一个赌徒。在这场“赌博”中，我们暂且不管他是如何做出决定的，但是他愿意拿出赌注的多少可以用来刻画他对某件事可能发生的概率的估计。因此概率理论又回到了赌博和博弈游戏。为了使赌博的过程更标准化，而且能够保证这样测量出的概率对应着0和1之间的实数（或者百分率），为了定义贝叶斯概率，我们先做出下面这些假设：赌博当事人都有一些债券，并且约定当某一事件E发生时，债券的卖方须给买方1元钱。一旦赌徒都同意事件E的准确的定义，他们就可以自由交易债券。如果一个人认为某件事E一定会发生，例如，太阳在明天会升起来，那么他将这件事发生的概率赋值为1。于是他肯定愿意用低于1元钱的任意价格买下债券（为什么要低于1元？这是因为如果他用1元买下债券，那么他不可能盈利，这是一个愚蠢的选择）。相反，如果他觉得事件E不会发生，例如，他的咖啡杯在他松手后会飘浮在天花板上，那么他将赋值概率为0，同时不购买债券。
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类似步骤可以推广到那些既不是完全确定也非不可能的事件。例如，抛硬币这个例子，代理人在学校学到或者根据他自己的经验知道得到正面向上（这个例子中的事件E）的概率是1/2，因此他最多愿以0.5元的价格买一张债券。如果硬币是正面朝上，那么他会获得1元，这样他就净赚0.5元或者更多。相反，如果是反面朝上，那么他就损失了购买债券的钱。
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有了这些背景我们就可以介绍贝叶斯概率正式的定义。代理人对某事件E发生的概率赋值为p意味着他最多愿意以p元的价格购买一张债券，如果事件E发生，那么债券值1元。相反，代理人也愿意以高于或者等于p元的价格卖出一张债券。
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和频率论的概率一样，这样定义的概率取值在0和1之间（包括0和1）。虽然它们外在有相似之处，但是这两种定义相去甚远。对于在某种传统中长大的人，往往都很难完全转向新的观点。不像更换一个新牙刷那么轻易，对概率新奇的理解不可能一夜间取代旧的观念。因此，虽然量子贝叶斯理论并没有给物理学带来暴风雨般的影响，但是目前也没有什么能阻碍它的发展或能够立刻排除它。在许多科学与技术领域，贝叶斯概率作为可靠有效的工具已经充分体现了它的价值，量子贝叶斯理论则将成果扩展到量子力学的领域。
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包括我在内的很多物理学家在第一次遇到贝叶斯概率时通常都会大吃一惊。谈论“置信程度”似乎和物理学传统的观念完全不相容。物理学家往往都会觉得“自然伟大的定律”与主观意识或者个别代理人的信赖毫不相干。相反，频率主义虽脱离现实世界，却成为枯燥无味的学术演讲和课本中的基本内容。贝叶斯理论认为概率能预言单个事件的观测量，频率论者则拒绝接受，他们认为，当为将来的行为做决定时，概率是不相关的。当我看到天气预报说今天下午会有70%的概率下雨时，其实并没有告知我下午一定会发生什么，天气预报并没有帮助我决定是否带雨伞或者什么时候离开家。事实上，天气预报确实是有用的，可以将70%的预测理解为我对下午会发生的事情的“置信程度”，而且天气预报确实影响了我的决定。
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如果将物理学看作人类史诗般的冒险而非收集一些枯燥的事实，那么物理学家也需要不断地做出决定，而且他们的决定是基于已有置信程度。每次评估数据，每次开始新的计算，实验中的每次决定、每次争论和每次下结论，旅途中的每一步都需要在许多选择中做出决定。对单个事件的概率的估计在其中起到重要作用。
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贝叶斯概率和频率论的最大区别莫过于概率的变化。个人的置信程度的变化也就意味着赋予概率的值也会不同。频率论概率一旦定义就不再会变化，抛硬币就是最好的一个例子。但是贝叶斯概率则与人的思想有关，是可以不断变化的。因此除了帮助做决定外，贝叶斯概率也会不断地修正。这种可塑性也正是贝叶斯概率起初的出发点。当获得了新的证据，修改了之前的置信程度时，贝叶斯概率就会发生相应的变化，贝叶斯定理就是反映概率变化的数学描述（回想一下上一节中对那个赌徒我为何改变自己的主意）。
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设想你知道或者假设某个特定事件发生的概率的大小，之后你偶然获得了新的相关的信息，例如，一个新的实验结果或者一些不可预料的新内容。贝叶斯定理告诉你的正是下面这个问题的答案：新的信息是如何改变你的概率估计的？
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贝叶斯定理的价值在于它数学上的严格性。概率即置信度，和“事实”不同，它是可塑的。但是概率和新的信息怎么组合在一起产生一个修正的概率呢？这个步骤由数学公式决定，和勾股定理一样直接且毋庸置疑。
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下面举个例子来说明这个定理。设想有一种癌症，在大众中发病率为0.5%，也就是说平均两百个人中有一个人患有该病。再假设一项新的血液化验能以99%的准确度检测你是否患有此病。医生怀疑你患有此病，因此采集了你的血液样本，并送去检测。几天以后，他打电话告诉你化验结果已经出来，是阳性。
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那么你确实得了这种癌症的概率是多少呢？你应该对此有多担心呢？考虑到这种化验是十分可靠的，你是否应该设想最坏的结果？此时你是否应该通知朋友和家人？你是不是应该再去做其他的测验？你又该如何通过合理评估自己的机会来平复自己越发焦虑的心情？是否存在微弱的希望——你并没有得癌症，只是化验结果是错误的，通常称之为假阳性？
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